Млодзеевский Б.К. Основы высшей алгебры Изд. стереотип.

Введение

Высшая алгебра есть учение об алгебраических уравнениях, т.-е. о таких уравнениях, обе части которых представляют алгебраические функции неизвестных.

Переменным числом, или просто переменным, называется такой символ, который в продолжение исследования может представлять различные числа; эти числа называются значениями переменного. Переменные обозначаются обыкновенно последними буквами латинского алфавита x, у, z и т.д. Числа, не изменяющиеся в данном исследовании, называются постоянными. Если какое-нибудь переменное и связано с другими переменными х, у, z... так, что данным значениям переменных х, у, z.., соответствует определенное значение переменного и, то переменное и называется функциею переменных х, у, z...., или зависимым от этих переменных. Переменное, значения которого не зависят от другого, а дается непосредственно, называется независимым переменным, или аргументом. Зависимость между переменными обозначается символами f F, и т.д. Например, равенство

u = f(x, y, z)

выражает, что переменное и есть некоторая функция переменных x, y, z.

Обыкновенно зависимость функции от неременных выражают, указывая на действия, которые надлежит произвести над значениями независимых переменных, чтобы получить соответствующие значения функции. Например, соотношения

u = x² + 2/ sqrt (xy - 3), v = x^y

определяют две различных функции u, v переменных х, у.

Функции разделяются на алгебраические и транцендентные.

Функция называется алгебраическою, если значение функции получается из значений независимых переменных посредством шести алгебраических действий-сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую положительную степень и извлечения корня целой степени - произведенных над значениями переменных один или несколько раз. Таким образом, функции

u = sqrt(2x - ay²) / x²y + b, v = x loga + y logb

где а, b-постоянные, суть алгебраические функции переменных х, у, тогда как функции

w = tg у/х, t = a log х + b log у,

суть транцендентные функции тех же переменных.

Алгебраические функции делятся на рациональные, выражения которых не содержат независимых переменных под знаком корня, и иррациональные, в которых переменные входят под знаком корня. Функции

x + sqrt 2, 2 + sqrt x

представляют первая-рациональную, а вторая-иррациональную функцию переменного х.

Алгебраические функции делятся также на целые, в которые независимые переменные не входят в делителях, и дробные, в которых независимые переменные входят в делителях. Функции

3x² - 2xy / 4, 3x² - 4 / 2xy

представляют первая - целую, а вторая - дробную функцию переменных х, у.

Так как целая рациональная функция может содержать независимые переменные только под знаками сложения, вычитания, умножения и возведения в целую положительную степень, то очевидно, что всякая целая рациональная функция есть многочлен.

Многочлен называется однородным относительно тех или других из входящих в него переменных, если все члены его одинаковой степени относительно всех этих переменных в совокупности. Так, выражение 2x² - 3xy + y² представляет однородный многочлен второй степени относительно х и у. Точно так же выражение

a₀x² + a₁x + a₂

есть однородное выражение первой степени-линейное-относительно

a₀, a₁ a₂, тогда как выражение

a₀a₂ - a²₁

есть однородная функция второй степени от тех же количеств.

Положим, что нам дана функция f(x, у, z...) и нужно найти те значения переменных, при которых эта функция получает заданное значение а. Легко видеть, что равенство f(x, y, z) = a будет справедливо, т.-е. обратится в тождество не при всех значениях переменных х, у, z, так как с изменением значений переменных будет изменяться и значение функции. Такое равенство называется уравнением. Следовательно:

Уравнение есть такое равенство, которое содержит одно или несколько переменных и которое обращается в тождество только при определенных значениях этих переменных.

Переменные, входящие в уравнение, называются неизвестными; значения переменных, обращающие уравнение в тождество, называются его решениями, или корнями; они удовлетворяют уравнению. Решить уравнение значит найти его решения. Корни уравнения f(x) = 0 называются также корнями, или нулями функции f(x).

Обыкновенно в уравнениях переносят все члены в первую часть и представляют уравнение в виде

f (x, y, z...) = 0.

Уравнение называется алгебраическим, если его первая часть есть алгебраическая функция неизвестных. Как было сказано выше, высшая алгебра есть учение об алгебраических уравнениях.

Об авторе

Млодзеевский Болеслав Корнелиевич

Известный отечественный математик. Родился в семье профессора патологии К. Я. Млодзеевского. В 1880 г. окончил курс в Московском университете; там же в 1886 г. защитил диссертацию на степень магистра, а в 1890 г. на степень доктора чистой математики. Также изучал математику, преимущественно геометрию, в Цюрихе, Париже и Геттингене. С 1885 г. приват-доцент, а с 1892 г. экстраординарный профессор Московского университета по кафедре чистой математики. Был одним из организаторов Московских высших женских курсов. Вице-президент (с 1906 г.) и президент (1921–1923) Московского математического общества.

Научные труды Б. К. Млодзеевского относятся к дифференциальной и алгебраической геометрии и ее приложениям, математическому анализу, механике, астрономии и др. В магистерской диссертации «Исследования об изгибании поверхностей» он впервые дал безупречный вывод общего уравнения изгибания поверхности. В докторской диссертации «О многообразиях многих измерений» разработал теорию дифференциальных инвариантов многообразий. Большое научное значение имели его работы «Об определении орбит двойных звезд» (1890), «Об одном случае движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки» (1896), «Об изгибании поверхностей Петерсона» (1904) и другие. В последние годы жизни занимался исследованием кремоновых преобразований.