Колесников А.П. Теория приближений:
Функциональные сплайны в топологических векторных пространствах. Изд. стереотип.

Оглавление

Предисловие

В предлагаемой вниманию читателя книге описан достаточно общий подход к проблеме построения базисов в функциональных пространствах, в котором центральную роль играет понятие двойственности.

Первые две главы содержат ряд результатов функционального анализа, на которые имеются ссылки в последующих главах. Существенной частью первой главы является изложение основных понятий локально выпуклых пространств. Наиболее важным здесь является принцип двойственности, представляющий теоретическую основу описанного далее метода построения базисов в локально выпуклых пространствах. Во второй главе выясняется, как абстрактная теория двойственности реализуется в конкретных функциональных пространствах. Цель этих глав: а) дать представление об основных понятиях и результатах, которые нам понадобятся, б) сообщить читателю, с чем ему нужно познакомиться, прежде чем он приступит к чтению последующих глав, в) дать возможность получить нужную справку. В связи с этим мы приняли ту точку зрения, что следует привести обзор основных аспектов теории двойственности в локально выпуклых пространствах с тем, чтобы читатель получил о них самое общее представление. Поэтому доказательства теорем большей частью опущены, во всяком случае тогда, когда используемые в них рассуждения не используются в дальнейшем.

Две последующих главы посвящены методам построения топологических базисов в локально выпуклых пространствах. В третьей главе:

(1) Определяются алгебраические сплайны как точные вариационные решения конечной системы из п линейных функциональных уравнений в локально выпуклых (в общем случае неотделимых) пространствах. Они строятся путем минимизации некоторого оценочного функционала с ограничениями типа равенств, задаваемых функционалами, определяющими линейную систему. За решением этой вариационной задачи сохраняется термин "сплайн", поскольку таково же вариационное определение классического сплайна в гильбертовых пространствах. Выяснено, какой топологией нужно наделить векторное пространство и какими должны быть свойства оценочного функционала, чтобы получить искомое решение в форме разложения по базису, двойственному для заданного семейства функционалов системы. Его базисные элементы точно вычислены и названы базисными алгебраическими сплайнами, а построенная по ним линейная оболочка - пространством алгебраических сплайнов в соответствующем локально выпуклом пространстве. Данная задача решается в параграфе 33. Таким способом понятие сплайна распространяется на более широкие классы локально выпуклых пространств, чем гильбертовы.

(2) Результаты параграфа 33 обобщаются на случай бесконечных систем линейных функциональных уравнений, определенных в некотором локально выпуклом пространстве Е. Имея решение хп для конечной системы линейных функциональных уравнений, естественно поставить вопрос: при каких дополнительных условиях будет иметь место сильная сходимость х_n→х, n→infiniti в топологии пространства Е? Возникает необходимость определить топологию в Е и сформулировать требования к свойствам семейства функционалов системы так, чтобы имели смысл бесконечные суммы для которых введено требование их сходимости. Эта задача решается в параграфах 35, 36. Практически метод вычисления счетных топологических базисов в локально выпуклом пространстве Е сводится к нахождению топологических изоморфизмов между Е и некоторым локально выпуклым пространством F, базис в котором существует и порождает базис в Е. Пространство F названо калибровочным для Е, соответствующие базисные элементы в Е-базисными сплайнами, а построенная по ним линейная оболочка - пространством топологических сплайнов в Е.

(3) Рассматриваются расширения понятия сплайна на ядерные пространства. Переходом к проективному пределу в последовательности пространств Соболева вычислены сеточные базисы в пространстве Шварца быстро убывающих на бесконечности бесконечно дифференцируемых функций. В частности, дается описание бесконечно дифференцируемого B-сплайна. Он определен как сеточный (полученный изменением масштаба и сдвигами на сетке некоторой эталонной функции) базис в (ядерном) пространстве проективного предела последовательности пространств Соболева, в каждом из которых классические B-сплайны ограниченной гладкости являются сеточными базисами. Описан метод вычисления сеточных базисов в пространстве бесконечно дифференцируемых функций.

(4) Решена задача проектирования гильбертова случайного процесса на пространство Шварца. Соответствующее решение используется для построения алгоритма сглаживания выборочных функций гильбертовой случайной функции, определенной в пространстве

Задачи 3)-4) решены в параграфе 37.

Описанный метод в четвертой главе применен к частному, но весьма важному пространству Е с полускалярным произведением, элементами которого являются непрерывные числовые функции и топология в котором определена с помощью неотрицательной симметричной билинейной формы. Для описания двойственности <Е, Е'> вводится понятие характеристического оператора Р:Е→Е', являющегося изометрическим гомоморфизмом заданного пространства Е и его топологически сопряженного Е'. Фундаментальные решения оператора Р (точнее класс фундаментальных решений в фактор-пространстве Н, ассоциированном с пространством Е) используются для построения непрерывного обратного отображения G:E'→E.

Далее рассматриваются ограничения G на векторные подпространства FcE', которые тотальны на Е, наделены топологией банахова пространства и имеют базис (такие пространства названы калибровочными для Е). Показано, что отображения G:F→E есть изоморфизмы в. Если (f_i), i=1,2,.. - базис в F, то (φ_i), i=l,2,..., φ_i=Gf_i - базис в Е, тем самым можно строить различные аппараты для приближения функций в Е (сплайны, вложенные в Е). Для базиса (φ_i)сЕ построен биортогональный базис (ψ_i)cE. Для базиса (f_i)cF построен двойственный ему базис, совпадающий с (ψ_i). Изучены два важных частных случая, когда:

• F- пространство дискретных мер Радона с носителями на компактном множестве AcR", порождающее пространство сеточных G и С-сплайнов в Е.

• F=L²(Q) - пространство квадратично интегрируемых на QcRn функций, порождающее пространство L²-сплайнов в Е (Q - область в Rⁿ).

Построены изоморфизмы на: F→E. Соответствующий оператор порождает пространство сплайнов, правильных в Е. Рассмотрен случай, когда задан изоморфизм A:E→XcL². Построен обратный оператор G: Х→Е, расширение которого на все пространство L² порождает линейное пространство сплайнов, названное обертывающим пространство Е.

В параграфе 7 четвертой главы установлена связь описанной теории сплайнов с классической теорией базисов. Классические семейства функций: алгебраические многочлены, тригонометрические многочлены и семейство показательных функций вычислены как базисные в предельных пространствах для некоторых счетных последовательностей пространств с полускалярным произведением.

Используя приведенные определения, приближения функций в Е можно получать в виде кусочно-гладких конструкций. В данном методе построены разнообразные сплайны: нечетных, четных, рациональных степеней, трансцендентные, многомерные и т.д. Некоторые типы сплайнов близки по дифференциально-аналитическим свойствам к классическим сплайнам. Приводятся оценки скорости сходимости сплайновых разложений.

Хотя изложение рассчитано на осведомленных читателей, подготовленных к восприятию абстрактного материала, отличительной особенностью изложения является большое количество простых практических примеров, имеющих достаточно широкие приложения. Так что она будет полезна и тем читателям, которые захотят воспользоваться их решениями.

Библиография содержит лишь работы, на которые имеются ссылки в каком-либо месте текста.

Хочу назвать коллег, которые способствовали появлению этой книги. С проблемами, возникающими в теории приближений, автор познакомился, решая задачи численного моделирования управляемых оптических систем. Очень полезной для него была совместная работа по этой теме с профессором Э.А. Витриченко из Института космических исследований РАН в начале 80-х годов прошлого века.

В начале нашей продолжительной совместной работы над задачами в области интерпретации оптических измерений профессор И.И. Духопел из Государственного оптического института им. СИ. Вавилова обратил внимание автора на ограниченность применяемых в оптике для представления волновых фронтов полиномов Цернике и на необходимость использовать базисы, которые объединяли бы в себе свойства сходимости сплайнов и свойство глобальности многочленов.

Автор также весьма обязан профессорам А.С. Галиуллину, В.Г. Веретенникову, И.Д. Михайлову и Ц.И. Гуцунаеву за помощь и поддержку, которая была часто ему необходима в процессе работы.

Каждая глава соответствующего выпуска делится на параграфы. Нумерация формул, теорем и т.д. своя внутри каждого параграфа. Система ссылок организована следующим образом: (13.6) означает ссылку на формулу (теорему и т.д.) 6 из параграфа 3 первой главы. При ссылках в пределах текущего параграфа (главы) нумерация параграфов (глав) не дается.

Об авторе

Колесников Александр Петрович

Математик, профессор, доктор физико-математических наук. Окончил Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова в 1967 г. Научные интересы лежат в области вычислительной математики, математического моделирования и информатики. Активно занимался приложениями; в частности, в последней четверти прошлого века принимал участие в выполнении программы важных научных исследований в области математического моделирования управляемых оптических систем (адаптивной оптики). В 1994 г. защитил докторскую диссертацию, в которой получило начало новое научное направление — численный анализ в топологических пространствах.