Показать ещё...
Понятие числа является одним из основополагающих понятий не только арифметики и теории чисел, но и математики в целом. Изучение любого раздела математической науки невозможно без использования тех или иных свойств классических числовых систем; идея числа проходит красной нитью как через все школьное математическое образование, так и через высшее математическое образование. Без знания классических числовых систем не может обойтись ни один образованный человек, в то же время процесс знакомства с построением этих систем отражает, в сжатом и очищенном виде, все основные процессы, исторически происходившие в математике (аксиоматический метод, алгебраические структуры и т.д.). Специфика проблем, связанных с изучением и систематизацией свойств тех или иных чисел – простота формулировок, непосредственная связь с элементарной математикой, глубокие исторические корни в сочетании с богатством, фундаментальностью и разнообразием математического содержания, опирающегося на весь аппарат классической математической науки, – позволяет использовать задачи такого рода в качестве одного из наиболее продуктивных источников для построения новых математических курсов. С этой точки зрения хороши любые числа (вспомним, например, историю чисел pi, e, sqrt(2)), но по ряду причин на первый план выступают так называемые специальные числа натурального ряда: фигурные числа, Пифагоровы и Героновы тройки, совершенные и дружественные числа, магические квадраты, числа Фибоначчи, треугольник Паскаля, числа Мерсенна, числа Ферма, числа Стирлинга, числа Белла, числа Каталана и др. Темы, связанные с этими объектами, отличают прозрачность и естественность определений и простейших результатов, облегчающие первоначальное знакомство с предметом и поддерживающие интерес к нему. Другим отличительным признаком является недостаток (а иногда и почти полное отсутствие) специальной литературы, разброс информации по различным, не связанным между собой источникам. В этой ситуации работа по сбору информации об изучаемом объекте приобретает самостоятельное значение, являясь частью общей исследовательской работы по теме, а значимость полученной коллекции математических фактов и утверждений возрастает. Кроме того, специальные числа натурального ряда, как правило, обладают широким спектром свойств, от простейших до весьма сложных, для доказательства которых используется практически весь арсенал арифметики и теории чисел: теория делимости, теория сравнений, символ Лежандра, показатели и первообразные корни, элементы теории цепных дробей и др. Это позволяет познакомить заинтересованных теоретико-числовыми вопросами читателей с основными методами элементарной и аналитической теории чисел, естественным образом применяя их для решения возникающих на том или ином этапе практических проблем. Связь с фундаментальными фактами теоретической арифметики, богатая история, разнообразные практические применения обеспечивают естественную корелляцию изучаемых вопросов со школьным курсом математики, востребованность соответствующих разработок для современной профильной школы. С другой стороны, данная тематика весьма продуктивна для организации индивидуальной исследовательской работы студентов в условиях уровневого высшего образования, прежде всего в рамках подготовки выпускных квалификационных работ бакалавра и магистерских диссертаций, позволяя в ходе проведения исследований остановиться на этапе, доступном именно данному студенту: кто-то ограничится изучением и систематизацией найденной информации, кто-то докажет сформулированные в специальной литературе, но не доказанные там утверждения, а кто-то, опираясь на полученный багаж знаний, освоив методы, применяемые для серьезного научного анализа исследуемых объектов, получит новые результаты и в дальнейшем продолжит научную работу в этой области. Остановимся, например, на проблеме фигурных чисел. Появившись в древней Индии и Вавилоне в ходе решения практических задач, они привлекли пристальное внимание пифагорейцев, которые увлекались числами, связанными с геометрическими образами. В дальнейшем фигурными числами занимались многие известные математики, в том числе Никомах, Диофант, Боэций, Кардано, Штифель, Баше де Мезирак, Ферма, Декарт, Валлис, Эйлер, Лежандр, Лагранж, Гаусс, Коши и др. Венцом теории многоугольных чисел является доказанная Коши (1815) теорема Ферма: любое натуральное число представимо в виде суммы n n-угольных чисел. Конечно, определение и простейшие свойства многоугольных чисел можно найти не только в любом математическом справочнике, различных математических энциклопедиях и энциклопедических словарях, но и в многочисленных научно-популярных изданиях, сборниках занимательных задач и т.п., однако систематического изложения теории фигурных чисел нет в специальной математической литературе ни на русском, ни на английском языке: так, на поиск оригинального доказательства Коши мы потратили три года, обнаружив его только в полном собрании сочинений Коши на французском языке, сохранившемся в библиотеке Академии наук Тайваня. В некотором смысле этот пробел заполняет достаточно полная информация в Интернете, однако представленное в нем перечисление фактов ни в коей мере не может компенсировать отсутствия строгих математических доказательств. Теория чисел Мерсенна и Ферма является естественной частью теории простых чисел – чисел, которые трудно назвать специальными, но без которых невозможно представить себе ни одно более или менее серьезное теоретико-числовое исследование. В рамках изучения любого класса простых чисел мы естественным образом выходим на такие фундаментальные проблемы, как формулы простых чисел, критерии простых чисел или способы проверки простоты числа, знакомимся с классическими результатами и современными исследованиями аналитической теории чисел. Очень известный класс специальных чисел образуют совершенные и дружественные числа. Несмотря на то что соответствующая теория достаточно локальна и в своем классическом варианте представляет в основном исторический интерес, имеется множество направлений, так или иначе обобщающих классические факты и развивающих теорию в рамках современной науки: почти совершенные числа, квазисовершенные числа, k-совершенные числа, k-дружественные числа, социальные числа и т.д. Числа Пифагора, или пифагоровы тройки – тройки (x,y,z) натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению Пифагора x2+y2=z2, – вводят нас в теоретико-числовую проблематику, связанную с решением неопределенных (диофантовых) уравнений. Числа Каталана, равно как и числа Стирлинга, числа Белла, элементы треугольника Паскаля, являясь специальными числами натурального ряда, тем не менее в большей степени принадлежат комбинаторике, возникая из комбинаторных задач и порождая своим существованием целый ряд других комбинаторных проблем. Елена Ивановна ДЕЗА Кандидат физико-математических наук. В 1983 г. окончила математический факультет Московского государственного педагогического института, в 1992 г. – аспирантуру по кафедре теории чисел МГПИ. С 1988 г. преподает на математическом факультете МГПИ (ныне – МПГУ). Автор нескольких книг по теории чисел, дискретной математике и теории метрических пространств, в том числе учебных пособий "Численные методы" (2-е изд. М.: URSS, 2010; совм. с Ю.Н.Шаховым) и "Основы дискретной математики" (2-е изд. М.: URSS, 2011; совм. с Д.Л.Моделем). |
2023. 720 с. Твердый переплет. 16.9 EUR
Книга «Зияющие высоты» – первый, главный, социологический роман, созданный интеллектуальной легендой нашего времени – Александром Александровичем Зиновьевым (1922-2006), единственным российским лауреатом Премии Алексиса де Токвиля, членом многочисленных международных академий, автором десятков логических... (Подробнее) URSS. 2023. 272 с. Мягкая обложка. 15.9 EUR
Настоящая книга посвящена рассмотрению базовых понятий и техник психологического консультирования. В ней детально представлены структура процесса консультирования, описаны основные его этапы, содержание деятельности психолога и приемы, которые могут быть использованы на каждом из них. В книге... (Подробнее) URSS. 2024. 704 с. Твердый переплет. 26.9 EUR
В новой книге профессора В.Н.Лексина подведены итоги многолетних исследований одной из фундаментальных проблем бытия — дихотомии естественной неминуемости и широчайшего присутствия смерти в пространстве жизни и инстинктивного неприятия всего связанного со смертью в обыденном сознании. Впервые... (Подробнее) 2023. 696 с. Твердый переплет в суперобложке. 119.9 EUR
Опираясь на новейшие исследования, историк Кристофер Кларк предлагает свежий взгляд на Первую мировую войну, сосредотачивая внимание не на полях сражений и кровопролитии, а на сложных событиях и отношениях, которые привели группу благонамеренных лидеров к жестокому конфликту. Кларк прослеживает... (Подробнее) URSS. 2024. 800 с. Мягкая обложка. 37.9 EUR
ВЕРСАЛЬ: ЖЕЛАННЫЙ МИР ИЛИ ПЛАН БУДУЩЕЙ ВОЙНЫ?. 224 стр. (ТВЁРДЫЙ ПЕРЕПЛЁТ) 11 ноября 1918 года в старом вагоне неподалеку от Компьеня было подписано перемирие, которое означало окончание Первой мировой войны. Через полгода, 28 июня 1919 года, был подписан Версальский договор — вердикт, возлагавший... (Подробнее) URSS. 2024. 344 с. Мягкая обложка. 18.9 EUR
Мы очень часто сталкиваемся с чудом самоорганизации. Оно воспринимается как само собой разумеющееся, не требующее внимания, радости и удивления. Из случайно брошенного замечания на семинаре странным образом возникает новая задача. Размышления над ней вовлекают коллег, появляются новые идеи, надежды,... (Подробнее) URSS. 2024. 576 с. Мягкая обложка. 23.9 EUR
Эта книга — самоучитель по военной стратегии. Прочитав её, вы получите представление о принципах военной стратегии и сможете применять их на практике — в стратегических компьютерных играх и реальном мире. Книга состоит из пяти частей. Первая вводит читателя в мир игр: что в играх... (Подробнее) URSS. 2024. 248 с. Мягкая обложка. 14.9 EUR
В книге изложены вопросы новой области современной медицины — «Anti-Ageing Medicine» (Медицина антистарения, или Антивозрастная медицина), которая совмещает глубокие фундаментальные исследования в биомедицине и широкие профилактические возможности практической медицины, а также современные общеоздоровительные... (Подробнее) URSS. 2024. 240 с. Твердый переплет. 23.9 EUR
Предлагаемая вниманию читателей книга, написанная крупным биологом и государственным деятелем Н.Н.Воронцовым, посвящена жизни и творчеству выдающегося ученого-математика, обогатившего советскую науку в области теории множеств, кибернетики и программирования — Алексея Андреевича Ляпунова. Книга написана... (Подробнее) 2023. 416 с. Твердый переплет. 19.9 EUR
Вам кажется, что экономика — это очень скучно? Тогда мы идем к вам! Вам даже не понадобится «стоп-слово», чтобы разобраться в заумных формулах — их в книге нет! Все проще, чем кажется. Автор подаст вам экономику под таким дерзким соусом, что вы проглотите ее не жуя! Вы получите необходимые... (Подробнее) |