Деза Е.И. СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОМБИНАТОРНЫЕ ЧИСЛА:
От чисел СТИРЛИНГА до чисел МОЦКИНА: всё о двенадцати известных числовых множествах комбинаторной природы (история, классические свойства, примеры и задачи)

Специальные комбинаторные числа: От чисел Стирлинга до чисел Моцкина: всё о двенадцати известных числовых множествах комбинаторной природы (история, классические свойства, примеры и задачи) URSS. 2018. 504 с. ISBN 978-5-9710-4420-8.

Белая офсетная бумага

Твердый переплет

Аннотация

Данное пособие содержит подробное строгое изложение основ теории классических комбинаторных чисел: элементов треугольника Паскаля, чисел Стирлинга, чисел Белла, чисел Каталана, чисел Бернулли и чисел Эйлера, а также обзор некоторых других, менее известных классов специальных чисел, имеющих естественные связи с комбинаторным анализом: чисел Деланноя, чисел Шредера, чисел Моцкина, чисел Ла, чисел Нараяны, чисел Геноччи и др. В нем изложена... (Подробнее)

Оглавление

Список используемых обозначений			6
Введение			10
Глава 1.	Предварительные сведения		14
	1.1.	Комбинаторные конфигурации	14
	1.2.	Метод включений и исключений	21
	1.3.	Бином Ньютона и полиномиальная теорема	23
	1.4.	Основные комбинаторные тождества	25
	1.5.	Рекуррентные соотношения	26
	1.6.	Производящие функции	32
	1.7.	Асимптотические формулы	38
Глава 2.	Треугольник Паскаля		43
	2.1.	История вопроса	43
	2.2.	Определение треугольника Паскаля	45
	2.3.	Треугольник Паскаля и биномиальные коэффициенты	51
	2.4.	Явная формула для элементов треугольника Паскаля	54
	2.5.	Производящая функция последовательности элементов треугольника Паскаля	57
	2.6.	Простейшие свойства треугольника Паскаля	58
	2.7.	Теоретико-числовые свойства треугольника Паскаля	67
	2.8.	Многочлены, связанные с треугольником Паскаля	79
	2.9.	Треугольник Паскаля и другие специальные числа	82
	2.10.	Задачи, связанные с треугольником Паскаля	96
Глава 3.	Числа Стирлинга		102
	3.1.	История вопроса	102
	3.2.	Числа Стирлинга второго рода	103
	3.3.	Числа Стирлинга первого рода	128
	3.4.	Свойства, связывающие числа Стирлинга первого и второго родов	155
	3.5.	Теоретико-числовые свойства чисел Стирлинга	159
	3.6.	Многочлены, связанные с числами Стирлинга	166
	3.7.	Числа Стирлинга и другие специальные числа	178
	3.8.	Задачи, связанные с числами Стирлинга	185
Глава 4.	Числа Белла		188
	4.1.	История вопроса	188
	4.2.	Определение чисел Белла	189
	4.3.	Комбинаторные задачи, связанные с числами Белла	193
	4.4.	Явная формула для чисел Белла	195
	4.5.	Производящая функция последовательности чисел Белла	196
	4.6.	Простейшие свойства чисел Белла	198
	4.7.	Теоретико-числовые свойства чисел Белла	205
	4.8.	Многочлены Белла	209
	4.9.	Числа Белла и другие специальные числа	211
	4.10.	Задачи, связанные с числами Белла	215
Глава 5.	Числа Каталана		218
	5.1.	История вопроса	218
	5.2.	Определение чисел Каталана	219
	5.3.	Комбинаторные задачи, приводящие к числам Каталана	220
	5.4.	Явная формула для чисел Каталана	230
	5.5.	Производящая функция последовательности чисел Каталана	231
	5.6.	Простейшие свойства чисел Каталана	234
	5.7.	Теоретико-числовые свойства чисел Каталана	240
	5.8.	Многочлены, связанные с числами Каталана	242
	5.9.	Числа Каталана и другие специальные числа	246
	5.10.	Задачи, связанные с числами Каталана	250
Глава 6.	Числа Бернулли		257
	6.1.	История вопроса	257
	6.2.	Суммы k-х степеней и определение чисел Бернулли	258
	6.3.	Формула Бернулли: выражение суммы k-x степеней с помощью чисел Бернулли	274
	6.4.	Явная формула для чисел Бернулли	284
	6.5.	Производящая функция последовательности чисел Бернулли	290
	6.6.	Простейшие свойства чисел Бернулли	293
	6.7.	Теоретико-числовые свойства чисел Бернулли	304
	6.8.	Аналитические свойства чисел Бернулли	316
	6.9.	Многочлены Бернулли	323
	6.10.	Числа Бернулли и другие специальные числа	333
	6.11.	Задачи, связанные с числами Бернулли	342
Глава 7.	Числа Эйлера		348
	7.1.	История вопроса	348
	7.2.	Определение чисел Эйлера	348
	7.3.	Комбинаторные задачи, приводящие к числам Эйлера	352
	7.4.	Явная формула для чисел Эйлера	356
	7.5.	Производящая функция последовательности чисел Эйлера	358
	7.6.	Свойства чисел Эйлера	359
	7.7.	Многочлены, связанные с числами Эйлера	367
	7.8.	Числа Эйлера и другие специальные числа	370
	7.9.	Задачи, связанные с числами Эйлера	378
Глава 8.	Другие специальные комбинаторные числа		380
	8.1.	Числа Деланноя	380
	8.2.	Числа Шредера	385
	8.3.	Числа Моцкина	387
	8.4.	Числа Ла	390
	8.5.	Числа Нараяны	393
	8.6.	Числа Геноччи	397
Литература			401

Об авторе

Деза Елена Ивановна

Доктор педагогических наук (2012), кандидат физико-математических наук (1993). В 1983 г. окончила математический факультет Московского государственного педагогического института имени В. И. Ленина (МГПИ), в 1992 г. — аспирантуру по кафедре теории чисел МГПИ (ныне — Московский педагогический государственный университет, МПГУ), в 2010 г. — докторантуру по кафедре теоретической информатики и дискретной математики МПГУ. С 1988 г. — преподаватель кафедры теории чисел математического факультета МПГУ, с 2006 г. — профессор кафедры теоретической информатики и дискретной математики математического факультета МПГУ. Область научных интересов: теория чисел, дискретная математика, дидактика высшей школы. Автор нескольких монографий, более 10 учебных и учебно-методических пособий, более 150 научных публикаций.