Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике

Оглавление

Предисловие............................ 6

Часть ПЕРВАЯ

ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Вводная Глава. Группы и дифференциальные уравнения.... 7

§ 1. Непрерывные группы...................... 7

1.1. Топологические группы................... 7

1.2. Группы Ли........................ 7

1.3. Локальные группы..................... 10

1.4. Локальные группы Ли................... 11

§ 2. Алгебры Ли.......................... 12

2.1. Определения........................ 12

2.2. Алгебры Ли и локальные группы Ли............ 15

2.3. Внутренние автоморфизмы................. 16

2.4. Теорема Леви — Мальцева................. 18

§ 3. Группы преобразований..................... 19

3.1. Локальные группы преобразований............. 19

3.2. Уравнение Ли....................... 20

3.3. Инварианты........................ 22

3.4. Инвариантные многообразия................ 23

§ 4. Инвариантные дифференциальные уравнения........... 25

4.1. Продолжение точечных преобразований........... 25

4.2. Определяющее уравнение.................. 28

4.3. Инвариантные и частично инвариантные решения...... 30

4.4. Метод инвариантных мажорант............... 32

§ 5. Примеры............................ 38

Глава 1. Движения в римановых пространствах.......... 48

§ 6. Общая группа движений.................... 48

6.1. Локальные римановы многообразия............. 48

6.2. Произвольные движения в Vn................ 51

6.3. Дефект группы движений в Vn............... 54

6.4. Инвариантное семейство пространств............ 55

§ 7. Примеры движений....................... 58

7.1. Иэометрии......................... 58

7.2. Конформные движения................... 59

7.3. Движения с 6 = 2..................... 61

7.4. Неконформные движения с 6=1.............. 64

7.5. Движения с заданными инвариантами............ 65

§ 8. Римановы пространства с нетривиальной конформной группой.. 67

8.1. Конформные пространства................. 67

8.2. Пространства постоянной кривизны............. 70

8.3. Конформно-плоские пространства.............. 72

8.4. Пространства с определенной метрикой........... 74

8.5. Лоренцевы пространства.................. 75

§ 9. Групповой анализ уравнений Эйнштейна............. 78

9.1. Гармонические координаты................. 78

9.2. Группа, допускаемая уравнениями Эйнштейна........ 82

9.3. Разложение Ли — Вессио.................. 83

9.4. Точные решения...................... 85

§ 10. Конформно-инвариантные уравнения второго порядка...... 90

10.1. Предварительные рассмотрения.............. 90

10.2. Линейные уравнения в S„................ 93

10.3. Полулинейные уравнения в S„.............. 95

10.4. Уравнения с группой изометрий максимального порядка.. 98

10.5. Волновое уравнение в лоренцевых пространствах..... 99

Глава 2. Принцип Гюйгенса с групповой точки зрения 102

.§11. Общие рассмотрения и история вопроса............. 102

11.1. Проблема Адамара...............•.... 102

11.2. Критерий Адамара.................... 103

11.3. Теорема Матиссона—Асгейрссона............. 104

11.4. Необходимые условия Гюнтера и Макленагана...... 107

11.5. Преобразование Лагнеза—Штельмахера.......... 109

11.6. Современное состояние и обобщения проблемы Адамара.. 112 § 12. Волновое уравнение в К,................... 114

12.1. Вычисление геодезического расстояния в метрике плоской волны..........................•.. 114

12.2. Конформная инвариантность и принцип Гюйгенса..... 118

12.3. Решение задачи Коши.................. 121

12.4. Случай тривиальной конформной группы.......... 126

§ 13. Принцип Гюйгенса в Vn + i................... 127

13.1. Предварительный анализ решения............. 127

13.2. Преобразование Фурье функции Бесселя /0(а|ц,|)..... 131

13.3. Метод спуска. Представление решения для произвольных п 132

13.4. Обсуждение принципа Гюйгенса.............. 135

13.5. Нарушение связи принципа Гюйгенса с конформной инвариантностью........................... 137

Часть вторая КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Глава 3. Введение в теорию групп Ли —Беклунда,,,,,,,. 139

§ 14. Касательные преобразования Ли и теорема Беклунда...... 139

14.1. Контактные преобразования............... 139

14.2. Касательные преобразования конечного порядка...... 143

14.3. Преобразование Бианки—Ли............... 147

14.4. Преобразования Беклунда. Примеры........... 149

14.5. Понятие касательных преобразований бесконечного порядка 154 § 15. Формальные группы...................... 155

15.1. Уравнение Ли для формальных однопараметрических групп 155

15.2. Инварианты и инвариантные многообразия........ 160

§ 16. Однопараметрические группы преобразований Ли — Беклунда... 162

16.1. Определение и инфинитезимальный критерий........ 162

16.2. Операторы Ли —Беклунда. Канонический оператор.... 167

16.3. Примеры......................... 169

§ 17. Инвариантные дифференциальные многообразия......... 171

17.1. Критерий инвариантности................. 171

17.2. Примеры решения определяющего уравнения........ 174

17.3. Обыкновенные дифференциальные уравнения....... 176

17.4. Теорема об изоморфизме...,............. 179

17.5. Линеаризация преобразованиями Ли—Беклунда.... ..181

Глава 4. Уравнения с бесконечной группой Ли —Беклунда.... 184

§ 18. Характерные примеры..................... 184

18.1. Уравнение теплопроводности............... 184

18.2. Уравнение Кортевега—де Фриза.....-........ 188

18.3. Уравнение пятого порядка................ 192

18.4. Волновое уравнение................... 194

§ 19. Эволюционные уравнения................... 194

19.1. Алгебра Af....................... 194

19.2. Формула Фаа де Бруно.................. 199

19.3. Алгебра XF....................... 201

19.4. Преобразования эквивалентности............. 206

§ 20. Анализ эволюционных уравнений второго и третьего порядка.. 209

20.1. т = 2......................... 209

20.2. т = 3.......................... 214

20.3. Две системы нелинейных уравнений............ 218

§ 21. Уравнение F (х, у, z, р, q, г, s, 1) = 0............. 219

21.1. Анализ общего случая.................. 219

21.2. Классификация уравнений s = F(z)............ 222

21.3. Система двух нелинейных уравнений........... 225

Глава 5. Законы сохранения................... 227

§ 22. Основные теоремы...........'............ 227

22.1. Тождество Нётер..................... 227

22.2. Теорема Нётер...................... 228

22.3. Инвариантность на экстремалях............. 229

22.4. Действие присоединенной алгебры............. 230

22.5. Интегралы эволюционных уравнений........... 232

§ 23. Примеры........................... 234

23.1. Движение в пространстве де Ситтера........... 234

23.2. Уравнение и(4о-Д2н = 0.................. 236

23.3. Нестационарное околозвуковое течение газа........ 236

23.4. Короткие волны..................... 239

§ 24. Группа Лоренца........................ 240

24.1. Законы сохранения в релятивистской механике...... 240

24.2. Нелинейное волновое уравнение.............. 242

24.3. Уравнение Дирака.................... 244

§ 25. Группа Галилея........................ 247

25.1. Свободное движение частицы............... 247

25.2. Идеальный газ...................... 249

25.3. Несжимаемая жидкость.................. 256

25.4. Течение мелкой воды................... 259

25.5. Базис законов сохранения для уравнения КдФ...... 260

Добавление............................. 262

Литература............................. 267

Предметный указатель........................ 279