Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия:
первое знакомство

Оглавление

Предисловие

Первоначальным побудительным мотивом к написанию книги послужила договоренность о подготовке совместного советско-чехословацкого учебного пособия по дифференциальной геометрии для студентов, обучающихся по физическим, техническим и инженерным специальностям, вычислительной и прикладной математике. Здесь вряд ли стоит касаться причин, по которым от планировавшегося авторского коллектива в написании книги приняла участие только советская сторона. Но, говоря о начале работы, нельзя не вспомнить наших чехословацких коллег, контакты с которыми на этапе формирования структуры будущей книги оказались весьма полезными.

Отсутствие книги, которая сочетала бы достаточную строгость изложения с наглядным описанием истоков вводимых понятий и связей между ними, давно уже ощущалось обоими авторами, ведущими преподавание на физическом факультете и факультете вычислительной математики и кибернетики Московского университета. Цель книги – дать последовательное, доступное для первого знакомства и вместе с тем по возможности строгое изложение современных начал дифференциальной геометрии, заполнить пробел, существующий в учебной литературе такого уровня доступности и широты охвата материала. Сказанным, в частности, объясняется название книги.

Книга рассчитана на широкий круг читателей, осознавших недостаточность того минимума геометрических сведений, которые предоставляет им обязательная учебная программа по математике. Это потребовало апробации подготавливаемых материалов перед достаточно представительной аудиторией. В течение ряда лет параллельно с работой над книгой была прочитана серия специальных курсов, охватившая в итоге все ее разделы. В числе слушателей были студенты факультета вычислительной математики и кибернетики Московского университета, студенты ряда московских вузов, а также слушатели вечернего специального отделения факультета ВМиК (инженерный поток). Окончательно книга сложилась в ходе чтения этих лекций и многочисленных обсуждений.

Книга включает в себя теорию кривых и поверхностей, основы тензорного исчисления, элементы римановой геометрии и гладких многообразий, некоторые приложения дифференциальной геометрий. Первые пять глав строятся по одинаковой схеме: введение основных понятий, пояснение их простыми примерами и рисунками, разбор связей между введенными понятиями, доказательство нескольких основных теорем. Завершают главу краткая сводка основных понятий, формул, фактов (в третьей главе такой сводкой является раздел В) и небольшая подборка упражнений с ответами. В последнюю, шестую, главу отнесены приложения обсужденных в предшествующих главах понятий к некоторым задачам математики, физики, техники. В целом эта глава носит иллюстративный характер, и далеко не везде в ней доказательства проводятся подробно, а зачастую и отсутствуют вообще.

Охватывая достаточно большой материал, книга сравнительно невелика по объему. При изложении используется в основном классический аппарат дифференциального и интегрального исчисления в обычном объеме, аналитической геометрии и векторной алгебры, линейной алгебры и дифференциальных уравнений. В книге много иллюстраций. По мнению авторов, это делает материал более доступным, помогает более глубокому усвоению обсуждаемых явлений.

Конечно, книга не свободна от недостатков. Некоторые разделы можно было изложить полнее и шире, отыскать более выразительные приложения, рассказать о той важной роли, которую играют геометрические модели в различных областях естествознания и техники. Авторы будут весьма признательны за любые высказанные замечания.

Первая, четвертая и шестая главы, а также §1–3 второй главы написаны Э.Г.Позняком; третья и пятая главы, а также §4–6 второй и §5 шестой глав написаны Е.В.Шикиным.

Литература, которой пользовались авторы при написании книги, а также некоторые книги для дальнейшего изучения указаны в конце. Ссылки на другие источники, в том числе на статьи в отечественных и зарубежных научных журналах, даны непосредственно в тексте.

Начало и конец доказательств утверждений и решений разбираемых в книге задач отмечаются символом *.

Авторы считают своим приятным долгом выразить свою благодарность:

коллегам, обсуждения с которыми были весьма полезны на всех этапах работы над рукописью;

слушателям лекций, общение с которыми, несомненно, повлияло на окончательный отбор материала, последовательность и доступность изложения;

друг другу за постоянно возобновляемое стремление к взаимопониманию.

* * *

С любезного согласия издательства при подготовке к публикации второго издания нашей книги я написал заново несколько завершающих страниц, а также внес в основной текст необходимые исправления.

Опечатка

Об авторе

Шикин Евгений Викторович

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ (1982–2001), заведующий кафедрой математических методов в управлении факультета государственного управления МГУ (2002–2016). Заслуженный профессор МГУ. Лауреат премии Президента Российской федерации, лауреат многих научных премий. Был удостоен государственных наград. Член Американского математического общества и других иностранных академий наук. Область научных интересов: геометрия, геометрическое моделирование, игры поиска, компьютерная графика. Подготовил 12 кандидатов наук; в числе его учеников — три доктора наук. Автор более 210 опубликованных работ, в числе которых монографии и учебники.