Ху Сы-Цзян. Теория гомотопий Изд. 2

URSS. 2004. 472 с. ISBN 5-354-00670-8.

Мягкая обложка
Твердый переплет 1399 р. ››

Аннотация

Книга посвящена теории гомотопий, одной из важных ветвей топологии. Наряду с изложением задач теории гомотопий (задача распространения, задача гомотопий и т.д.) она содержит изложение теории гомотопических групп и принципов их вычисления (в частности, с помощью спектральных последовательностей расслоенных пространств).

Книга рассчитана на математиков --- научных работников и преподавателей, --- интересующихся вопросами топологии и алгебры.... (Подробнее)

Оглавление

Из предисловия автора
Глава I.	Основная задача; предварительные понятия
	1.	Введение
	2.	Задача распространения
	3.	Метод алгебраической топологии
	4.	Задача ретракции
	5.	Комбинированные отображения
	6.	Топологическое отождествление
	7.	Склеивание
	8.	Задача гомотопии и задача классификации
	9.	Теорема о распространении гомотопии
	10.	Относительные гомотопии
	11.	Гомотопические эквивалентности
	12.	Цилиндр отображения
	13.	Обобщение задачи распространения
	14.	Цилиндр частичного отображения
	15.	Задача стягивания
	16.	Задача накрытия
	17.	Наиболее общая задача
	Упражнения
Глава II.	Некоторые частные случаи основных задач
	1.	Введение
	2.	Экспоненциальное отображение р: R->S¹
	3.	Классификация отображений S¹->S¹
	4.	Фундаментальная группа
	5.	Односвязные пространства
	6.	Связь между группами pi₁(Х,х₀) и Н₁(Х)
	7.	Группа Брушлинского
	8.	Теоремы Хопфа
	9.	Теорема Гуревича
	Упражнения
Глава III.	Расслоенные пространства
	1.	Введение
	2.	Аксиома о накрывающей гомотопии
	3.	Определение расслоенного пространства
	4.	Локально тривиальные расслоения
	5.	Хопфовские расслоения сфер
	6.	Алгебраически тривиальные отображения
	7.	Накрытия и секущие поверхности
	8.	Отображения расслоений и индуцированные расслоенные пространства
	9.	Пространства отображений
	10.	Пространства путей
	11.	Пространства петель
	12.	Аксиома о накрывающем пути
	13.	Теорема о расслоении пространства отображений
	14.	Индуцированные отображения пространств отображений
	15.	Расслоения с дискретными слоями
	16.	Накрывающие пространства
	17.	Построение накрывающих пространств
	Упражнения
Глава IV.	Гомотопические группы
	1.	Введение
	2.	Абсолютные гомотопические группы
	3.	Относительные гомотопические группы
	4.	Граничный оператор
	5.	Индуцированные гомоморфизмы
	6.	Алгебраические свойства
	7.	Свойство точности
	8.	Свойство гомотопической инвариантности
	9.	Свойство инвариантности при расслоении
	10.	Свойство тривиальности
	11.	Гомотопические системы
	12.	Теорема единственности
	13.	Групповые операции
	14.	Роль базисной точки
	15.	Локальные системы групп
	16.	Гомотопически простые пространства
	Упражнения
Глава V.	Вычисление гомотопических групп
	1.	Введение
	2.	Гомотопические группы прямого произведения двух пространств
	3.	Букеты пространств
	4.	Гомоморфизм Гуревича
	5.	Теоремы о прямых суммах
	6.	Гомотопические группы расслоенных пространств
	7.	Гомотопические группы накрывающих пространств
	8.	Определения и свойства расслоения
	9.	Гомотопическая последовательность произвольной тройки
	10.	Гомотопические группы триад
	11.	Надстройка Фрейденталя
	Упражнения
Глава VI.	Теория препятствий
	1.	Введение
	2.	Индекс распространимости
	3.	Препятствие cⁿ⁺¹(g)
	4.	Различающая коцепь
	5.	Теорема Эйленберга о распространении
	6.	Множества Оⁿ⁺¹ (f)
	7.	Задача гомотопии
	8.	Препятствие dⁿ(f, g; h_t)
	9.	Группа ⁿ⁺¹Rⁿ⁺¹(K,L;f)
	10.	Множества Оⁿ (f, g)
	11.	Общая теорема о гомотопии
	12.	Задача классификации
	13.	Препятствия первой ступени
	14.	Теоремы распространения первой ступени
	15.	Теоремы гомотопии первой ступени
	16.	Теоремы классификации первой ступени
	17.	Характеристический класс разбиения Y
	Упражнения
Глава VII.	Когомотопические группы
	1.	Введение
	2.	Когомотопические множества pi^m(Х,А)
	3.	Индуцированные отображения
	4.	Кограничный оператор
	5.	Групповая операция в множествах pi^m(Х, А)
	6.	Когомотопическая последовательность тройки
	7.	Основная лемма
	8.	Вложение (6)
	9.	Вложение (5)
	10.	Когомотопические группы в высших размерностях
	11.	Связь с группами когомологий
	12.	Связь с гомотопическими группами
	Упражнения
Глава VIII.	Точные пары и спектральные последовательности
	1.	Введение
	2.	Дифференциальные группы
	3.	Градуированные и дважды градуированные группы
	4.	Точные пары
	5.	Дважды градуированные точные пары
	6.	Регулярные пары
	7.	Градуированные группы P(E) и S(E)
	8.	Основная точная последовательность
	9.	Отображения точных пар
	10.	Дифференциальные группы с фильтрацией
	11.	Градуированные дифференциальные группы с фильтрацией
	12.	Отображения градуированных дифференциальных групп с фильтрацией
	Упражнения
Глава IX.	Спектральные последовательности расслоенных пространств
	1.	Введение
	2.	Кубическая сингулярная теория гомологии
	3.	Фильтрация группы сингулярных цепей расслоенного пространства
	4.	Ассоциированная точная пара
	5.	Производная пара
	6.	Гомологии с произвольными коэффициентами
	7.	Спектральная гомологическая последовательность
	8.	Доказательство леммы А
	9.	Доказательство леммы В
	10.	Доказательство лемм С и D
	11.	Многочлены Пуанкаре
	12.	Точная последовательность Гизина
	13.	Точная последовательность Вана
	14.	Урезанные точные последовательности
	15.	Спектральная последовательность регулярно накрывающего пространства
	16.	Теорема Смита
	17.	Влияние фундаментальной группы на группы гомологии и когомологий
	18.	Конечные группы, свободно действующие на сфере S^r
	Упражнения
Глава X.	Классы абелевых групп
	1.	Введение
	2.	Определение классов
	3.	Примарные компоненты абелевых групп
	4.	E-понятия
	5.	Совершенные и полные классы
	6.	Классы абелевых групп и расслоенные пространства
	7.	Приложения к n-связным расслоениям
	8.	Обобщенная теорема Гуревича
	9.	Относительная теорема Гуревича
	10.	Теорема Уайтхеда
	Упражнения
Глава XI.	Гомотопические группы сфер
	1.	Введение
	2.	Теорема о надстройке
	3.	Каноническое отображение
	4.	Изоморфизм Вана rho_*
	5.	Связь между гомоморфизмами rho_* и i_#
	6.	Гомотопические группы триады
	7.	Конечность гомотопических групп нечетномерных сфер
	8.	Итерированная надстройка
	9.	Примарные компоненты групп pi_m (S³)
	10.	Псевдопроективные пространства
	11.	Многообразия Штифеля
	12.	Конечность гомотопических групп четномерных сфер
	13.	Примарные компоненты гомотопических групп четномерных сфер
	14.	Инвариант Хопфа
	15.	Группы pi_n+1(S_n) и pi_n+2(S_n)
	16.	Группы pi_n+3(S_n)
	17.	Группы pi_n+4(S_n)
	18.	Группы pi_n+r(S_n), 5=<r=<15
	Упражнения
Библиография
Предметный указатель

Из предисловия автора

Теория гомотопий как самостоятельное направление в математике возникла в конце тридцатых годов, вскоре после того как В.Гуревич в 1935 г. ввел гомотопические группы. Бурное развитие теории гомотопий связано с именами многих выдающихся математиков. Однако, несмотря на все возрастающую ее роль в алгебраической топологии, до сих пор нет учебника по этому предмету, если не считать весьма краткой (но тем не менее содержащей обширный материал) монографии Хилтона [Хн].

Настоящая книга рассчитана на начинающего читателя-математика, который хочет ознакомиться с основными идеями теории гомотопий. Предполагается, однако, что он знаком с основами теоретико-множественной топологии и теории гомологии. Автор старался излагать материал достаточно подробно, чтобы дать возможность читателю овладеть элементарной техникой и тем самым подготовить его к чтению оригинальных статей.

В первой главе книги формулируются основные задачи теории гомотопий; во второй главе эти задачи иллюстрируются многочисленными примерами. В третьей вводится имеющее первостепенное значение для дальнейшего понятие расслоенного пространства. В четвертой главе приведены обычное и аксиоматическое построения гомотопических групп; элементарные методы вычисления этих групп изложены в главе пятой. Глава шестая представляет собой введение в теорию препятствий непрерывных отображений. Седьмая глава содержит сведения о когомотопических группах. Следующие три главы посвящены замечательным результатам, полученным французской школой на основе теории спектральных последовательностей Лере. Разработанная в этих главах методика применяется в последней главе к вычислению нескольких гомотопических групп сфер.

Как уже было сказано, автор не ставит целью дать исчерпывающий обзор теории гомотопий. Например, известные результаты М.М.Постникова о натуральных системах полиэдров в книгу не включены. К тому же развитие теории гомотопий происходит так быстро, что любое исчерпывающее ее изложение должно очень быстро устареть.

В конце каждой главы даны упражнения. Они охватывают материал, который не включен в текст лишь потому, что не имеет непосредственного отношения к основной линии изложения. Некоторые упражнения достаточно трудны, и неподготовленный читатель не должен быть обескуражен, если он не сможет их выполнить. В этом случае он может ознакомиться с указанными в этих упражнениях оригинальными работами.

Библиография в конце книги сведена до минимума. Указанные там литературные источники содержат в основном изложение вопросов, так или иначе затронутых в тексте и упражнениях. При составлении библиографии автор ни в коей мере не руководствовался историческими соображениями, в связи с чем предпочтение, как правило, отдавалось не первоисточникам, а обстоятельным (хотя бы и не оригинальным) статьям. В случае когда при изложении какого-нибудь вопроса ссылки на библиографию отсутствуют, это означает, что для его понимания изучения дополнительного материала не требуется.

В конце книги приложен список обозначений и сокращений, используемых в тексте. В частности, символом "пустое множество" мы обозначаем пустое множество, а символами А \ В -- разность множеств А и В. Знак "черный квадратик" обозначает конец доказательства.

Автор чрезвычайно признателен профессору Стинроду, прочитавшему несколько вариантов рукописи и сделавшему ряд ценных замечаний, которые привели к значительному улучшению книги. Автор также хочет выразить свою благодарность докторам Джону, Гриффину и профессору Янгу, которые любезно согласились прочитать окончательный вариант текста и просмотреть доказательства.

Вайнский университет, Детройт, Мичиган

Ху Сы-Цзян