Предисловие |
Глава первая. Кривые в пространстве |
| I. | Элементы первого порядка |
| | 1. | Определение кривой |
| | 2. | Касательная |
| | 3. | Длина дуги |
| II. | Элементы второго порядка |
| | 4. | Главная нормаль |
| | 5. | Сопровождающий трехгранник Френе |
| | 6. | Соприкасающаяся плоскость |
| III. | Элементы третьего порядка |
| | 7. | Движение трехгранника Френе |
| | 8. | Характеристика движения трехгранника Френе |
| | 9. | Кривизна и кручение |
| | 10. | Кривые Бертрана |
| | 11. | Натуральные уравнения кривой |
| | 12. | Винтовые линии |
| IV. | Развертывающиеся поверхности, связанные с кривой |
| | 13. | Огибающая семейства поверхностей |
| | 14. | Развертывающаяся поверхность |
| | 15. | Полярная поверхность |
| | 16. | Эволюты кривой |
| | 17. | Спрямляющая поверхность |
| V. | Соприкасающиеся поверхности |
| | 18. | Соприкасающаяся плоскость |
| | 19. | Соприкасающаяся сфера |
| | 20. | Формула для вычисления кручения кривой |
| Упражнения |
Глава вторая. Линейный элемент поверхности |
| I. | Элементы первого порядка на поверхности |
| | 1. | Криволинейные координаты на поверхности |
| | 2. | Касательная плоскость |
| | 3. | Линейный элемент поверхности |
| | 4. | Угол двух кривых на поверхности |
| | 5. | Площадь поверхности |
| II. | Примеры поверхностей |
| | 6. | Плоскость и сфера |
| | 7. | Поверхность вращения |
| | 8. | Катеноид |
| | 9. | Псевдосфера |
| | 10. | Линейчатая поверхность |
| II. | Налагающиеся поверхности |
| | 11. | Изгибание поверхностей |
| | 12. | Развертывающаяся поверхность |
| | 13. | Изгибание поверхностей вращения |
| | 14. | Изгибание шара |
| IV. | Конформное отображение |
| | 15. | Конформное отображение |
| | 16. | Конформное отображение поверхности вращения на плоскость |
| | 17. | Изотермическая система |
| | 18. | Линии нулевой длины |
| Упражнения |
Глава третья. Вторая квадратичная форма |
| I. | Нормальная кривизна кривой на поверхности |
| | 1. | Кривизна кривой на поверхности |
| | 2. | Нормальная кривизна кривой |
| | 3. | Индикатриса Дюпена |
| | 4. | Формула Эйлера |
| | 5. | Главные радиусы кривизны |
| II. | Трехгранник Дарбу |
| | 6. | Трехгранник Дарбу |
| | 7. | Кинематическое значение квадратичных форм Гаусса |
| | 8. | Сферическое изображение поверхности |
| | 9. | Кривизна поверхности |
| III. | Линии кривизны |
| | 10. | Линии кривизны |
| | 11. | Качение трехгранника Дарбу по поверхности центров |
| IV. | Сопряженные линии |
| | 12. | Сопряженные направления |
| | 13. | Поверхность, отнесенная к сопряженной системе |
| V. | Асимптотические линии |
| | 14. | Асимптотические линии |
| | 15. | Асимптотические касательные к поверхности |
| | 16. | Поверхность, отнесенная к асимптотическим линиям |
| | 17. | Формулы Лельевра |
| | 18. | Теорема Enneper'a |
| VI. | Добавление |
| | 19. | Проективное преобразование пространства |
| | 20. | Квадратичные формы поверхности |
| Упражнения |
Глава четвертая. Основные уравнения теории поверхности |
| I. | Уравнения Гаусса-Кодацци |
| | 1. | Основные уравнения в форме Дарбу |
| | 2. | Единственность поверхности с заданными инвариантами |
| | 3. | Определение конечных уравнений поверхности |
| | 4. | Определение трехгранника Дарбу по коэффициентам двух квадратичных форм |
| | 5. | Уравнения Кодацци |
| II. | Проблема изгибания поверхности |
| | 6. | Две задачи изгибания |
| | 7. | Теорема Гаусса |
| | 8. | Первая задача изгибания |
| | 9. | Поверхности постоянной кривизны |
| | 10. | Изгибание с одной твердой линией |
| | 11. | Изгибание с сохранением асимптотических линий одного семейств |
| | 12. | Изгибание с сохранением сопряженной системы |
| III. | Сферическое изображение поверхности |
| | 13. | Сферическое изображение и его линейный элемент |
| | 14. | Третья квадратичная форма Гаусса |
| | 15. | Поверхность с заданным сферическим изображением сопряженной системы |
| | 16. | Сферическое изображение асимптотических линий |
| | 17. | Примеры |
| Упражнения |
Глава пятая. Геодезические линии. Геометрия на поверхности |
| | 1. | Геодезические -- как линии постоянного направления на поверхности |
| | 2. | Уравнение геодезической линии |
| | 3. | Геодезическая линия как кратчайшее расстояние |
| | 4. | Теорема Дарбу |
| | 5. | Геодезические на поверхности вращения |
| | 6. | Развертывание линии на плоскость |
| | 7. | Геодезическое кручение |
| | 8. | Кривизна геодезического треугольника |
| | 9. | Геодезические круги Дарбу |
| | 10. | Геодезические эллипсы и гиперболы |
| | 11. | Теорема Якоби |
| | 12. | Поверхности Лиувилля |
| | 13. | Геометрия на псевдосфере |
| Упражнения |
Глава шестая. Минимальные поверхности |
| | 1. | Поверхности с наименьшей площадью |
| | 2. | Основные свойства минимальной поверхности |
| | 3. | Формулы Монжа |
| | 4. | Формулы Вейерштрасса |
| | 5. | Односторонние минимальные поверхности |
| | 6. | Изгибание минимальных поверхностей |
| | 7. | Формулы Шварца |
| | 8. | Следствие из формул Шварца |
| | 9. | Частные случаи |
| Упражнения |
Глава седьмая. Теория конгруэнции |
| | 1. | Линейчатая геометрия |
| | 2. | Конгруэнция кривых |
| | 3. | Конгруэнция прямых |
| | 4. | Фокусы луча |
| | 5. | Граничные точки луча |
| | 6. | Изотропная конгруэнция |
| | 7. | Нормальная конгруэнция |
| | 8. | Конгруэнция W |
| | 9. | Поверхности Вейнгартена |
| | 10. | Псевдосферическая конгруэнция |
| | 11. | Основные формы Санниа |
| Упражнения |
Глава восьмая. Триортогональная система поверхностей |
| | 1. | Криволинейные координаты в пространстве |
| | 2. | Теорема Дюпена |
| | 3. | Уравнение Ляме |
| | 4. | Теорема Лиувилля о конформном отображении пространства |
| | 5. | Теорема Дарбу |
| | 6. | Уравнения для семейства поверхностей Ляме |
| | 7. | Софокусные поверхности второго порядка |
| | 8. | Изотермическая система |
| Упражнения |
Таблица основных формул |
Дифференциальная геометрия родилась в работах Монжа и его учеников
как приложение анализа к геометрии. Гаусс значительно раздвинул
эти рамки. Введение криволинейных координат, основных квадратичных
форм, сферического изображения поверхности создало тот фундамент,
на котором могла свободно развиваться теория, изложенная в четырех томах
курса Бианки. Изящный метод Дарбу много помог ее пышному развитию.
Она значительно переросла замыслы Гаусса. Не только теория поверхности
в тесном смысле слова, но и теория конгруэнции прямых, циклических
систем или трижды ортогональных семейств поверхностей стала
предметом исследования. Работами Вильчинского, Блашке, Фубини были
созданы новые отрасли нашей науки -- афинная, проективная, конформная,
дифференциальные геометрии. Идеи Римана и Картана еще раздвинули
ее рамки вводя в круг исследования наиболее общее пространство,
а гениальная мысль Эйнштейна по существу сделала всю физику одной
из глав дифференциальной геометрии.
В этом блестящем развитии самый метод нашей науки не мог оставаться
неизменным. От элементарных приемов Монжа, которые по существу
были простым приложением аналитической геометрии, к теории квадратичных
форм Гаусса, к исключительной по своей общности и силе
символике тензорного анализа и абсолютному дифференцированию Риччи;
от опирающегося на простейшие кинематические представления метода
Дарбу и Рибокура к методу внешних форм и подвижной системы отнесения
Картана, -- таков путь развития дифференциальной геометрии за сто
с небольшим лет.
Это необычайное развитие метода, который в своих последних обобщениях
представляет изумительно стройную и совершенную систему и сам
по себе достоин изучения, эти поражающие успехи нашей науки таят
в себе и некоторую опасность, по крайней мере для начинающих: аппарат
исследования может в их глазах заслонить самый предмет изучения.
Читая многие работы по дифференциальной геометрии и даже учебники,
не сразу можно уловить, что дело идет об исследовании вещественных
свойств окружающего мира, хотя бы и в идеальном представлении его.
Между тем дифференциальная геометрия есть все же геометрия; ее
должно интересовать и интересует исследование простых или более глубоких
свойств линий, поверхностей или более сложных образований
вплоть до пространств Картана с кривизной и кручением.
Мне казалось поэтому полезным написать такую книгу по дифференциальной
геометрии, где геометрическая сторона дела стояла бы на первом
месте, а самый метод вводился бы постепенно, по мере надобности.
Из поставленной задачи вытекали и содержание, и выбранный метод,
и самое расположение материала. Почти вся книжка посвящена теории
поверхности, как наиболее простому и осязаемому объекту дифференциальной
геометрии. Только первая глава отводится теории кривых, и в двух последних намечена теория конгруэнции и триортогональных систем.
Основным методом избран кинематический метод Дарбу. Тут формулы
более просты, и геометрическая сущность выступает с большей ясностью, -- только здесь, например, можно вывести основные условия совместности
(уравнения Гаусса-Кодацци), не переходя на другой лист
бумаги.
Я все же не решился совершенно исключить теорию квадратичных
форм Гаусса и почти во всех основных вопросах провел параллельное
изложение с помощью основных форм поверхности. Это было тем более
необходимо, что только в свете гауссовой теории компоненты переноса
и вращения Дарбу получают свое полное значение с точки зрения теории
поверхности.
Чтобы сделать его еще более наглядным, метод Дарбу дан в векторных
обозначениях. Векторная символика стала теперь обычным языком
геометрии на Западе. Элементарные сведения основных операций над
векторами и у нас достаточно распространены, но даже и отсутствие
знакомства с векторами вряд ли явится препятствием к пониманию этой
книги, -- настолько незначителен объем необходимых обозначений, которые,
кстати, все объяснены в сносках.
Первая глава закончена сама в себе и может читаться отдельно.
Со второй главы начинается теория поверхности. Здесь с самыми элементарными
сведениями разбирается целый ряд наиболее известных поверхностей
и ставятся основные задачи изгибания поверхности и конформного
отображения. Не следует забывать, что большинство этих результатов
было получено до того, как была построена общая теория, и что знание
конкретных поверхностей и отдельных случаев изгибания составляет в такой же мере содержание дифференциальной геометрии, как и общие методы
исследования.
В третьей главе вводятся вторая квадратичная форма Гаусса, компоненты
движения трехгранника Дарбу и все те линии на поверхности,
которые непосредственно с ней связаны, и только гл.IV -- основные
уравнения теории поверхности и их приложение к двум основным задачам:
задаче изгибания поверхности и задаче определения поверхности
по ее сферическому изображению -- содержит изложение основной теории.
Для читателя, который хотел бы в немногих словах ознакомиться
с теорией поверхности без всяких приложений, можно указать гл.II,
отд.I; гл.III, отд.I и II, и гл.IV, отд.I.
Чтобы сделать еще более близкими те поверхности, которые мы изучаем,
в конце книги приложена таблица фотографий.
Рисунки 2 и 10--14 заимствованы из книги Hilbert & Cohn Vossen
"Anschauliche Geometrie", все остальные сняты с моделей кабинета математики
Московского университета. Пользуюсь случаем выразить свою
глубокую благодарность всем лицам, которые оказывали мне в этом
содействие.
Несмотря на элементарность этой книжки, я думаю, что она может
служить введением для чтения оригинальных мемуаров и даже для собственных
исследований. Чтобы облегчить ее использование в этом направлении,
в конце приведена таблица формул, а в конце каждой главы даны
задачи и упражнения. Большинство из них отличается от оригинального
исследования только тем, что ответ заранее известен. К ним можно было бы присоединить все те теоремы, приведенные в тексте, доказательство
которых намечено более или менее сжато и требует от читателя самостоятельного
проведения выкладок.
К сожалению, я здесь совершенно не мог коснуться вопросов бесконечно
малого изгибания, преобразования поверхностей и всех тех вопросов
связи между элементами поверхностей, конгруэнции и т.д., которые
Рибокур назвал геометрией около поверхности и которые особенно
хорошо разрабатывались за последние полвека. Эти вопросы могли бы
составить отдельную тему, к которой я вернусь, если позволят обстоятельства.
<
Фиников Сергей Павлович
Выдающийся советский математик. Окончил Московский университет (ныне Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова — МГУ). С 1918 г. профессор Московского университета, с 1952 г. заведующий кафедрой дифференциальной геометрии механико-математического факультета МГУ. Получил ряд фундаментальных результатов в классических задачах изгибания поверхностей, в метрической и проективной теории конгруэнций. Построил проективную теорию расслояемых пар конгруэнций. Разработал метод канонизации репера и независимых параметров, являющийся развитием метода Дарбу—Картана. Один из создателей современной проективно-дифференциальной геометрии. Основатель школы советских математиков-геометров.