Фиников С.П.

Теория поверхностей. Изд. 4, перераб., испр.

Оглавление

Предисловие

Дифференциальная геометрия родилась в работах Монжа и его учеников как приложение анализа к геометрии. Гаусс значительно раздвинул эти рамки. Введение криволинейных координат, основных квадратичных форм, сферического изображения поверхности создало тот фундамент, на котором могла свободно развиваться теория, изложенная в четырех томах курса Бианки. Изящный метод Дарбу много помог ее пышному развитию. Она значительно переросла замыслы Гаусса. Не только теория поверхности в тесном смысле слова, но и теория конгруэнции прямых, циклических систем или трижды ортогональных семейств поверхностей стала предметом исследования. Работами Вильчинского, Блашке, Фубини были созданы новые отрасли нашей науки -- афинная, проективная, конформная, дифференциальные геометрии. Идеи Римана и Картана еще раздвинули ее рамки вводя в круг исследования наиболее общее пространство, а гениальная мысль Эйнштейна по существу сделала всю физику одной из глав дифференциальной геометрии.

В этом блестящем развитии самый метод нашей науки не мог оставаться неизменным. От элементарных приемов Монжа, которые по существу были простым приложением аналитической геометрии, к теории квадратичных форм Гаусса, к исключительной по своей общности и силе символике тензорного анализа и абсолютному дифференцированию Риччи; от опирающегося на простейшие кинематические представления метода Дарбу и Рибокура к методу внешних форм и подвижной системы отнесения Картана, -- таков путь развития дифференциальной геометрии за сто с небольшим лет.

Это необычайное развитие метода, который в своих последних обобщениях представляет изумительно стройную и совершенную систему и сам по себе достоин изучения, эти поражающие успехи нашей науки таят в себе и некоторую опасность, по крайней мере для начинающих: аппарат исследования может в их глазах заслонить самый предмет изучения. Читая многие работы по дифференциальной геометрии и даже учебники, не сразу можно уловить, что дело идет об исследовании вещественных свойств окружающего мира, хотя бы и в идеальном представлении его.

Между тем дифференциальная геометрия есть все же геометрия; ее должно интересовать и интересует исследование простых или более глубоких свойств линий, поверхностей или более сложных образований вплоть до пространств Картана с кривизной и кручением.

Мне казалось поэтому полезным написать такую книгу по дифференциальной геометрии, где геометрическая сторона дела стояла бы на первом месте, а самый метод вводился бы постепенно, по мере надобности.

Из поставленной задачи вытекали и содержание, и выбранный метод, и самое расположение материала. Почти вся книжка посвящена теории поверхности, как наиболее простому и осязаемому объекту дифференциальной геометрии. Только первая глава отводится теории кривых, и в двух последних намечена теория конгруэнции и триортогональных систем. Основным методом избран кинематический метод Дарбу. Тут формулы более просты, и геометрическая сущность выступает с большей ясностью, -- только здесь, например, можно вывести основные условия совместности (уравнения Гаусса-Кодацци), не переходя на другой лист бумаги.

Я все же не решился совершенно исключить теорию квадратичных форм Гаусса и почти во всех основных вопросах провел параллельное изложение с помощью основных форм поверхности. Это было тем более необходимо, что только в свете гауссовой теории компоненты переноса и вращения Дарбу получают свое полное значение с точки зрения теории поверхности.

Чтобы сделать его еще более наглядным, метод Дарбу дан в векторных обозначениях. Векторная символика стала теперь обычным языком геометрии на Западе. Элементарные сведения основных операций над векторами и у нас достаточно распространены, но даже и отсутствие знакомства с векторами вряд ли явится препятствием к пониманию этой книги, -- настолько незначителен объем необходимых обозначений, которые, кстати, все объяснены в сносках.

Первая глава закончена сама в себе и может читаться отдельно. Со второй главы начинается теория поверхности. Здесь с самыми элементарными сведениями разбирается целый ряд наиболее известных поверхностей и ставятся основные задачи изгибания поверхности и конформного отображения. Не следует забывать, что большинство этих результатов было получено до того, как была построена общая теория, и что знание конкретных поверхностей и отдельных случаев изгибания составляет в такой же мере содержание дифференциальной геометрии, как и общие методы исследования.

В третьей главе вводятся вторая квадратичная форма Гаусса, компоненты движения трехгранника Дарбу и все те линии на поверхности, которые непосредственно с ней связаны, и только гл.IV -- основные уравнения теории поверхности и их приложение к двум основным задачам: задаче изгибания поверхности и задаче определения поверхности по ее сферическому изображению -- содержит изложение основной теории.

Для читателя, который хотел бы в немногих словах ознакомиться с теорией поверхности без всяких приложений, можно указать гл.II, отд.I; гл.III, отд.I и II, и гл.IV, отд.I.

Чтобы сделать еще более близкими те поверхности, которые мы изучаем, в конце книги приложена таблица фотографий.

Рисунки 2 и 10--14 заимствованы из книги Hilbert & Cohn Vossen "Anschauliche Geometrie", все остальные сняты с моделей кабинета математики Московского университета. Пользуюсь случаем выразить свою глубокую благодарность всем лицам, которые оказывали мне в этом содействие.

Несмотря на элементарность этой книжки, я думаю, что она может служить введением для чтения оригинальных мемуаров и даже для собственных исследований. Чтобы облегчить ее использование в этом направлении, в конце приведена таблица формул, а в конце каждой главы даны задачи и упражнения. Большинство из них отличается от оригинального исследования только тем, что ответ заранее известен. К ним можно было бы присоединить все те теоремы, приведенные в тексте, доказательство которых намечено более или менее сжато и требует от читателя самостоятельного проведения выкладок.

К сожалению, я здесь совершенно не мог коснуться вопросов бесконечно малого изгибания, преобразования поверхностей и всех тех вопросов связи между элементами поверхностей, конгруэнции и т.д., которые Рибокур назвал геометрией около поверхности и которые особенно хорошо разрабатывались за последние полвека. Эти вопросы могли бы составить отдельную тему, к которой я вернусь, если позволят обстоятельства. <

Об авторе

Фиников Сергей Павлович

Выдающийся советский математик. Окончил Московский университет (ныне Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова — МГУ). С 1918 г. профессор Московского университета, с 1952 г. заведующий кафедрой дифференциальной геометрии механико-математического факультета МГУ. Получил ряд фундаментальных результатов в классических задачах изгибания поверхностей, в метрической и проективной теории конгруэнций. Построил проективную теорию расслояемых пар конгруэнций. Разработал метод канонизации репера и независимых параметров, являющийся развитием метода Дарбу—Картана. Один из создателей современной проективно-дифференциальной геометрии. Основатель школы советских математиков-геометров.