Хинчин А.Я. Великая теорема Ферма Изд. 4

Оглавление

Предисловие

Интерес к великой теореме Ферма в нашем обществе растет с каждым годом; об этом свидетельствуют многочисленные запросы и попытки доказательств, получаемые нашими научными обществами и учреждениями. Между тем на русском языке не существует сколько-нибудь доступной литературы по этому вопросу, да и в странах Европы дело обстоит в этом отношении не многим лучше. Поэтому я охотно согласился на любезное предложение Научного Отдела Государственного Издательства написать небольшую книжку, которая всем интересующимся могла бы дать необходимые справки, касающиеся проблемы Ферма, ее истории и современного состояния, а также по возможности осветить ее со стороны принципиальной и методологической.

Чтение этой книжки (за исключением дополнения) доступно каждому, кто знает элементарную арифметику.

Москва. 16 июля 1925 г.

1. Постановка задачи

Предложение, которое обычно называют Великой теоремой Ферма, родилось около середины XVII столетия; и во всей последующей истории математической мысли вряд ли можно найти другую задачу, которая в такой степени привлекала бы к себе научные усилия на протяжении столетий, как задача доказательства этой теоремы, – задача, не разрешенная и по настоящее время.

В то время, в XVII столетии, не было организованных научных обществ и не было научных журналов. Научное общение осуществлялось главным образом путем переписки. Отдельные гиганты математической мысли писали друг другу о своих достижениях и надеждах, писали редко и не спеша, потому что общий темп жизни был медленным и потому что почта тоже не спешила и ответа приходилось дожидаться долго. С другой стороны, и ученых было мало, так что каждый из них мог по пальцам пересчитать тех, кому интересно было бы узнать о его работах. Всем этим объясняется то, что от многих математических истин, открытых в то время, до нас дошли одни формулировки; доказательств история часто не сохраняла, и их приходилось восстанавливать заново. В особенности это относится к предложениям теории чисел. В сущности, этой науки тогда еще не существовало; по крайней мере не было попыток соединить ее достижения в одно систематическое здание, и современники были склонны видеть в проблемах арифметики отдельные занятные, часто забавные, способные доставить изощренному уму тонкое наслаждение задачи; поэтому понятно, что в решении этих задач создалось соревнование, принимавшее характер спорта. Один писал другому: "Я умею решить такую-то задачу, умеешь ли ты ее решить?" А другой отвечал: "Нет, я ее решить не могу, и ты, очевидно, гениальный человек; но зато я знаю решение такой-то другой задачи; что ты можешь сказать о ней?" и т.д.

Ферма, Френикль, Декарт, Паскаль и др. часто и много переписывались между собою именно в этом роде; поэтому вполне понятно, что в большинстве случаев до нас от этой переклички гигантов дошли одни названия их достижений; пути остались скрытыми. И если в большинстве случаев потомки, владевшие более сильными методами, сумели восстановить потерянные историей доказательства, то по крайней мере в одном случае – в случае Великой теоремы Ферма – им этого сделать не удалось.

Вот краткая история рождения этой задачи:

Пьер Ферма (Pierre Fermat), бесспорно, наиболее выдающийся французский математик XVII столетия, обычно по справедливости почитается отцом современной теории чисел; первые достижения этой науки возникли при попытках решения целого ряда задач, им поставленных.

В 1670 г. сын Пьера Ферма издал книгу александрийского математика Диофанта, при чем были перепечатаны также и примечания Пьера Ферма, оставленные им на полях одного из экземпляров этого сочинения. Одно из этих примечаний и содержит предложение, получившее наименование Великой теоремы Ферма. Вот его смысл:

Если n означает какое угодно целое положительное число, большее нежели 2, то уравнению

xⁿ + yⁿ = zⁿ (1)

не могут удовлетворять никакие три целых положительных числа х, у и z.

К этому Ферма прибавляет:

Я нашел удивительное доказательство этого предложения, но поля книги слишком узки, чтобы оно могло на них поместиться.

Таким образом доказательство, которым обладал сам Ферма, осталось необнародованным. С тех пор прошло почти триста лет, и мы еще не имеем ни доказательства ни опровержения Великой теоремы Ферма; и это несмотря на то, что, как уже сказано, задаче этой непрерывно посвящали и продолжают посвящать свое внимание многие крупные ученые и еще большее количество неспециалистов, которых соблазняет простота формулировки проблемы.

Вопрос о том, имел ли действительно Ферма строгое доказательство своего предложения или же он заблуждался (в искренности его, повидимому, сомневаться не приходится), – этот вопрос, хотя он и часто обсуждается в литературе, очевидно, может иметь только историческое значение, почему мы здесь и не станем на нем останавливаться.

Об авторе

Выдающийся математик, доктор физико-математических наук, блестящий представитель Московской математической школы. Профессор МГУ им. М.В.Ломоносова (с 1922 г.), СГУ (1935–1937). Член-корреспондент АН СССР с 1939 г. В 1941 г. стал лауреатом Государственной премии СССР. C 1943 по 1957  гг. заведовал кафедрой математического анализа механико-математического факультета МГУ. Ученик Н.Н.Лузина. Действительный член Академии педагогических наук, один из ее основателей (1943). Награжден четырьмя орденами, в том числе орденом Ленина.

Им получены основополагающие результаты в теории функций действительного переменного, теории чисел, теории вероятностей, статистической физике.