Настоящая книга возникла при попытке понять основные принципы квантовой теории поля, предпринятой математиком, точнее специалистом по математической физике. Не секрет, что квантовая теория поля является для многих математиков "китайской грамотой". В то же время, на наш взгляд, назрела принципиальная необходимость включить квантовую теорию поля в математическую физику. Это необходимо по нескольким причинам. Главная из них – то, что квантовая теория поля отвечает на естественные натурфилософские вопросы, которыми может задаться математик: можно ли делить материю до бесконечности? Как обобщить далеко разработанный и богатый прекрасными результатами аппарат линейной математической физики на многомерные вариационные задачи? Иными словами, как математически моделировать среду, в которой возбуждения распространяются во все стороны не по кривым, а по (многомерным) поверхностям? Вторая причина, по которой математикам пора понять квантовую теорию поля, – обилие математических результатов, полученных квантовополевыми методами. Для непосвященных математиков эти результаты выглядят как фокусы типа "кролик из шляпы". Исторически сам автор, будучи студентом, начал с изучения этих результатов, таких как применение конформной теории поля к теории представлений и алгебраической геометрии. В то же время стало понятно, что удовлетворительное для математика изложение конформной теории поля отсутствует. Изучение конформной теории поля напоминало изучение теории функций комплексного переменного без знания вещественного дифференциального и интегрального исчисления. То есть как раз не хватало понимания математических механизмов квантовой теории поля. Настоящая книга рассчитана на математиков, имеющих классическое образование в области математического анализа и математической физики. Тем самым эти прекрасные математические результаты, которые начали уже выходить из многих образовательных курсов, снова включаются в основное древо развития математики, неотделимого от развития естествознания. Автор счастлив, что на его долю выпало снова соединить разделенное. Здесь уместно вспомнить слова И.М.Гельфанда, который говорил, что воспринимает математику вместе с математической физикой как единое целое. Можно добавить, что математики более ранних времен вообще не отделяли математику от физики, и было бы прекрасно возродить эту классическую традицию. Перейдем к изложению содержания книги. Основной метод вывода результатов и конструкций квантовой теории поля в книге – математический, т.е. метод логических рассуждений, опирающихся на натурфилософские представления. В какой-то степени это метод последовательных приближений, от наивных представлений ко все более и более корректным. Поэтому книгу можно рассматривать как математический трактат, выводящий основные понятия квантовой теории поля из общих натурфилософских предпосылок. В первой вводной части напоминаются некоторые классические результаты математической физики, связанные с оптико-механической аналогией, которые будут служить ориентиром и, так сказать, почвой для дальнейшего изложения. Сюда входят одномерное вариационное исчисление, теория Гамильтона–Якоби, гамильтонов формализм, обобщенные функции, преобразование Фурье и представление А.Вейля симплектической группы, теория квазиклассических асимптотик решения уравнения Шредингера, исчисление Г.Вейля псевдодифференциальных операторов. Здесь есть и новые результаты, объединяющие с единых позиций метод комплексного ростка В.П.Маслова, исчисление Г.Вейля и представление А.Вейля. Мы постарались дать здесь обзор математических методов, связанных с оптико-механической аналогией, от закона преломления света до интегральных операторов Фурье. Более подробно содержание книги освещено в оглавлении. Изложение в первой части представляет собой сильно расширенный и модифицированный вариант брошюры автора [38]. Во второй части совершается постепенный переход к теории поля. Основная движущая идея – обобщение предыдущих результатов на ситуацию многомерной вариационной задачи. Вначале дается детальный анализ классической теории поля: многомерное вариационное исчисление, обобщенная теория Гамильтона–Якоби, ковариантный обобщенный гамильтонов формализм. Затем переходим к попыткам квантования. В качестве пробного камня рассматривается свободное скалярное поле. Его квантование приводит к идее подходящего бесконечномерного обобщения представления А.Вейля и метода комплексного ростка, которая оказывается неудачной. Вместо этого оказывается целесообразным бесконечномерное обобщение исчисления Г.Вейля, и рассмотрение уравнения Гейзенберга в алгебре Г.Вейля. Таким образом удается построить полную логически последовательную квантовую теорию свободного скалярного поля и получить формулы физиков для функций Грина свободного поля. Вообще, уже здесь следует сказать, что наиболее близкая "физическая" книга к нашему изложению – это книга Н.Н.Боголюбова и Д.В.Ширкова [8]. Однако изложение не опирается на эту книгу, а как бы параллельно ей. (Только в самом конце мы ссылаемся на теорему Боголюбова–Парасюка.) Следующий шаг – переход к рассмотрению взаимодействующих полей, причем взаимодействие рассматривается как малое возмущение. Здесь обсуждается несколько подходов к квантованию, наиболее прямолинейный из которых – это рассмотрение уравнения Гейзенберга в алгебре Вейля. Выясняется, что решения этого уравнения плохо определены, потому что ряд теории возмущений для оператора эволюции задается расходящимися интегралами, соответствующими диаграммам Фейнмана. Основное отличие от обычных фейнмановских интегралов, рассматриваемых в физике, – то, что интегрирование идет не по всему пространству-времени, а только по полосе в нем. Следуя физическим соображениям, пытаемся модифицировать эти расходящиеся интегралы вычитательной процедурой, так чтобы получить однопараметрическое семейство автоморфизмов алгебры Вейля. В качестве примера берем модель phi4. Однако, хотя для однопетлевой диаграммы с двумя вершинами перенормировка проходит, для двух петель возникают трудности. Выясняется, что это связано с негладкостью характеристической функции полосы. Приходится изменить точку зрения на квантовополевую динамику и рассматривать операторы эволюции с членом взаимодействия, сглаженным при помощи гладкого множителя во всем пространстве-времени, например, g(x)phi(x)4, где g(x) – гладкая функция, служащая заменителем характеристической функции полосы. Формулировку динамики с функцией g(x) приходится давать при помощи подходящей версии условия причинности. Теперь фейнмановские интегралы уже удается перенормировать, и мы приходим к формулировке Боголюбова квантовой теории поля через S-матрицу S(g), зависящую от функции включения взаимодействия g(x). Эту S-матрицу можно вычислить в любом порядке разложения по степеням функции g(x), и естественно постулировать ее существование вне рамок теории возмущений. Унитарность S-матрицы в рамках теории возмущений становится нетривиальной теоремой. Таким образом, мы приходим к мысли, что S-матрицу правильно задавать одновременно для целого семейства лагранжианов, зависящих от вспомогательных функций. Коэффициенты разложения по этим функциям – это квантовополевые функции Грина, обладающие интересными математическими свойствами. Они в какой-то мере отвечают на вопрос, как умножать обобщенные функции. Изложение во второй части следует серии статей автора [39–45]. Несколько слов о нумерации формул. Формулы внутри глав нумеруются подряд, а ссылка на формулу из другой главы дается с указанием номера этой главы, например формула (4.20) означает формулу (20) из главы 4. Автор признателен В.В.Долотину, Ю.А.Неретину и И.В.Тютину за многочисленные полезные обсуждения, способствовавшие продвижению в понимании предмета. Автор был частично поддержан грантом РФФИ N04–01–00640. Автор посвящает эту книгу людям, которые помогли ему в трудные минуты жизни: родителям, Д.З.Клейману, И.М.Гельфанду. Стояновский Александр Васильевич Доцент кафедры математики Российского государственного гуманитарного университета, кандидат физико-математических наук.
Родился в 1973 г. Окончил механико-математический факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Защитил кандидатскую диссертацию в Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН. Имеет 17 научных работ по комбинаторике, теории представлений, алгебраической геометрии, конформной теории поля, математической физике. |