Чуличков А.И. Математические модели нелинейной динамики № 110. Изд. 3, испр.

---

От редакции				9
Предисловие				11
Глава 1.Математические модели динамических систем. Основные определения				15
1.1. Определение динамической системы				15
1.1.1. Динамическая система и ее состояние				15
1.1.2. Моделирование динамической системы				16
1.2. Динамическая система, описываемая конечной системой дифференциальных уравнений				16
1.2.1. Гармонические колебания				17
1.2.2. Движение в поле потенциальных сил				18
1.2.3. Нелинейный осциллятор				19
1.2.4.Консервативныеидиссипативныесистемы				20
1.2.5.Маятник с затуханием				20
1.2.6. Нелинейный осциллятор Ван дер Поля				21
1.2.7. Странные аттракторы				21
1.3. Дискретные эволюционные модели				22
1.3.1. Разностные эволюционные уравнения				22
1.3.2. Отображение Пуанкаре				23
1.4. О решении начальных задач для дифференциальных эволюционных уравнений				23
1.4.1. Область определения фазовых траекторий				23
1.4.2. Автономные динамические системы				24
1.4.3. Типы траекторий автономных динамических систем				24
1.4.4. Предельные точки и предельные множества				24
Глава 2. Классификация поведения динамических систем				26
2.1. Топологическая эквивалентность				26
2.1.1. Определение топологической эквивалентности				26
2.1.2. Зависимость от параметра				27
2.2. Исследование качественного поведения систем				29
2.2.1. Примеры влияния управляющих параметров на динамику систем				29
2.2.2. Грубые динамические системы				31
2.2.3. Классификация особых точек				34
2.2.4. Поведение вблизи особых точек				35
2.3. Устойчивость динамических систем				38
2.3.1. Устойчивость особых точек				38
2.3.2. Предельные циклы				39
2.3.3. Устойчивость по Ляпунову				40
2.3.4. Орбитальная устойчивость				40
2.3.5. Устойчивость и ляпуновские характеристические показатели				41
2.3.6. Устойчивость периодических решений				42
2.4. Типичные бифуркации нелинейных динамических систем				43
2.4.1. Бифуркация смены устойчивости				43
2.4.2. Бифуркация «седло–узел». Складка				44
2.4.3. Сборка				45
2.4.4. Бифуркация рождения предельного цикла				45
2.4.5. Бифуркации удвоения периода и расщепления цикла				47
2.5. Введение в элементарную теорию катастроф				49
2.5.1. Вводные замечания и примеры				49
2.5.2. Неморсовские особые точки. Росток и возмущение катастрофы				50
2.5.3. Классификация катастроф				51
2.5.4. Канонический вид эволюционного уравнения в неособой точке				52
2.5.5. Канонический вид эволюционного уравнения в морсовской точке. Лемма Морса				53
2.5.6. Канонический вид эволюционного уравнения в особой точке катастроф. Возмущения				54
2.5.7. Сепаратрисы на множестве параметров				55
2.5.8. Флаги катастроф				56
2.5.9. Фазовый переход как катастрофа				58
2.5.10. Точки катастроф и изменение климата				60
Глава 3. Приближенные методы исследования нелинейных систем				63
3.1. Метод усреднения				63
3.2. Асимптотические методы малого параметра				65
3.2.1. Регулярные возмущения системы дифференциальных уравнений				66
3.2.2. Асимптотические решения сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений				71
Глава 4. Гамильтоновы системы				78
4.1. Основы вариационного исчисления				78
4.1.1. Основные понятия				78
4.1.2. Уравнение Эйлера— Лагранжа				79
4.2. Задачи динамики				80
4.2.1. Движение в центральном поле. Циклические координаты				81
4.2.2. Законы сохранения и инвариантность гамильтониана				82
4.2.3. Особенности фазовых портретов гамильтоновых систем				83
4.3. Вполне интегрируемые системы				85
4.3.1.СкобкиПуассонаипервыеинтегралы				85
4.3.2.Условно периодическое движение				86
4.3.3. Резонансные и нерезонансные торы в фазовом пространстве				88
4.3.4. О теории Колмогорова—Арнольда—Мозера				88
4.4. Инвариантные торы в негамильтоновых системах				90
Глава 5. Хаос в динамических системах				92
5.1. Что такое хаос				92
5.1.1. Хаос: мифология и математика				92
5.1.2. Хаотические колебания				95
5.1.3. Аттрактор Лоренца. Вывод уравнений				96
5.1.4. Анализ системы уравнений Лоренца				99
5.1.5. Реакция Белоусова—Жаботинского				100
5.1.6. Хаос и сечение Пуанкаре				100
5.1.7. Характерные признаки хаоса				101
5.2. Дискретные отображения				101
5.2.1. Сдвиг Бернулли				101
5.2.2. Треугольное отображение				103
5.2.3. Математические характеристики хаоса				106
5.2.4. Хаотическая диффузия				107
5.3. Сценарии перехода к хаосу				107
5.3.1. Переход к хаосу через удвоение периода				108
5.3.2. Переход к хаосу через перемежаемость				112
5.3.3. Сценарий Рюэля—Такенса				114
5.4. Эргодичность и перемешивание				115
5.4.1. Среднее по времени и среднее по ансамблю				116
5.4.2. Эргодические системы				116
5.4.3. Перемешивающие системы				117
5.4.4. Диссипативные перемешивающие системы				120
5.4.5. Странные аттракторы				121
5.4.6. Фрактальные свойства странного аттрактора				123
5.5. Ведущие параметры				124
5.5.1. Быстрое и медленное время				124
5.5.2. Параметры порядка и принцип подчинения				126
Глава 6. Фракталы: определения и свойства				129
6.1. Что такое фрактал				129
6.1.1. Примеры и определения фрактала				129
6.1.2. Фрактальность пространственных форм				131
6.1.3. Динамические фракталы				132
6.2. Размерность Хаусдорфа—Безиковича				133
6.3. Фрактал как самоподобный объект				137
6.3.1. Фракталы Жюлиа и Мандельброта				138
6.3.2. Фрактальные кластеры				140
6.3.3. Фракталы как модели физических систем				141
6.4. Самоподобие как фундаментальное свойство природы				142
Глава7. Численныеметодыисследованиядинамических систем				145
7.1. Расчет отображений Пуанкаре				146
7.2. Численный анализ периодических решений				148
7.3. Вычисление спектра ляпуновских характеристических показателей				149
7.4. Расчет размерности аттрактора				153
7.4.1. Оценка топологической размерности				153
7.4.2. Фрактальная размерность аттрактора				155
Глава 8. Самоорганизация в нелинейных системах				156
8.1.О двух тенденциях динамики — от беспорядка к порядку и обратно				156
8.2.Проблема обратимости времени и ее связь с теорией нелинейных систем				158
8.2.1. Стрела времени и законы динамики				158
8.2.2. Квантово-механический и космологический парадоксы				161
8.2.3. Причина необратимости времени в статистической физике				162
8.2.4. Описание движения, несводимое к траекториям				168
8.3. Самоорганизация в активных средах				172
8.3.1. Бистабильные среды				173
8.3.2. Возбудимые среды				178
8.3.3. Автоколебательные среды				181
8.4. Нелинейные волны. Солитоны				182
8.4.1. Гиперболические и диспергирующие волны				183
8.4.2. Солитоны				186
8.5. Самоорганизация в химической кинетике				189
8.5.1. Реакция Белоусова—Жаботинского				189
8.5.2. Математическая модель реакций химической кинетики				190
8.5.3. Брюсселятор				191
8.5.4. Анализ математической модели брюсселятора				194
8.6. Самоорганизация в биологических системах				196
8.6.1. Возникновение жизни				196
8.6.2. Математические модели выживания				197
8.6.3. Модели роста и взаимодействия популяций				198
8.6.4. О модели морфогенеза				200
8.7. Клеточные автоматы				201
8.7.1. Математическая модель клеточного автомата				201
8.7.2. Игра «Жизнь»				205
8.7.3. Фильтр движущихся целей				205
8.7.4. Клеточная модель физической реальности				207
8.8. Обучающиеся системы				209
8.8.1. Модель Изинга				209
8.8.2. Нейронные сети				212
8.8.3. Инвариантные сети				217
8.8.4. Морфологический анализ изображений				219
Глава 9. Системы со случайными шумами				226
9.1. Роль флуктуаций				226
9.2. Случайные процессы				227
9.2.1. Марковские случайные процессы				228
9.2.2. Уравнение Смолуховского				229
9.3. Уравнение для плотности вероятности				230
9.4. Физические системы с шумами				232
9.4.1. Уравнение Ланжевена				232
9.4.2. Движение в потенциальном поле				234
9.4.3. Барометрическая формула				235
9.4.4.НестационарныерешенияуравненияФокера—Планка				235
9.5. Теория второго порядка				236
9.5.1. Сходимость в среднем квадратичном				236
9.5.2. Корреляционная функция случайного процесса				237
9.5.3. Непрерывность в среднем квадратичном				237
9.5.4. Дифференцируемость и интегрируемость в среднем квадратичном				238
Глава 10. Измерение и прогнозирование				239
10.1. Теория измерительно-вычислительных систем				239
10.1.1. Несколько неформальных определений				241
10.1.2. Схема реального измерения				243
10.1.3. Схема идеального измерения				243
10.1.4. В чем состоит интерпретация измерения				244
10.1.5. Линейная модель измерения				244
10.1.6. Интерпретация измерений с помощью линейных измерительновычислительных систем				244
10.1.7. Наблюдения с помощью датчика второго порядка				245
10.2. Методы синтеза ИВС как идеальных приборов				247
10.2.1. Схема измерений и ее математические модели				247
10.2.2. Несмещенный синтез выходного сигнала идеального прибора				249
10.2.3. Синтез идеального прибора с ограничением на энергию шума на его выходе				251
10.2.4. Синтез выходного сигнала идеального прибора. Априорные данные				254
10.3. Надежность модели и надежность интерпретации				257
10.3.1. Зачем проверять модель измерения				257
10.3.2. Надежность модели измерения				259
10.3.3. Надежность интерпретации				260
Глава 11. Нечеткие модели				262
11.1. Возможность и вероятность				262
11.2. Математические основы теории возможностей				266
11.2.1. Нечеткие множества и события. Алгебра нечетких множеств				266
11.2.2. Мера возможности и мера необходимости				268
11.3. Принцип относительности в теории возможностей				270
11.4. Условная мера возможности				272
11.5. Нечеткие элементы				272
11.6. Нечеткое моделирование				274
11.7. Гауссовы нечеткие элементы				275
11.7.1. Определение гауссова нечеткого элемента				275
11.7.2. Маргинальное распределение				276
11.7.3. Условное распределение нечеткого гауссова элемента				277
11.7.4. Аппроксимация нечетких гауссовых элементов				278
11.7.5. Собственный базис нечеткого гауссова элемента				279
11.8. Нечеткая динамика				282
11.8.1. Нечеткие процессы				282
11.8.2. Марковские нечеткие процессы				283
11.8.3. Уравнение Смолуховского для нечетких процессов				284
11.8.4. Однородные нечеткие процессы с независимыми приращениями				285
11.8.5. Процессы с дискретным временем и конечным числом состояний				288
11.8.6. Волны возможности				289
11.8.7. Нечеткие процессы и наблюдения				291
11.8.8. Распространение возможностей				294
Список литературы				295

---

Знание фундаментальных законов природы, общества, человека формирует основы мировоззрения, способность видеть проявление основных принципов природы в многообразии закономерностей частных наук, дает подходы, позволяющие действовать в соответствии с этими принципами в новых нестандартных условиях и благодаря этому достигать цели с наименьшими затратами. Целиком взвалить на плечи гуманитарных наук груз формирования мировоззрения было бы не совсем правильно, так как именно концепции естествознания, в основном выдвинутые в ХХ веке, фактически составляют фундамент современных взглядов на природу и человека в целом, а язык естествознания, главным образом, язык математических моделей, значительно ближе и убедительнее, например, для студентов естественнонаучных специальностей, чем язык философии.

В настоящее время курсы математики, общей и теоретической физики, химии, биологии, геологии и других дисциплин в основном все-таки направлены на формирование конкретных знаний, умения решать конкретные задачи, и тем самым учат студентов говорить каждый на «своем» языке — языке определенного круга явлений и законов. Объединяющую роль мог бы сыграть курс, основанный на широком круге явлений, относящихся не только к физике, курс достаточно математизированный, главное внимание в котором был бы уделено не описанию и подробному изучению феноменов, — это делается на младших курсах, а именно выделению и осознанию общих принципов, лежащих в основе всех этих феноменов, в объединении разнородных явлений мира, формированию общей концепции.

В какой-то мере курс, синтезирующий в одном разные стороны реальности, можно построить на основе современной теории нелинейных динамических систем [1, 2, 6–8, 11, 19]. Ряд свойств этих систем, такие, как неустойчивость, нелинейность, открытость, диссипация, порождают режимы существования и эволюции, свойственные широкому классу сложных систем, начиная от механических, термодинамических, химических, и кончая живыми организмами и их сообществами. В первую очередь это хаотические режимы, которые сейчас принято считать характерными этапами развития любой достаточно сложной нелинейной системы, явления самоорганизации, механизм которых может объяснить различные асимметрии физического мира, возникновение жизни, механизмы социальных революций и др. Необычайно высокая восприимчивость систем, находящихся на этапе хаотического развития, дает ключ к пониманию резких скачкообразных переходов, определяет границы предсказуемости их поведения, а также и горизонт реконструкции предшествующих состояний. Анализ сложных нелинейных систем позволяет осознать конструктивную роль кризисов в развитии систем, найти наилучший стиль поведения (или управления системой) как в период кризисов, так и в период спокойного развития между этапами качественных перестроек.

Попытка создания такого курса привела к появлению этой книги.

Она основана на конспекте лекций, читаемых автором студентам пятого курса кафедры компьютерных методов физики физического факультета МГУ.

Первые несколько разделов посвящены математическим методам моделирования нелинейных систем. Это и количественное исследование динамических систем — методы регулярных и сингулярных возмущений дифференциальных уравнений, методы усреднения и др., но в основном — методы качественной теории дифференциальных уравнений: теория устойчивости, классификация особых точек, методы фазового портрета, классификация бифуркаций, основы теории катастроф. Рассматриваются консервативные гамильтоновы системы, приводятся свойства их поведения, в частности, изучаются условно периодические движения, основы теории Колмогорова—Арнольда—Мозера. Большое внимание уделяется наглядным геометрическим образам поведения динамических систем как в зависимости от времени, так и в зависимости от значений внешних управляющих параметров.

Следующая часть монографии посвящена изучению явления динамического хаоса. Первые рассмотренные здесь модели — простейшие одномерные с дискретным временем, такие, как сдвиг Бернулли, треугольное преобразование, логистическое отображение. На их примере демонстрируются универсальные свойства хаоса, в частности, сценарии возникновения хаотических режимов. Далее изучаются и более сложные модели: системы с перемешиванием, как диссипативные, так и консервативные. Формулируется язык описания хаотического поведения, в частности, геометрический язык фракталов.

Заключительная часть монографии состоит из примеров нелинейных систем со сложным поведением. Это нелинейные волны, неравновесные термодинамические системы, модели химической кинетики, популяционной биологии, режимы с обострением. Изучаются особенности поведения активных сред, модели клеточных автоматов, нейронных сетей. Последние разделы посвящены стохастическому и нечеткому описанию динамики сложных нелинейных систем.

Хотя большинство изучаемых здесь моделей являются классическими для разных естественнонаучных дисциплин, освещение их с единой точки зрения приводит к общей концепции, которую, следуя Г.Хакену, можно назвать синергетической. Автор надеется, что после прочтения книги яснее станут видны общие принципы и в фазовых переходах, и в этапах развития биологических популяций, и в ходе исторического процесса, и в результате модели естествознания оживут, возникнут понятийные связи между дисциплинами, яснее и естественнее проступит единство мира.

Заключительная часть монографии содержит изложение принципиально нового подхода к моделированию динамических систем, основанного на теории возможностей. Этот подход альтернативен к стохастическому и предназначен для создания моделей, описывающих системы в условиях неопределенности. Обычно в таких ситуациях применяются теоретико-вероятностные методы, и при этом многие аспекты неясности и неопределенности моделируются в терминах случайности, отражающей неполноту знаний, их недостоверность, а также нечеткости и неточности, относящихся к их содержанию.

Нечеткость и неточность естественно ассоциируются с распределением вероятностей, неясность и неопределенность отражаются в частичном незнании последнего; возникающие в связи с этим проблемы формулируются в терминах теории проверки статистических гипотез и теории оценивания [14].

Однако теоретико-вероятностные методы оказались неэффективными при моделировании широкого класса процессов и явлений, в организации которых именно неопределенность и нечеткость играют решающую роль. Дело в том, что в теоретико-вероятностной схеме прогнозируется не поведение системы, а частота того или иного ее поведения, связанная с вероятностью, причем предполагается, что частота не изменяется при заданных условиях, что характеризует так называемую стохастическую устойчивость. Но в сложных ситуациях сами условия меняются достаточно быстро и не подлежат оценке, при этом не имеет смысла говорить о частотах событий. В таких ситуациях можно говорить лишь об определенных тенденциях — например, утверждая, что «если тенденция изменений в условиях сохранится, то вероятность событий увеличится». Значения вероятностей в такой ситуации бессмысленны для прогнозирования состояния системы, и более естественно описывать лишь эти тенденции и предпочтения, причем не в абсолютной, а в ранговой шкале, оценивая возможность того или иного поведения системы. Это позволяет сделать теория возможностей, развитая в работах Ю.П.Пытьева [16], в которой на множестве всех состояний системы задается мера, показывающая, какие состояния более возможны, а какие — менее и тем самым характеризующая систему в ранговой шкале. Для выбора оптимального поведения системы, например, минимизирующего возможность ошибки, достаточно описания тенденций в ранговой шкале, поэтому на практике для принятия оптимальных решений ранговое описание системы в терминах возможности адекватно.

В монографии изучаются модели динамических систем на основе введенного понятия нечеткого процесса, исследуются уравнения и модели, являющиеся нечеткими аналогами стохастических процессов.

Издание этой книги стало возможным благодаря финансовой поддержке РФФИ и помощи моих друзей и коллег. Я глубоко благодарен В.Г.Буданову, плодотворные обсуждения с ним проблем нелинейной динамики дали толчок к написанию книги, ее структура и наполнение во многом определились в результате этих дискуссий. Большое влияние на ее содержание оказали и беседы с С.П.Курдюмовым. Разделы, посвященные морфологическому анализу изображений, измерению и прогнозированию, нечетким моделям написаны под влиянием идей моего учителя Ю.П.Пытьева и в тесном взаимодействии с ним.

Приношу им мою искреннюю и глубокую благодарность.

А.И.Чуличков

2000 г.

---