|
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I. Группы § 1. Моноиды...................... 17 § 2. Группы....................... 21 § 3. Циклические группы................ 25 § 4. Нормальные подгруппы............... 27 § 5. Действие группы на множестве........... 32 § 6. Силовские подгруппы................ 36 § 7. Категории и функторы.............. 39 § 8. Свободные группы................. 47 § 9. Прямые суммы и свободные абелевы группы.... 55 § 10. Конечно порожденные абелевы группы....... 61 § 11. Дуальная группа.................. 66 Упражнения....................... 69 Глава II. Кольца § 1. Кольца и гомоморфизмы.............. 73 § 2. Коммутативные кольца............... 80 § 3. Локализация.................... 85 § 4. Кольца главных идеалов.............. 89 Упражнения....................... 92 Глава III. Модули § 1. Основные определения............... 93 § 2. Группа гомоморфизмов............... 95 § 3. Прямые произведения и суммы модулей....... 98 § 4. Свободные модули.....,........... 103 § 5. Векторные пространства............... 105 § 6. Дуальное пространство............... 108 Упражнения....................... 111 Глава IV. Гомологии § 1. Комплексы..................... 114 § 2. Гомологическая поелвдовательнооть......... 116 § 3. Эйлерова характеристике.............. 118 § 4. Теорема Жордана —Гёльдера............ 122 Упражнения....................... 126 Глава V. Многочлены § 1. Свободные алгебры................. 127 § 2. Определение многочленов.............. 131 § 3. Элементарные свойства многочленов......... 136 § 4. Алгоритм Евклида................. 141
§ 5. Простейшие дроби................. 145
§ 6. Однозначность разложения на простые множители многочленов от нескольких переменных......... 148
§ 7. Критерии неприводимости.............. 151
§ 8. Производная и кратные корни............ 153
§ 9. Симметрические многочлены............. 155
§ 10. Результант..................... 158
Упражнения....................... 162
Глава VI. Нётеровы кольца и модули
§ 1. Основные критерии................. 166
§ 2. Теорема Гильберта................. 169
§ 3. Степенные ряды.................. 170
§ 4. Ассоциированные простые идеалы.......... 172
§ 5. Примерное разложение............... 177
Упражнения....................... 181
ЧАСТЬ ВТОРАЯ теория полей
Глава VII. Алгебраические расширения
§ 1. Конечные и алгебраические расширения....... 185
§ 2. Алгебраическое замыкание............. 191
§ 3. Поля разложения и нормальные расширения..... 198
§ 4. Сепарабельные расширения............. 202
§ 5. Конечные поля................... 208
§ 6. Примитивные элементы............... 211
§ 7. Чисто несепарабельные расширения......... 213
Упражнения....................... 217
Глава VIII. Теория Галуа
§ 1. Расширения Галуа.................. 219
§ 2. Примеры и приложения............... 227
§ 3. Корни из единицы.................. 232
§ 4. Линейная независимость характеров......... 237
§ 5. Норма и след.................... 239
§ 6. Циклические расширения.............. 243
§ 7. Разрешимые и радикальные расширения....... 246
§ 8. Теория Куммера.................. 248
§ 9. Уравнение X" — а = 0................ 252
§ 10. Когомологии Галуа................. 255
§ 11. Алгебраическая независимость гомоморфизмов.... 256
§ 12. Теорема о нормальном базисе............ 260
Упражнения....................... 269
Глава IX. Расширения колец
§ 1. Целые расширения колец.............. 268
§ 2. Целые расширения Галуа.............. 275
§ 3. Продолжение гомоморфизмов............ 282
Упражнения....................... 284
Глава X. Трансцендентные расширения
§ 1. Базисы трансцендентности.............. 286
§ 2. Теорема Гильберта о нулях............. 288
§ 3. Алгебраические множества............. 290
§ 4. Теорема Нётера о нормализации........... 294
§ 5. Линейно свободные расширения........... 295
§ 6. Сепарабельные расширения............. 298
§ 7. Дифференцирования................. 301
Упражнения....................... 305
Глава XI. Вещественные поля
§ 1. Упорядоченные поля................ 307
§ 2. Вещественные поля................. 309
§ 3. Вещественные нули и гомоморфизмы........ 316
Упражнения....................... 321
Глава XII. Абсолютные значения
§ 1. Определения, зависимость и независимость...... 322
§ 2. Пополнения..................... 325
§ 3. Конечные расширения................ 332
§ 4. Нормирования.................... 336
§ 5. Пополнения и нормирования............. 345
§ 6. Дискретные нормирования.............. 346
§ 7. Нули многочленов в полных полях......... 350
Упражнения....................... 353
часть третья линейная алгебра и представления
Глава XIII. Матрицы и линейные отображения
§ 1. Матрицы...................... 361
§ 2. Ранг матрицы.................... 363
§ 3. Матрицы и линейные отображения.......... 364
§ 4. Определители.................... 368
§ 5. Двойственность................... 378
§ 6. Матрицы и билинейные формы........... 383
§ 7. Полуторалинейная двойственность.......... 388
Упражнения....................... 393
Глава XIV. Структура билинейных форм
§ 1. Предварительные сведения, ортогональные суммы.. 396
§ 2. Квадратичные отображения............. 399
§ 3. Симметрические формы, ортогональные базисы.... 400
§ 4. Гиперболические пространства............ 402
§ 5. Теорема Витта................... 403
§ 6. Группа Витта.................... 403
§ 7. Симметрические формы над упорядоченными полями. 408
564 § 8. Алгебра Клиффорда.................411
§ 9. Знакопеременные формы.............. 416
§ 10. Пфаффиан..................... 417
§ 11. Эрмитовы формы.................. 419
§ 12. Спектральная теорема (эрмитов случай)....... 421
§ 13. Спектральная теорема (симметрический случай)... 423
Упражнения....................... 425
Глава XV. Представление одного эндоморфизма
§ 1. Представления................... 429
§ 2. Модули над кольцами главных идеалов....... 432
§ 3. Разложение над одним эндоморфизмом....... 442
§ 4. Характеристический многочлен........... 446
Упражнения....................... 452
Глава XVI. Полилинейные произведения
§ 1. Тензорное произведение............... 456
§ 2. Основные свойства................. 461
§ 3. Расширение основного кольца............ 466
§ 4. Тензорное произведение алгебр........... 468
§.5. Тензорная алгебра модуля.............. 470
§ 6. Знакопеременные произведения........... 473
§ 7. Симметрические произведения............ 477
§ 8. Кольцо Эйлера — Гротендика............ 478
§ 9. Некоторые функториальные изоморфизмы...... 481
Упражнения....................... 486
Глава XVII. Полупростота
§ 1. Матрицы и линейные отображения над некоммутативными кольцами................... 488
§ 2. Условия, определяющие полупростоту........ 491
§ 3. Теорема плотности................. 493
§ 4. Полупростые кольца................. 496
§ 5. Простые кольца................... 498
§ 6. Сбалансированные модула.............. S01
Упражнения....................... 502
Глава XVIII. Представления конечных групп
§ 1. Полупростота групповой алгебры.......... 504
§ 2. Характеры..................... 506
§ 3. Одномерные представления............. 511
§ 4. Пространство функций классов........... 512
§ 5. Соотношения ортогональности............ 516
§ 6. Индуцированные характеры............. 520
§ 7. Индуцированные представления........... 523
§ 8. Положительное разложение регулярного характера. 528
§ 9. Сверхразрешимые группы.............. 530
§ 10. Теорема Брауэра.................. 533
§ 11. Поле определения представления.......... 539
Упражнения....................... 541
Добавление. Трансцендентность е и л................ 546
Указатель
553
|