Ленг С.

Алгебра.
Пер. с англ.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава I. Группы

§ 1. Моноиды...................... 17

§ 2. Группы....................... 21

§ 3. Циклические группы................ 25

§ 4. Нормальные подгруппы............... 27

§ 5. Действие группы на множестве........... 32

§ 6. Силовские подгруппы................ 36

§ 7. Категории и функторы.............. 39

§ 8. Свободные группы................. 47

§ 9. Прямые суммы и свободные абелевы группы.... 55

§ 10. Конечно порожденные абелевы группы....... 61

§ 11. Дуальная группа.................. 66

Упражнения....................... 69

Глава II. Кольца

§ 1. Кольца и гомоморфизмы.............. 73

§ 2. Коммутативные кольца............... 80

§ 3. Локализация.................... 85

§ 4. Кольца главных идеалов.............. 89

Упражнения....................... 92

Глава III. Модули

§ 1. Основные определения............... 93

§ 2. Группа гомоморфизмов............... 95

§ 3. Прямые произведения и суммы модулей....... 98

§ 4. Свободные модули.....,........... 103

§ 5. Векторные пространства............... 105

§ 6. Дуальное пространство............... 108

Упражнения....................... 111

Глава IV. Гомологии

§ 1. Комплексы..................... 114

§ 2. Гомологическая поелвдовательнооть......... 116

§ 3. Эйлерова характеристике.............. 118

§ 4. Теорема Жордана ---Гёльдера............ 122

Упражнения....................... 126

Глава V. Многочлены

§ 1. Свободные алгебры................. 127

§ 2. Определение многочленов.............. 131

§ 3. Элементарные свойства многочленов......... 136

§ 4. Алгоритм Евклида................. 141

§ 5. Простейшие дроби................. 145

§ 6. Однозначность разложения на простые множители многочленов от нескольких переменных......... 148

§ 7. Критерии неприводимости.............. 151

§ 8. Производная и кратные корни............ 153

§ 9. Симметрические многочлены............. 155

§ 10. Результант..................... 158

Упражнения....................... 162

Глава VI. Нётеровы кольца и модули

§ 1. Основные критерии................. 166

§ 2. Теорема Гильберта................. 169

§ 3. Степенные ряды.................. 170

§ 4. Ассоциированные простые идеалы.......... 172

§ 5. Примерное разложение............... 177

Упражнения....................... 181

ЧАСТЬ ВТОРАЯ теория полей

Глава VII. Алгебраические расширения

§ 1. Конечные и алгебраические расширения....... 185

§ 2. Алгебраическое замыкание............. 191

§ 3. Поля разложения и нормальные расширения..... 198

§ 4. Сепарабельные расширения............. 202

§ 5. Конечные поля................... 208

§ 6. Примитивные элементы............... 211

§ 7. Чисто несепарабельные расширения......... 213

Упражнения....................... 217

Глава VIII. Теория Галуа

§ 1. Расширения Галуа.................. 219

§ 2. Примеры и приложения............... 227

§ 3. Корни из единицы.................. 232

§ 4. Линейная независимость характеров......... 237

§ 5. Норма и след.................... 239

§ 6. Циклические расширения.............. 243

§ 7. Разрешимые и радикальные расширения....... 246

§ 8. Теория Куммера.................. 248

§ 9. Уравнение X" --- а = 0................ 252

§ 10. Когомологии Галуа................. 255

§ 11. Алгебраическая независимость гомоморфизмов.... 256

§ 12. Теорема о нормальном базисе............ 260

Упражнения....................... 269

Глава IX. Расширения колец

§ 1. Целые расширения колец.............. 268

§ 2. Целые расширения Галуа.............. 275

§ 3. Продолжение гомоморфизмов............ 282

Упражнения....................... 284

Глава X. Трансцендентные расширения

§ 1. Базисы трансцендентности.............. 286

§ 2. Теорема Гильберта о нулях............. 288

§ 3. Алгебраические множества............. 290

§ 4. Теорема Нётера о нормализации........... 294

§ 5. Линейно свободные расширения........... 295

§ 6. Сепарабельные расширения............. 298

§ 7. Дифференцирования................. 301

Упражнения....................... 305

Глава XI. Вещественные поля

§ 1. Упорядоченные поля................ 307

§ 2. Вещественные поля................. 309

§ 3. Вещественные нули и гомоморфизмы........ 316

Упражнения....................... 321

Глава XII. Абсолютные значения

§ 1. Определения, зависимость и независимость...... 322

§ 2. Пополнения..................... 325

§ 3. Конечные расширения................ 332

§ 4. Нормирования.................... 336

§ 5. Пополнения и нормирования............. 345

§ 6. Дискретные нормирования.............. 346

§ 7. Нули многочленов в полных полях......... 350

Упражнения....................... 353

часть третья линейная алгебра и представления

Глава XIII. Матрицы и линейные отображения

§ 1. Матрицы...................... 361

§ 2. Ранг матрицы.................... 363

§ 3. Матрицы и линейные отображения.......... 364

§ 4. Определители.................... 368

§ 5. Двойственность................... 378

§ 6. Матрицы и билинейные формы........... 383

§ 7. Полуторалинейная двойственность.......... 388

Упражнения....................... 393

Глава XIV. Структура билинейных форм

§ 1. Предварительные сведения, ортогональные суммы.. 396

§ 2. Квадратичные отображения............. 399

§ 3. Симметрические формы, ортогональные базисы.... 400

§ 4. Гиперболические пространства............ 402

§ 5. Теорема Витта................... 403

§ 6. Группа Витта.................... 403

§ 7. Симметрические формы над упорядоченными полями. 408

564

ОГЛАВЛЕНИЕ

§ 8. Алгебра Клиффорда.................411

§ 9. Знакопеременные формы.............. 416

§ 10. Пфаффиан..................... 417

§ 11. Эрмитовы формы.................. 419

§ 12. Спектральная теорема (эрмитов случай)....... 421

§ 13. Спектральная теорема (симметрический случай)... 423

Упражнения....................... 425

Глава XV. Представление одного эндоморфизма

§ 1. Представления................... 429

§ 2. Модули над кольцами главных идеалов....... 432

§ 3. Разложение над одним эндоморфизмом....... 442

§ 4. Характеристический многочлен........... 446

Упражнения....................... 452

Глава XVI. Полилинейные произведения

§ 1. Тензорное произведение............... 456

§ 2. Основные свойства................. 461

§ 3. Расширение основного кольца............ 466

§ 4. Тензорное произведение алгебр........... 468

§.5. Тензорная алгебра модуля.............. 470

§ 6. Знакопеременные произведения........... 473

§ 7. Симметрические произведения............ 477

§ 8. Кольцо Эйлера --- Гротендика............ 478

§ 9. Некоторые функториальные изоморфизмы...... 481

Упражнения....................... 486

Глава XVII. Полупростота

§ 1. Матрицы и линейные отображения над некоммутативными кольцами................... 488

§ 2. Условия, определяющие полупростоту........ 491

§ 3. Теорема плотности................. 493

§ 4. Полупростые кольца................. 496

§ 5. Простые кольца................... 498

§ 6. Сбалансированные модула.............. S01

Упражнения....................... 502

Глава XVIII. Представления конечных групп

§ 1. Полупростота групповой алгебры.......... 504

§ 2. Характеры..................... 506

§ 3. Одномерные представления............. 511

§ 4. Пространство функций классов........... 512

§ 5. Соотношения ортогональности............ 516

§ 6. Индуцированные характеры............. 520

§ 7. Индуцированные представления........... 523

§ 8. Положительное разложение регулярного характера. 528

§ 9. Сверхразрешимые группы.............. 530

§ 10. Теорема Брауэра.................. 533

§ 11. Поле определения представления.......... 539

Упражнения....................... 541

Добавление. Трансцендентность е и л................ 546

Указатель

553