|
Оглавление
Часть первая.
Общая теория функций комплексной переменной 11 Глава I. К о м п ле к с н ы е ч и сл а — § 1, Понятие о комплексном числе — § 2. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тео- ремы о модуле 14 § 3. Сходящиеся последовательности комплексных чисел. Числовая сфера * 19 § 4. Предельные значения бесконечных числовых множеств • 23 § 5. Сходимость рядов с комплексными членами 26 § 6. Комплексная переменная и функция от нее ... . 30 § 7. Равномерная сходимость 33 Глава II. Степенные ряды 36 § 1. Область сходимости степенного ряда — § 2. Определение радиуса сходимости • 38 §в 3. Действия со степенными рядами 41 § 4. Принцип сравнения коэффициентов 45 § 5. Обобщение доказанных предложений 46 § 6. Преобразование степенного ряда 48 § 7. Производные степенного ряда 51 § 8. Непосредственное продолжение степенного ряда ... 53 § 9. Ряд Лорана. Лемма о степенных рядах 57 Глава III. Понятие аналитической функции. . . • 61 § 1. Моногенная система степенных рядов — § 2. Определение аналитической функции 62 § 3. Однозначные ветви аналитической функции .... 64 § 4. Примеры 67 § 5. Элементарные ветви и их особенные точки 71 § 6. Основная теорема алгебры 76 § 7. Особенные точки аналитической функции ..... 77 § 8. Особенные точки целой и рациональной функций . . 81 § 9. Некоторые общие теоремы об аналитических функ- циях 84 § 10. Теорема Вейерштрасса о суммировании рядов . . ♦ 88 Уважаемые читатели! По техническим причинам в настоящем издании пагинация книги приводится со страницы 5. Глава IV. Исследование некоторых аналитиче- ских функций . § 1. Показательная функция § 2. Тригонометрические функции § 3. Логарифм § 4. Степенная функция . Глава V. Интегрирование аналитических функ- ций § 1. Равномерная непрерывность и диф|>еренцируемость аналитических функций .§ 2. Интегрирование степенных рядов § 3. Интегрирование производной регулярной функции . . § 4. Примеры § 5. Интегрирование регулярных функций § 6. Теорема Коши § 7. Следствия нз теоремы Коши. Теорема Лорана . . . . § 8. Вычеты аналитических функций § 9. Определение нулей и полюсов функций Глава VI. Мероморфные функции § 1. Понятие мероморфноя функции . . . § 2. Мероморфные функции с конечным числом лолюсов • § 3. Мероморфные функции с бесконечным числом полю- сов. Теорема Митгаг-Леффлера ♦ § 4. Общий вид мероморфной функции с бесконечным числом полюсов ......... • § ' 5. Случай простых лолюсов § 6. Примеры . § 7. Способ Коши разложения на простейшие дроби . . . § 8. Примеры § 9. Целые функции с заданными нулями ........ § 10. Представление мероморфных функций посредством целых функций § 11. Представление функции Гамма в виде бесконечного, произведения § 12. Представление функции Г (z) в виде интеграла . . . Глава VII. 0,6ращение аналитических функций . § 1. Обращение рядов * . § 2. Примеры Часть вторая. Эллиптические функции ............ ^ Глава I. Двоякопериодические мероморфные функции . § 1. Предложения, относящиеся к геометрическому пред- ставлению . . . § 2. Теоремы о. периодах меромарфной функции § 3. .Параллелограмм периодов Стр. § 4. Определение эллиптических функций. Поле К. . . . 204 $ 5. Общие теоремы о функциях /(и) 206 § 6. Функция f (и) 212 § 7. Дифференциальное уравнение для jj? (и) 218 § . 8. Теорема сложения для jp (и} 223 § 9. Выражение эллиптических функций через функцию jp 225 § 10. Дальнейшие свойства функции/(и) 230 § 11. Функция С (и) * 231 § 12. Выражение эллиптических функций через С (и) . • . 233 § 13. Функция о (и) 236 § 14. Выражение эллиптических функций через функ- цию а (а) 240 § 15. Функции jp (и}, С (а), <т(и) как функции от м, а>А, ш2 . 249 Глава II. Тэта-функции — § 1. Представление целой функции с заданным периодом в виде ряда — § 2. Обозначения • • 250 § 3. Функция («О . . . ■. . . , 251 § 4. Функции G\(v)9 Мг>), оз(*0 254 § 5. Функции »2(«), $l{v), »o(v) 256 g 6. Сводка формул . . 258 § 7. Общее выражение для функций. функции, как функции от v и т 260 § 8. Формулы преобразования и нули четырех ^-функций • 263 § 9. Выражение еА» е2, е3 и А через нулевые значения ^-функций . . . . 265 § 10. Представление ft-функций бесконечными произведе- ниями 267 § 11. Некоторые приложения полученных результатов к теории чисел 271 § 12. Разложение на простейшие дроби функций С Ы) и jp (и), рассматриваемых как функции от г. Выражения для Ъ Ёг • • • 272 § 13. Разложение }/^чи) — ек 278 Глава III. Эллиптические функции Якоби 230 § 1. Определение функций sn (и\ сп(м), dn (и) • . . . ■• • 281 § 2. Функции sn ц, cn a, dn и как эллиптические функции . 283 § 3. Дифференциальные уравнения для snu, cn u,. dn и . . 284 § 4. Теоремы сложения для sn u, сп и, dn и 285 § 5. Тригонометрические функции как предельные случаи функций Якоби 287 Глава IV. Эллиптические модулярные функции . 288 § 1. Эквивалентность величин и пар 289 § 2. Элементарные модулярные формы 292 § 3. Абсолютный инвариант J(ъ) 293 § 4. Решение уравнений #j (<*>i, ю2) = а2, #j («>i, = % • • 299 § 5. Функция У? »т) 300 Глава V. Эллиптические образы 301 § 1. Образ Вейершграсса — § 2. Образ У2 = С3(АГ) 303 § 3. Образ i/2= G4(x) 304 § 4. Образ Лежандра 305 § 5. Главная форма римановой поверхности образа y2=G± (х) 306 § 6. Двулистная форма римановой поверхности у1 = G4 (л:) . 308 Глава VI. Эллиптические интегралы 312 § 1. Определения . — § 2. Неопределенные эллиптические интегралы 313 § 3. Определенные эллиптические интегралы 317 Глава VII. Преобразование эллиптических функ- ций 323 § 1. Линейное преобразование функций Вейерштрасса . . — § 2. Линейное преобразование ^-функций 325 § 3. Преобразование второго порядка . 329 § 4. Связь между эллиптическими функциями Вейер- штрасса и Якоб и 332 § 5. Преобразование Ландена 333 § 6. Среднее арифметико геометрическое 336 Предметный указатель •, . 341 Об авторе
 Гурвиц Адольф Известный немецкий математик. Родился в городе Хильдесхайм, в семье работника машиностроительной отрасли. С 1877 г. учился в университете Мюнхена, где слушал лекции выдающегося математика Ф. Клейна. Через год переехал в Берлин, где в местном университете посещал лекции известных ученых — Э. Куммера, Л. Кронекера, К. Вейерштрасса. Закончил обучение в Лейпциге в 1880 г. Преподавательскую карьеру начал в Кенигсбергском университете, где в 1884 г. стал профессором. С 1892 г. — профессор Политехнической школы в Цюрихе.
Основные труды А. Гурвица относятся к математическому анализу, теории функций, алгебре и теории чисел. Широкое применение нашел его критерий отрицательности действительных частей корней алгебраических уравнений (критерий Гурвица). В аддитивной теории чисел он доказал, что представлять произведение целых чисел в виде сумм квадратов целых чисел можно только для множителей, состоящих из сумм двух, четырех и восьми квадратов. Одним из первых он глубоко исследовал римановы многообразия и их приложения к теории алгебраических кривых, а также решил изопериметрическую проблему. В теории функций комплексного переменного получили известность теоремы Гурвица. В числе его учеников в Цюрихе были великие ученые — Давид Гильберт, ставший признанным мировым лидером математиков, и Альберт Эйнштейн, один из основателей современной теоретической физики. |