| Предисловие |
| Список обозначений |
| 1 | Принцип максимума Понтрягина |
| | § 1. | Постановка задачи |
| | § 2. | Формулировка принципа максимума Понтрягина |
| | § 3. | Принцип максимума для задачи быстродействия |
| | § 4. | Оптимальный синтез |
| 2 | Метод динамического программирования. Уравнение Беллмана |
| | § 5. | Производная в силу системы обыкновенных дифференциальных уравнений |
| | § 6. | Уравнение Беллмана для задачи быстродействия |
| | § 7. | Достаточные условия оптимальности |
| | § 8. | Уравнение Беллмана для задачи с фиксированным временем |
| 3 | Геометрический смысл принципа максимума Понтрягина |
| | § 9. | Связь уравнения Беллмана с принципом максимума Понтрягина |
| | § 10. | Уравнения в вариациях |
| | § 11. | Геометрическая интерпретация принципа максимума |
| 4 | Существование решений задачи оптимального быстродействия |
| | § 12. | Пример отсутствия оптимального управления. (Скользящие режимы) |
| | § 13. | Продолжимость решений обыкновенных дифференциальных уравнений |
| | § 14. | Пример отсутствия оптимального управления. (Уход на бесконечность за конечное время) |
| | § 15. | Формулировка теоремы существования |
| | § 16. | Доказательство теоремы существования |
| 5 | Простейшая задача классического вариационного исчисления |
| | § 17. | Постановка задачи |
| | § 18. | Уравнение Эйлера |
| | § 19. | Геодезические на римановом многообразии |
| 6 | Канонический формализм |
| | § 20. | Преобразование Лежандра |
| | § 21. | Канонические переменные |
| | § 22. | Механический смысл канонических переменных |
| | § 23. | Формула вариации функционала с подвижными концами |
| | § 24. | Условия трансверсальности в задаче с подвижными концами |
| | § 25. | Условия Вейерштрасса--Эрдмана |
| | § 26. | Уравнение Гамильтона--Якоби |
| | § 27. | Первое возвращение к принципу максимума Понтрягина |
| 7 | Теория второй вариации |
| | § 28. | Постановка задачи |
| | § 29. | Необходимое условие Лежандра |
| | § 30. | Присоединенная задача и определение сопряженной точки |
| | § 31. | Необходимые условия неотрицательной определенности δ2J |
| | § 32. | Достаточные условия положительной определенности δ2J |
| | § 33. | Продолжение доказательства теоремы 5 |
| | § 34. | Примеры |
| | § 35. | Теорема Якоби об огибающей |
| 8 | Достаточные условия оптимальности |
| | § 36. | Необходимое условие Вейерштрасса |
| | § 37. | Достаточные условия слабого минимума |
| | § 38. | Внешние дифференциальные формы |
| | § 39. | Интегральный инвариант Пуанкаре--Картана |
| | § 40. | Лагранжевы многообразия |
| | § 41. | Поле экстремалей. Инвариантный интеграл Гильберта |
| | § 42. | Погружение экстремали в поле и фокальные точки |
| | § 43. | Индекс Морса |
| | § 44. | Второе возвращение к принципу максимума |
| | § 45. | Задача оптимального управления с разделенными условиями для концов |
| | § 46. | Критерий оптимальности в терминах двух решений уравнения Риккати |
| Литература |
Посвящается светлой памяти Людмилы Филипповны Зеликиной
Данное пособие примыкает к серии учебников, задачников и учебных пособий,
выпущенных сотрудниками кафедры Общих проблем управления
механико-математического факультета МГУ. Оно написано на основе лекций,
читавшихся автором в течение ряда лет для слушателей факультета повышения
квалификации и для студентов механико-математического факультета. Основные
факты теории экстремальных задач излагаются в пособии с точки зрения
канонического формализма и принципа максимума Понтрягина. Для облегчения
понимания в процессе изложения приводятся эвристические мотивировки
и объясняется геометрический смысл рассматриваемых конструкций. Автор
руководствовался девизом: "Ясность и точность".
Книга, по существу, состоит из двух разделов. В первом разделе
(главы 1--4) рассматривается принцип максимума Понтрягина, метод
динамического программирования и теория существования решения для задач
оптимального быстродействия. Второй раздел (главы 5--8) посвящен
изложению вариационного исчисления. Ключевым пунктом для понимания этого
раздела служит формула вариации функционала с подвижными концами (§ 23),
из которой выводится большая часть последующих теорем о необходимых
и достаточных условиях оптимальности. Оба раздела можно читать независимо;
связь между ними устанавливается в два приема: в § 27 и в § 44.
За время, прошедшее с момента первого издания пособия (1985 г.), автором была
написана книга [7], которая частично пересекается с настоящим изданием,
но содержит много дополнительного материала, касающегося уравнений Риккати
и многомерного вариационного исчисления (в частности, связь с геометрией
многообразий Лагранжа--Грассмана и классическими областями однородности
Картана--Зигеля в пространстве многих комплексных переменных).
В настоящем издании добавлены: новое, более простое (по сравнению с
традиционными) доказательство теоремы Морса, а также последние, ранее не публиковавшиеся, результаты автора,
касающиеся связи гессиана функции Беллмана с решением уравнения Риккати. С
помощью этих результатов в §46 даются новые необходимые и достаточные
условия оптимальности в терминах двух полей экстремалей.
В пособии принята сквозная нумерация параграфов. Нумерация формул внутри каждой
главы независима. Так, например, ссылка (5.4) означает: формула (5)
главы 4.
Я считаю своим долгом выразить глубокую признательность Ю.А.Белову,
Л.Ф.Зеликиной, Э.Л.Пресману, А.О.Ремизову
и В.М.Тихомирову за обсуждения и критические замечания, способствовавшие
значительному улучшению рукописи.
М.И.Зеликин
Зеликин Михаил Ильич
Доктор физико-математических наук, профессор механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Область научных интересов: дифференциальные уравнения, оптимальное управление, теория игр. Автор монографий: «Theory of Chattering Control with Applications to Astronautics, Robotics, Economics, and Engineering» (Boston, 1994); «Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении» (М., 1998); «Control Theory and Optimization I» (Berlin, 2000; Encyclopaedia of Mathematical Sciences, v. 86) и др.
