Хинчин А.Я. ВОСЕМЬ ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (.
.. после изучения математического анализа). Изд. стереотип.

Оглавление

От редактора

Один из наиболее выдающихся математиков своего времени, Александр Яковлевич Хинчин (1894–1959), известный своими работами по теории вероятностей, теории чисел и теории функций, всю жизнь глубоко интересовался преподаванием математики. Среди книг, принадлежащих его перу, совсем особое место занимают его "Восемь лекций по математическому анализу".

Эта книга написана для инженеров, учителей и экономистов, для всех тех, кто изучал математический анализ и в общем знаком с технической его стороной, с формулами, но хотел бы вникнуть в принципиальные вопросы, осознать Смысл основных понятий и идей.

И книга прекрасно выполняет свое назначение. Не стремясь охватить весь материал, входящий в полные учебники, А.Я.Хинчин не жалеет времени для того, чтобы выделить и объяснить наиболее существенные вопросы, обычно представляющие главную трудность для изучающих анализ, выявить самую суть рассматриваемых понятий.

Быть может, специалистам, знакомым с современным изложением анализа, некоторые места в книге покажутся несколько старомодными. Но и эти места, давая яркий отпечаток времени, когда появилась книга, написанные с исключительным мастерством, с неподдельной искренностью и блеском, живым и богатым языком, только подчеркивают достоинства книги.

Впервые книга была издана в 1943 г. Она сыграла значительную роль в распространении математических знаний. Предлагая читателю после почти тридцатилетнего перерыва четвертое издание этой книги, мы уверены, что она принесет пользу всем желающим глубже изучить математический анализ, а лучшие ее страницы доставят удовольствие многим любителям математики.

Предисловие автора к третьему изданию

Третье издание отличается от первого лишь немногими изменениями. Самое существенное из них состоит в том, что я вычеркнул "принцип индукции" из числа основных лемм, вследствие чего все опиравшиеся на этот принцип доказательства пришлось заменить другими. Я надеюсь, что для большинства читателей я этим облегчил усвоение книги, так как мне представляется, что этот принцип и опирающиеся на него рассуждения предъявляли читателю в отношении логической культуры требования несколько более высокие, чем это вообще принято в настоящей книге.

Из других изменений заслуживают быть отмеченными только новая трактовка формулы Тэйлора и параграфа о функциях с ограниченным изменением.

Предисловие автора к первому изданию

Курс высшей математики в том или ином объеме читается в значительном большинстве высших учебных заведений. С основами математического анализа знакомятся студенты всех технических и большей части военных, агрономических и экономических вузов, не говоря уже о специальных факультетах университетов и педагогических институтов. Все эти многочисленные, читаемые в разных учебных заведениях курсы весьма различны как по своему объему, так и по той принципиальной, идейной и логической базе, на которой они строятся. В последнем отношении, в сущности, только университетские курсы поднимаются до более или менее солидного научного уровня; все остальные вынуждены довольствоваться упрощенным, далеко отстающим от современных научных воззрений идейно-логическим фундаментом, а иногда и весьма ограниченной программой.

Между тем мы часто встречаемся с таким положением, когда инженер, учитель, экономист, в свое время изучавший высшую математику по такому упрощенному курсу, начинает ощущать потребность в расширении и, главное, более прочном обосновании своих математических знаний. Возникает ли эта потребность вследствие тех или других конкретных исследований такого специалиста в его собственной научной области, или она встает как неизбежный плод общего расширения его научного и жизненного горизонта, – независимо от этого она, конечно, должна быть удовлетворена. Казалось бы, это сделать просто: взять какой-нибудь полный курс математического анализа, вроде Гурса или Валле-Пуссена, и штудировать его систематически, опираясь на уже имеющиеся менее солидные и глубокие познания. Однако опыт показывает, что этот представляющийся столь естественным путь почти никогда не приводит к цели и, за редкими исключениями, ведёт к разочарованию, а подчас и парализует дальнейшие попытки в намеченном направлении. Дело в том, что, с одной стороны, наш учащийся, как правило, располагает для той цели, которую он себе поставил, лишь весьма ограниченном количеством времени и систематически проработать большой курс в нескольких томах уже по этой причине лишен возможности. С другой же стороны, – и это, пожалуй, всего важнее, – не имея еще твердой научной базы и не будучи математиком по специальности, он сам, без руководства, не может выделить в изучаемом принципиальных моментов, вынужден уделять поэтому полную долю внимания не имеющим существенного значения мелочам и кончает тем, что теряется в этих мелочах, переставая, так сказать, видеть лес за деревьями.

А между тем, для того чтобы дать потребностям и запросам такого учащегося полное удовлетворение, нужно весьма немногое. Несколько лет назад я имел случай прочитать специальный, посвященный этой цели курс, состоявший всего из 12 двухчасовых лекций, слушателям курсов по повышению математической квалификации инженеров при Московском государственном университете. Должен признаться, что вначале мне эта задача казалась почти безнадежной; между тем я имею основания полагать, что курс мой удовлетворил запросы слушателей, несмотря на свою краткость. Секрет этого успеха заключался в том, что мне удалось найти правильный ключ к решению стоявшей передо мной педагогической задачи: я с самого начала отказался от мысли излагать хотя бы одну главу своего предмета в полной подробности; вместо этого я ограничивался возможно выпуклым, конкретным и впечатляющим развитием принципиальных моментов, я говорил больше о целях и тенденциях, о проблемах и методах, о связях основных понятий и идей анализа между собой и с приложениями, чем об отдельных теоремах и их доказательствах. Я не боялся в целом ряде случаев для ознакомления с не имеющими принципиального значения деталями доказательств (а иногда и с целыми цепями теорем и доказательств) отсылать моих слушателей к учебнику. Но зато для освещения какого-либо понятия, метода или идеи, имеющих ведущее, принципиальное значение, я уже позволял себе не жалеть времени, стараясь всеми средствами, путем самых разнородных описаний, наглядных образов и т. п. возможно ярче и эффективнее внедрить эти основоположные моменты в сознание моих слушателей. Я с основанием рассчитывал на то, что после такой подготовки каждый из них, ощутив желание или потребность в более глубоком изучении той или другой главы анализа, сможет уже самостоятельно, без посторонней помощи, во-первых, найти нужный ему материал и, во-вторых, подойти к его изучению, так сказать, по-хозяйски, умея отделить главное от второстепенного и малосущественного.

Все многократные беседы мои с отдельными слушателями, с группой слушателей и со всей аудиторией в целом неизменно убеждали меня, что избранный мною путь был единственно правильным. Пользуюсь случаем отметить, что очень большая аудитория, наводнившая все читавшиеся на этих курсах лекции и в своем большинстве не отсеявшаяся до самого их окончания, наилучшим образом свидетельствует о том, как широко распространена среди наших инженеров потребность в повышении уровня их математических знаний.

Предлагаемая книга ставит себе ту же цель, что и мой только что упомянутый лекционный курс, и стремится осуществить ее теми же самыми средствами. Читатель, следовательно, с самого начала должен быть предупрежден, что здесь он не найдет сколько-нибудь полного изложения университетского курса анализа или хотя бы отдельных избранных глав этого курса. Автор ставит своей задачей только дать общий, но зато возможно доступный и запоминающийся очерк основных идей, понятий и методов математического анализа – такой очерк, который легко бы читался и усваивался всяким, кто знаком хотя бы с самым упрощенным изложением этого предмета, и который, после такого усвоения, уже позволил бы читателю сознательно и самостоятельно изучить во всех деталях любой отдел и любую главу этого предмета.

Я беру на себя, однако, смелость думать, что чтение этой книги сможет принести существенную пользу и многим студентам математических факультетов наших университетов. Дело в том, что ни учебник, ни лектор, будучи, естественно, стеснены рамками времени и программы, не могут уделить достаточно внимания дискуссии принципиальных вопросов и в основном должны ограничивать себя изложением всех деталей конкретного материала. А между тем всякий знает, как полезно иногда оторваться от деревьев и поглядеть на лес; я хочу надеяться, что предлагаемая книга поможет в этом кое-кому из будущих математиков, впервые приступающих к изучению математического анализа.

Об авторе

Хинчин Александр Яковлевич

Выдающийся математик, блестящий представитель Московской математической школы. Доктор физико-математических наук, профессор МГУ имени М. В. Ломоносова (с 1922 г.), профессор Саратовского государственного университета (1935–1937). Член-корреспондент АН СССР с 1939 г. В 1941 г. стал лауреатом Государственной премии СССР. C 1943 по 1957 г. заведовал кафедрой математического анализа механико-математического факультета МГУ. Ученик Н. Н. Лузина. Действительный член Академии педагогических наук, один из ее основателей (1943). Награжден четырьмя орденами, в том числе орденом Ленина. Им получены основополагающие результаты в теории функций действительного переменного, теории чисел, теории вероятностей, статистической физике.