Данфорд Н., Шварц Дж.Т., при участии: Бейд У., Бартл Р. Линейные операторы.
Общая теория. Перевод с английского. Т.1. Изд. 2

Оглавление

Предисловие редактора перевода

Функциональный анализ за последние два десятилетия настолько разросся, настолько широко и глубоко проник почти во все области математики, что сейчас даже трудно определить самый предмет этой дисциплины. Однако в функциональном анализе есть несколько больших "традиционных" направлений, которые и поныне в значительной степени определяют его лицо. К их числу принадлежит и теория линейных операторов, которую иногда называют становым хребтом функционального анализа.

Именно через теорию операторов функциональный анализ сомкнулся с квантовой механикой, дифференциальными уравнениями, теорией вероятностей, целым рядом прикладных дисциплин. В последнее время в этой теории стали намечаться и новые горизонты. Теории операторов и посвящена настоящая книга двух американских математиков Н.Данфорда и Дж. Т.Шварца (уместно заметить, что первый из них – Н.Данфорд является ветераном функционального анализа). Авторы назвали свою книгу "Теорией операторов ", но в ней последовательно излагается такое большое число различных фактов из функционального анализа, что по этой книге можно начать изучать собственно функциональный анализ. Этому весьма способствует и то, что книга открывается главой, в которой приводятся все необходимые в дальнейшем сведения из теории множеств, топологии и алгебры. В последующих главах авторы излагают основные принципы линейного анализа, общую теорию меры и интегрирования. Весьма детально разобраны специальные пространства С и L_p, используемые в теории полугрупп линейных операторов и эргодической теории.

Интересной является глава V, посвященная слабой топологии и выпуклым множествам. Здесь собран обширный материал, часть которого ранее можно было найти только в журнальной литературе. Приятно, что знаменитую теорему Крейна–Мильмана о крайних точках, играющую важную роль в динамических системах, теории представлений и других областях математики, наконец-то можно будет увидеть в широко доступной книге.

На русском языке имеется книга Э.Хилле, посвященная теории полугрупп. Однако книга Э.Хилле слишком обширна и для первого чтения трудна. Можно поэтому сказать, что до сих пор мы не имели удобного для широкого круга читателей изложения теории полугрупп. Этот пробел ликвидирует первая половина VIII главы, которая содержит весьма четкое и ясное введение в эту теорию. Хотя изложение и краткое, читатель хорошо чувствует красоту и силу применяемых методов. Вторая часть VIII главы содержит начала эргодической теории. Те или иные аспекты этой теории в последнее время не раз уже излагались в нашей литературе, однако читатель найдет в книге много новых сведений. Эргодической теорией заканчивается первый том. Второй том авторы предполагают в основном посвятить так называемым спектральным операторам и их приложениям к теории несамосопряженных дифференциальных операторов. По-видимому, это будет самая интересная часть книги.

Хотелось бы отметить большое число превосходных задач и упражнений, которыми снабжены все главы книги. В конце каждой главы имеются литературные указания и исторические справки, иногда обширные, иногда весьма беглые. К ним читатель должен отнестись критически, так как они не всегда точно отражают историю вопроса. В некоторых местах сделаны соответствующие редакторские примечания, но рекомендуется по таким вопросам обращаться дополнительно к соответствующим обзорам в сборниках "Математика в СССР за 30 лет" и "Математика в СССР за 40 лет". Терминология авторов приближена, как только возможно, к терминологии, принятой в советской литературе. Перевод глав I–VI принадлежит Л.И.Головиной, глав VII и VIII-Б.С.Митягину.

Предисловие авторов

В двух частях "Теории линейных операторов" мы попытались дать полный обзор общей теории линейных операторов, вместе с приложениями этой теории к различным областям классического анализа. При этом нам хотелось подчеркнуть значение связи между абстрактной теорией и ее приложениями, этим устанавливается общий тон и определяется общая структура книги. Так, здесь весьма подробно исследуется (гл.XIII) спектральная теория обыкновенных самосопряженных дифференциальных операторов, в то время как теория локально-выпуклых пространств рассматривается (гл.V) довольно коротко и притом лишь в ее связи с теорией B-пространств. Приложения общей теории даются в двух планах: и в тексте, и в виде соответствующим образом подобранных серий упражнений. Так, глава VIII посвящена эргодической теории и теории полугрупп, глава XI – различным вопросам, включая теорию интегральных уравнений, гармонический анализ, теоремы о замыкании винеровского типа, сингулярные интегральные операторы и почти периодические функции, а главы XIII, XIV, XIX и XX – различным аспектам спектральной теории дифференциальных операторов. С другой стороны отдельные куски теории суммирования рядов и интегралов даются в виде серий упражнений в главах II и IV, теория ортогональных разложений – в виде упражнений в главе IV, теория неравенств – в главе VI, теория тауберовых теорем типа Харди–Литлвуда – в главе XI и т.д. Упражнения (которых в книге имеется около тысячи) подбирались весьма тщательно. Они представляют собой не обычные шаблонные тренировочные задачи, но предназначаются для того, чтобы развить изложенную в тексте теорию и привлечь внимание читателя к ее интересным и подчас удивительным приложениям. Читателю рекомендуется прочитывать упражнения даже и в том случае, если он не собирается заниматься подробным их решением.

Деление настоящей работы на две части основывается на следующем принципе: в первой части помещен весь материал, связанный с топологической теорией пространств и операторов, и весь материал, имеющий отношение к спектральной теории произвольных операторов, во второй – весь материал, относящийся к теории вполне приводимых операторов. Разумеется, иногда мы находили целесообразным нарушать этот принцип.

Эта книга предназначена как для студентов, так и для зрелых математиков. Большая часть текста выросла непосредственно из лекций, читанных авторами в течение многих лет; обе его части можно использовать при чтении соответствующих лекционных курсов. Так, главы I, II и избранные вопросы из глав III и IV составляют исчерпывающий одногодичный курс по теории функций вещественного переменного. Материал, содержащийся в главах VI" VII, IX и X, с выдержками из глав V, VIII и XI многократно использовался нами в качестве основы для одногодичного цикла лекций по теории операторов. Одногодичный курс по спектральной теории самосопряженных дифференциальных операторов с соответствующими граничными задачами можно основывать на главах IX, X, XII и XIII. Многие другие вопросы, такие, как гармонический анализ, эргодическая теория, теория полугрупп и общая теория вполне приводимых ("спектральных") операторов в Л-пространстве рассматриваются в главах XV–XX, которые могут быть использованы для изучения в семинаре.

Для чтения настоящего трактата требуется сравнительно немного предварительных сведений, почти все в нем доступно каждому, кто изучал элементарные алгебраические и топологические свойства вещественных и комплексных числовых систем и те основные результаты теории функций комплексного переменного, которые сосредотачиваются вокруг интегральной теоремы Коши. Лишь в небольшом числе отдельных мест требуется знание и несколько менее элементарных результатов алгебры и анализа (например, теории определителей, подготовительной теоремы Вейерштрасса). Большая часть необходимых для понимания книги понятий и результатов из общей топологии и абстрактной алгебры излагается в тексте, хотя характер изложения таков, что он требует от читателя значительной общей математической культуры. Желательно, чтобы читатель был знаком с этими двумя предметами хотя бы в объеме одного семестра изучения абстрактной алгебры и теории функций комплексного переменного.

Для того чтобы облегчить использование большого количества фактов, собранных в настоящем, трактате, мы дополнили его справочным материалом. Так, таблица в начале книги графически показывает взаимную зависимость параграфов различных глав. Таблицы свойств нескольких специальных 5-пространств и операторов, отображающих эти пространства друг в друга, приводятся в главах IV и VI. Многие главы оканчиваются параграфом, озаглавленным "Примечания и дополнения", имеющим двойную цель. С одной стороны, они содержат ссылки на оригинальные и последующие работы, в которых были получены основные результаты данной главы. Кроме того, они содержат ссылки на большое количество результатов, относящихся к данному вопросу, но не включенных в основной текст. Эти параграфы дополняют, с одной стороны, библиографию, с другой – упражнения, и снабжают математика дополнительной информацией для исследовательской работы. Для облегчения изучения книги приводимые в тексте результаты, особенно важные для дальнейшего, отмечаются черной стрелкой на полях; такие теоремы и леммы, а некоторые из них могли бы показаться несколько неясными, необходимо было разъяснить особенно тщательно. Мы пытались придерживаться стандартной терминологии, за исключением такого небольшого числа мест, где стандартные термины кажутся нам особенно неудачными. Во всяком случае, предметный указатель и указатель обозначений должны помочь разобраться в этом. Теоремы, леммы и определения, составляющие текст, нумеруются серийно, по единой системе, последовательно внутри каждого параграфа. Так, лемма XI. 5.4 есть четвертый пункт в пятом параграфе одиннадцатой главы. На протяжении XI главы эта лемма называется леммой 5.4, а в пятом параграфе одиннадцатой главы просто леммой 4.

Общий характер настоящей работы можно проиллюстрировать путем краткого сравнения ее с рядом хорошо известных книг, имеющих дело с некоторыми из рассматриваемых в ней предметов. Известный трактат Банаха стимулировал написание и послужил прототипом глав IV, V и VI. Книга Стоуна по теории линейных операторов в гильбертовом пространстве содержит, no-существу, весь материал, изложенный в главах X и XII, хотя наше изложение, основанное на идеях различных советских математиков, самые замечательные из которых принадлежат Гельфанду, совершенно отлично от изложения Стоуна. Книга Рисса и Секефальви-Надя близка по духу к нашей работе и должна рассматриваться как превосходное введение к много более обширной теории, изложенной нами в главах III–XII. Недавно вышедшая книга Наймарка по теории линейных дифференциальных операторов очень близка к главе XIII, а также затрагивает некоторые вопросы, изложенные в главе XIX.

В результате ретроспективного обзора изложенного в нижеследующих двадцати главах материала, авторам кажется, что общая теория первых семи глав и теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, изложенная в главах IX, X и XII, в настоящее время уже приняла свой относительно окончательный вид. Теория полугрупп, общий гармонический анализ и особенно теория сингулярных самосопряженных дифференциальных операторов, хотя они и достигли уже значительной степени зрелости, будут еще сильно развиваться. Новая теория спектральных операторов, изложенная в главах XV–XVIII, находится, по сравнению с соответствующей теорией для самосопряженных операторов, в своей начальной и неполной стадии развития. Главы XIX и XX дают основание утверждать, что не самосопряженные и не нормальные спектральные операторы являются достаточно обычным явлением среди интересных объектов математики для того, чтобы оправдать их серьезное изучение. Авторы надеются, что настоящий трактат будет указывать размещение слабых и сильных мест в здании теории, воздвигнутой к настоящему моменту, и тем самым облегчать как изучение уже существующей теории, так и будущие исследования.

Нам посчастливилось иметь помощь двоих наших коллег. Без терпеливой внеурочной работы профессоров Роберта Бартла и Уильяма Г.Бейда, которые проверили и подготовили к печати почти все главы, добавив при этом несколько новых параграфов, вряд ли эта книга могла бы быть закончена в таком ее объеме. В частности, большая часть параграфов "Примечания и дополнения" принадлежит профессору Бартлу.

Мы получали ценные советы и критику и от многих других коллег в Иельском и в Нью-Йоркском университетах. Весьма сильно воспользовались мы, особенно в связи с нашей трактовкой эргодической теории, возможностью частых контактов с профессором Какутани. За многие ценные советы по теории полугрупп мы находимся в долгу перед профессорами Эйнаром Хилле и Ральфом Филлипсом, сделавшими доступными для нас отдельные части своей находящейся в печати книги на эту тему. Бесчисленные контакты в официальных и неофициальных семинарах с профессорами Берковицем, Фридрихсом, Фридманом, Хелсоном, Лаксом, Ниренбергом, Риккартом и Уэрмером и с д-ром Джан Карло Рота имели для нас огромное значение, и мы хотим поблагодарить всех этих коллег за оказанную ими нам помощь, выразившуюся и в разрешении ссылаться на их рукописи, и в исправлении нашей собственной рукописи, и в критике ее. Последние два параграфа главы XIII, в частности, принадлежат д-ру Рота. Д-р Рота и Давид Макгарвей редактировали многие части текста и вместе с д-рами Джоном Берри и Робертом Кристианом проверяли правильность большей части задач в тексте Мы также хотим поблагодарить д-ра Альфреда Уилкокса за его помощь в главе IX, д-ра Марию Лесник за редактирование главы V и Джона Томпсона за проверку проводимых в главе XIII вычислений с гипергеометрическими и присоединенными гипергеометрическими функциями.

В течение почти восьми лет, пока писалась эта книга нашей работе помогала поддержка Службы Морских исследований; особенно мы благодарны администраторам ее Математического отдела за их понимание и одобрение.