Клейн Ф. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени.
Пер. с нем. Изд. 2, доп.

Оглавление

От редактора перевода (вместо предисловия)

Среди пяти платоновых тел икосаэдр занимает особое "живое" место: в природе кристаллов в форме икосаэдра нет, но есть живые организмы (радиолярии).

Самая древняя рукотворная модель икосаэдра – игральная кость эпохи Птоломеев, найденная в Египте, хранится ныне в Британском музее. Новейшая модель – сплав алюминия и марганца, имеющий квазикристаллическую структуру с осью пятого порядка, – получена совсем недавно, четыре года назад (см. [9] и [10] списка литературы Добавления А).

Нематериальной области принадлежит монография Ф.Клейна "Икосаэдр и решение уравнений пятой степени ", перевод которой мы предлагаем читателю. В первой части монографии определено и объяснено место икосаэдра в математике.

Согласно Ф.Клейну, ткань математики широко и свободно разбегается листами отдельных теорий. Но есть объекты, в которых сходятся несколько листов, – своеобразные точки ветвления. Их геометрия связывает листы и позволяет охватить общематематический смысл разных теорий. (Читатель-профессионал с умилением вспомнит свою математическую юность, как легко и весело бежать по своему листу, не подозревая о существовании других. Вспомнит он и о том, как трудно переживается в зрелости потеря общематематического смысла.)

Ф.Клейн трактует икосаэдр как геометрический объект, из которого расходятся ветви пяти математических теорий.

Геометрия

Теория Галуа

Теория групп

Дифференциальные уравнения

Теория инвариантов

Пять глав первой части монографии – это прохождение по часовой стрелке пяти лучей этой звезды.

Таким образом, математический смысл первой части монографии Ф.Клейна прозрачен и прост. Основную мысль подтекста: "каждый уникальный геометрический (а по Клейну = общематематический) объект так или иначе связан со свойствами икосаэдра" – мы иллюстрируем в двух Дополнениях А и Б явлением икосаэдра в современных геометрических конструкциях теории особенностей и теории векторных расслоений.

Вторая тема монографии (занимающая половину общего объема) – "решение уравнения пятой степени" – требует обстоятельного математического комментария.

Обратимся к исторической схеме теории Галуа. Естественно считать, что эта теория возникла в тот момент (1770 г.), когда Лагранж предложил классифицировать резольвенты уравнения с помощью групп перестановок корней. В последующие пятьдесят лет эти идеи привели Руффини и Абеля к отрицанию возможности решения общего уравнения степени 5 в радикалах. Наконец, Галуа, имя которого носит теория, прочно связал свойства уравнений со свойствами конечных групп. Еще через пятьдесят лет перед Ф.Клейном встала задача сделать теорию Галуа эффективной, т.е. не только что-то запрещающей (например, решения в радикалах), но позволяющей уравнения решать. Двигаясь "от групп к уравнению ", Клейн разбил задачу на конечный набор типовых "проблем форм" и чисто алгебро-геометрическую проблему описания геометрии "многообразий Вандермонда" (терминология В.И.Арнольда), задаваемых в проективном пространстве Р^n-1 с однородными координатами (x₁,...,x_n) уравнениями

Sum x_i=Sum x_i²=...=Sum x_i^s=0.

Вторую часть монографии Ф.Клейна можно рассматривать как блестящее приложение этой программы к яркому частному случаю (уравнениям пятой степени). Этим объясняется подробность и многоплановость изложения, а также упорство автора, добивающегося понимания (см. ч. II, гл.III, начало §2 "...я не пожалею места для их вывода, чтобы подчеркнуть геометрические причины, приводящие к нужным формулам безо всяких вычислений...", начало §6 "...чтобы правильно скомбинировать уравнения требуется ...трюкачество, что не согласуется с нашим стилем изложения", ..., "мы всегда стремились заранее представить себе в общих чертах результаты вычислений раньше, чем они будут проделаны " и т.д.).

Ф.Клейн был вправе ожидать, что его программа будет приложима и к уравнениям шестой (и произвольной) степени. Однако прямое приложение осложнили два обстоятельства: теоретико-числовые "тонкости" и сложность многомерной бирациональной геометрии.

Теоретико-числовые "тонкости" обнаружил и преодолел Рихард Брауэр в статье: Brauer R. Uber die Kleinische Theorie der algebraischen Gleichimgen // Math. Ann. – 1934. – Bd 110, N4. – S.473–500. Появившаяся здесь концепция "группы Брауэра" прочно вошла в современную алгебраическую геометрию. Она кратко, но ясно отражена в ответах Ж.-П.Серра на вопросы профессора Грея (Университет Новый Южный Уэльс, Австралия) о современных аспектах монографии Клейна. Перевод письма Серра профессору Грею мы приводим ниже. Как математический текст, оно воспроизведено в трудах семинара по теории чисел 1979–1980 гг. в Коллеж де Франс. Мы будем цитировать его в дополнениях как "Письмо Серра".

Качественный скачок сложности геометрических объектов при переходе от уравнений пятой степени к шестой прекрасно иллюстрируют следующие факты: трехмерная "диагональная" кубика не рациональна (но унирациональна), "поверхность Бринга", т.е. пересечение главной квадрики с "диагональной" кубикой, – поверхность типа КЗ и т.д. Алгебраические геометры только недавно научились работать с такими объектами.

Это утверждает самое важное свойство монографии Ф.Клейна – ее математическую актуальность. В Добавлении В мы приведем результаты и перспективы геометрических аспектов программы Клейна для уравнений шестой степени.

Наконец, перед тем как читатель обратится к тексту монографии, необходимо, чтобы он четко осознал те трудности, которые неизбежно возникнут при наложении знакомого ему стиля "современной математики" на стиль Ф.Клейна. Следующие замечания, возможно, помогут читателю эти трудности преодолеть:

1. Терминология Клейна по современным меркам неуклюжа и несистематична. В тексте вообще нет привычных рубрик "Определение", "Теорема" или "Доказательство ". Одно и то же математическое утверждение может допускать различные формулировки и иметь несколько доказательств. Совсем отсутствуют доказательства от противного. Однако преодоление этого "хаоса" чрезвычайно полезно и приучает схватывать суть дела.

2. Термин "теория" для Ф.Клейна означает "рассмотрение под определенным углом", "новый ракурс" математического объекта. В современном языке "теория" – это скорее утверждение границ математической области, разделение не только методов, но и объектов исследования.

3. Объясняя геометрические конструкции, Ф.Клейн рекомендует (см., например, §4 главы 1 ч. I): "Я советую нарисовать..., а лучше сделать модель...". Перед тем как собрать лекции в монографию, Ф.Клейн читал их эрлангенскому научному обществу, т.е. его совет обращен к зрелым, солидным исследователям: математикам, физикам, химикам, инженерам, медикам. В наше время трудно представить себе научного работника, аспиранта или даже студента, клеющего икосаэдр из картона, отливающего его из гипса или полирующего его деревянные грани. Наша надежда – школьники! Остальным придется обратиться к книге-альбому: Веннинджер М.Модели многогранников. – М.: Мир, 1974.

4. Наконец, основное направление мысли Ф.Клейна можно определить как процесс "деспециализации", если под "специализацией" понимать современный алгебро-геометрический термин. Для примера сравним клейновское (см. §2 гл.IV ч. I) и современное изложение теории Галуа. Современное изложение (см. "Современная алгебра" ван дер Вардена и т.п.) основано на идее Дедекинда о том, что группа Галуа сопоставляется не уравнению, а полю – алгебраическому расширению поля коэффициентов, задаваемому сравнениями по модулю уравнения. Структура поля отражает структуру уравнения, и после перехода к полю про уравнение можно забыть. Этот подход дает точный учет основных рациональностей, полезен для теории чисел, но почти исключает возможность использования результатов теории функций и дифференциальных уравнений (см. (*)). Нетрудно понять, что клейновская "проблема форм" – деспециализация, и то же направление мысли угадывается в теории нормальных форм Пуанкаре, версальных семейств и во всех видах "модулей".

В заключение отметим, что идея издания этого шедевра математической литературы на русском языке принадлежит Александру Александровичу Кириллову. Без его энтузиазма и настойчивости дело не сдвинулось бы с места ("начало – половина дела"). Особой благодарности заслуживает основной переводчик Алексей Львович Городенцев. Его чуткость и бережное отношение к идеям Клейна дают надежду донести до широкого читателя многогранность и единство математического содержания книги.

Предисловие

Геометрия икосаэдра заняла в последние несколько лет такое важное место почти во всех областях современного анализа, что мне показалось своевременным опубликовать ее систематическое изложение. В случае, если эта попытка окажется удачной, я предполагаю продолжить в том же духе и изложить теорию модулярных эллиптических функций, а также недавние общие исследования об однозначных функциях, инвариантных относительно линейных преобразований. В результате мог бы получиться многотомный трактат, в котором я надеюсь гак представить последние достижения науки, чтобы наиболее перспективные области современной математики сделались доступными для многих.

Что касается границ материала, охватываемого настоящей публикацией, то, видимо, уместно отослать читателя к самому изложению. Я хотел бы здесь только лишь обратить внимание на вторую часть, посвященную решению уравнений пятой степени. Прошло уже 25 лет с тех пор, как Бриоски, Эрмит и Кронекер создали современную теорию уравнений пятой степени. Но, несмотря на то, что эти исследования иногда и цитируются, математический мир в целом не осознал еще их подлинного значения. Взяв за основу своего изложения геометрическую теорию икосаэдра и показав, что именно она играет ключевую роль в процессе решения, я предлагаю такой подход к этой проблеме, яснее и проще которого вряд ли можно ожидать.

Особая трудность в реализации моего плана состояла в том, что в описании геометрии икосаэдра участвует много различных математических методов. Поэтому я счел целесообразным не предполагать заранее какой бы то ни было осведомленности о них со стороны читателя, а давать везде, где это необходимо, разъяснения и ссылки, способные служить предварительными ориентирами в рассматриваемой в данный момент области. Чего, однако, я жду от читателя, так это определенной зрелости математического суждения, которое позволило бы ему за краткими и сжатыми утверждениями увидеть общий принцип, воплощенный в конкретном примере. Это – тот же метод, который я применяю и в моих лекциях на более сложные темы. Таким образом я вношу в изложение принципы лекционной практики. Я хотел бы, чтобы в таком же духе интерпретировалось и название, которое я дал этим заметкам.

Я не могу закончить это краткое введение, не выразив особую благодарность моим уважаемым друзьям профессору Ли в Христиании и профессору Гордану в Эрлангене за многочисленные полезные указания и поддержку. Я обязан профессору Ли еще с периода 1869–80 г., когда мы вместе проводили последний период нашей студенческой жизни в Берлине и в Париже как близкие товарищи. В то время мы сообща задумали программу изучения геометрических или аналитических форм, инвариантных относительно действия некоторой группы. Эта цель оказала решающее влияние на наши последующие исследования, хотя они и могли показаться лежащими далеко друг от друга. В то время как я в первую очередь обратился к дискретным группам преобразований, что привело к исследованию правильных многогранников и их связи с геометрией уравнений, профессор Ли занялся более сложной теорией непрерывных групп преобразований и геометрией дифференциальных уравнений.

Мой первый контакт с профессором Горданом был осенью 1876 года. Я в это время уже начал свое исследование икосаэдра (не зная в то время о более ранних работах профессора Шварца, на которые мы ниже будем часто иметь случай сослаться), однако я считаю этот период работы сугубо предварительным. Если из него в конечном счете выросла далеко идущая теория, то это в первую очередь заслуга профессора Гордана. Я не имею здесь в виду его глубокие и тонкие результаты, о которых подробно речь пойдет ниже. Здесь я хочу подчеркнуть то, что нельзя выразить цитатами или ссылками, а именно то, что профессор Гордан поддержал меня, когда я готов был сдаться, и что он с величайшим бескорыстием помог мне преодолеть многие трудности, с которыми я никогда бы не справился один.

Лейпциг, 24 мая 1884 г.

Об авторе

Клейн Феликс Христиан

Выдающийся немецкий математик, член-корреспондент Прусской академии наук в Берлине (1913). Родился в Дюссельдорфе. В 1865 г. поступил в Боннский университет, был учеником известного математика и физика Юлиуса Плюккера. Доктор философии Боннского университета (1868). С 1872 г. — профессор математики в Эрлангене, с 1875 г. — в Мюнхенской высшей технической школе, а с 1880 г. — профессор университета в Лейпциге. В 1886 г. переехал в Гёттинген.

Основные работы Феликса Клейна посвящены неевклидовой геометрии, теории непрерывных групп, теории алгебраических уравнений, теории эллиптических функций, теории автоморфных функций. Свои идеи в области геометрии он изложил в работе «Сравнительное рассмотрение новых геометрических исследований» (1872), известной под названием «Эрлангенская программа». В течение почти сорока лет (с 1876 г.) был главным редактором журнала «Математические анналы», много занимался вопросами математического образования. Перед Первой мировой войной организовал Международную комиссию по реорганизации преподавания математики.