| Предисловие |
| Часть первая . ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ |
| Введение |
| | § 1. | Значение интегральных уравнений для приложений |
| | § 2. | Колебание стержня Интегральные уравнения Фредгольма |
| | § 3. | Задача Дирихле |
| | § 4. | Задача Коши Интегральные уравнения Вольтерра II рода |
| | § 5. | Уравнения Вольтерра как частный случай уравнений Фредгольма |
| | § 6. | Задача Абеля Интегральные уравнения Водьтерра I рода" |
| | § 7. | Регулярное ядро |
| | § 8. | Случай многих переменных |
| | § 9. | Неравенство Шварца |
| | § 10. | Ортогональные функции |
| | § 11. | Ортогонализация и нормирование |
| | § 12. | Обобщенные коэфициенты Фурье |
| | § 13. | Неравенство Бесселя |
| | Задача |
| Глава I. | МЕТОД ИТЕРАЦИЙ |
| | § 1. | Приложение метода итераций к уравнениям Фредгольма |
| | § 2. | Итерированные ядра |
| | § 3. | Резольвента |
| | § 4. | Уравнения Вольтерра |
| | § 5. | Интегральные уравнения резольвенты |
| | Задача |
| Глава II. | ТЕОРИЯ ФРЕДГОЛЬМА |
| | § 1. | Частный случай уравнения Фредгольма |
| | § 2. | Общий случай |
| | § 3. | Неравенство Адамара |
| | § 4. | Сходимость рядов Фредгольма и переход к пределу |
| | § 5. | Интегральные уравнения резольвенты |
| | § 6. | Обоснование метода Фредгольма |
| | § 7. | Единственность решения |
| | § 8. | Первая теорема Фредгольма |
| | § 9. | Вычисление коэфициентов рядов Фредгольма |
| | § 10. | Фундаментальные числа |
| | § 11. | Решение однородного уравнения Вторая теорема Фредгольма |
| | § 12. | Вывод из первой и второй теорем Фредгольма |
| | § 13. | Ортогональность решений |
| | § 14. | Третья теорема Фредгольма |
| | § 15. | Вид знаменателя резольвенты для уравнения ВолЬтерра |
| | § 16. | Квази-регулярные интегральные уравнения |
| | § 17. | Ядро вида H(x, s) / |x - s|a |
| | § 18. | Ядро вида H(M, P)/MPa |
| | § 19. | Особые интегральные уравнения в |
| | § 20. | Особое интегральное уравнение с ядром вида Н(|х - s|) |
| | Задачи |
| Глава III. | ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С СИММЕТРИЧЕСКИМ ЯДРОМ |
| | § 1. | Интегральное уравнение тригонометрических функций |
| | § 2. | Ортогональность фундаментальных функций |
| | § 3. | Отсутствие мнимых фундаментальных чисел |
| | § 4. | Существование фундаментального числа |
| | § 5. | Спектр фундаментальных чисел |
| | § 6. | Полюсы резольвенты |
| | § 7. | Разложение ядра |
| | § 8. | Спектр итераций ядра |
| | § 9. | Разложение итераций-ядра |
| | § 10. | Замкнутое ядра |
| | § 11. | Теорема Гильберта – Шмидта |
| | § 12. | Разложение первой итерации ядра |
| | § 13. | Разложение, решения уравнения Фредгольма по фундаментальным функциям. Третья теорема Фредгольма |
| | § 14. | Разложение резольвенты по фундаментальным функциям |
| | § 15. | Классификация симметрических ядер |
| | § 16. | Ядро вида K(x,s)p(s) |
| | § 17. | Теорема Мерсера |
| | Задача |
| Глава IV. | ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА К ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С СИММЕТРИЧЕСКИМ ЯДРОМ |
| | § 1. | СхоДймость в среднем |
| | § 2. | Критерий сходимости в среднем |
| | § 3. | Почленное интегрирование ряда, сходящегося в среднем |
| | § 4. | Минимальное свойство коэфициентов Фурье Формула и неравенство Бесселя |
| | § 5. | Сходимость в среднем ряда Фурье Равенство замкнутости нормированной ортогональной системы |
| | § 6. | Теорема Фишера – Рисса |
| | § 7. | Уравнение Фредгольна I рода |
| | § 8. | Существование фундаментального числа, |
| | § 9. | Сходимость в среднем к ядру K(x, s) соответствующего разложения по фундаментальным функциям |
| Часть вторая . ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ |
| Глава I. | ОБЩИЙ АНАЛИЗ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ |
| | § 1. | Постановка задачи |
| | § 2. | Формула Грина |
| | § 3. | Функция Грина |
| | § 4. | Фундаментальная теорема Гильберта |
| | § 5. | Эквивалентность краевой задачи однородному линейному интегральному уравнению |
| | § 6. | Краевая задача с симметрической функцией Грина |
| | § 7. | Общие теоремы для краевой задачи с симметрической функцией Грина |
| | § 8. | Случай отрицательных фундаментальных чисел |
| | § 9. | Замечание относительно случая, когда r(x) в интервале (a, b) обращается в нуль |
| | § 10. | Неоднородная краевая задача |
| | § 11. | Особый случай краевой задачи |
| Глава II. | РАЗЛИЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ К КРАЕВЫМ ЗАДАЧАМ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ |
| | § 1. | Колебание струны |
| | § 2. | Распространение теплоты в брусе |
| | § 3. | Некоторые вспомогательные результаты вариационного исчисления |
| | § 4. | Минимум интеграла Дирихле |
| | § 5. | Исследование второй вариации |
| Глава III. | ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА |
| | § 1. | Некоторые вспомогательные предложения теории потенциала |
| | § 2. | Логарифмические потенциалы простого и двойного слоя |
| | § 3. | Разрывность нормальной производной потенциала простого слоя |
| | § 4. | Нормальная производная потенциала двойного слоя |
| | § 5. | Внутренняя задача Дирихле |
| | § 6. | Внешняя задача Дирихле |
| | § 7. | Вторая граничная задача теории потенциала |
| | § 8. | Третья граничная задача теории потенциала |
Настоящая книга заключает в себе две части: в первой части дается
изложение теории интегральных уравнений, вторая же посвящена приложениям
этой теории к различным проблемам математической физики.
Теория интегральных уравнений в законченном виде изложена в первых
трех главах первой части; основные выводы этой теории находят
себе приложения во второй "части книги. Что касается четвертой главы
первой части, содержащей анализ некоторых проблем симметрического
ядра с помощью интеграла Лебега и теории меры множеств, то она
имеет дополнительное значение, и остальная часть книги от нее
не зависит. Вследствие этого читатель, незнакомый с основами теории меры
множеств и интеграла Лебега, может при чтении книги опустить четвертую
главу первой части, не теряя возможности понимания остального
материала.
При составлении этой книги я пользовался следующими руководствами:
Heywood-Frechet, L'\'equation de Fredholm et ses applications a la
physique mathematique, Paris, 1912.
Э.Гурса, Курс математического анализа, т.lll, ч. II, перевод
с пятого французского издания М.Г.Шестопал, под редакцией проф.
В.В.Степанова, ГТТИ, 1934.
Lalesco T., Introduction a la th\'eorie des \'equations int\'egrates, 1912.
Frank und Mises, Die Differential- und Integralgleichungen, т.I, 1930.
Sternberg W., Potentialtheorie, 1926.
Ловитт У. B., Линейные интегральные уравнения, перевод с английского
Д.А.Райкова, под ред. проф. А.О.Гельфонда, ГТТИ, 1933.
Из последней книги мною взяты задачи для упражнений, приложенные
к различным главам и снабженные мною ответами.
Наконец, труд написания этой книги был значительно облегчен
благодаря запискам читанных мною в I МГУ в 1930 г. лекций, составленным
моим слушателем Г.Ф.Козловским, которому я выражаю глубокую
благодарность.
И.Привалов
Иван Иванович ПРИВАЛОВ (1891–1941)
Выдающийся советский математик, доктор физико-математических наук, профессор,
член-корреспондент АН СССР (1939). В 1913 г. окончил Московский университет.
Ученик Д. Ф. Егорова, участник математической школы Н. Н. Лузина (знаменитой
"Лузитании"). Профессор Саратовского (с 1918 г.) и Московского (с 1922 г.)
университетов. Также преподавал в Военно-воздушной инженерной академии им. Н.
Е. Жуковского.
Основные труды И. И. Привалова были посвящены теории функций и интегральным
уравнениям. В диссертации "Интеграл Коши" он обобщил единственность так
называемой теоремы Лузина-Привалова, доказал свою основную лемму для
интегралов типа Коши и свою теорему об особом интеграле. И. И. Привалов
положил начало исследованиям по теории однолистных функций в СССР. Ему
принадлежат работы по теории тригонометрических рядов, теории
субгармонических функций (монография "Субгармонические функции"), а также
получившие широкую известность учебники "Введение в теорию функций
комплексного переменного", "Аналитическая геометрия" и предлагаемые читателю
"Интегральные уравнения".
