|
Оглавление
Содержание
Предисловие 13 Часть I ДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 19 Глава 1. Примеры динамических систем, формулировка задач 20 1.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения (задачи с начальными условиями) 20 Частицы в поле случайных скоростей 20 Частица в поле случайных внешних сил 25 Явление переброса в динамических системах 26 Осциллятор с переменной случайной частотой (стохастический параметрический резонанс) 35 1.2. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения (краевые задачи) 36 Плоские волны в слоистых средах (падение волны на слой среды) 36 Плоские волны в слоистых средах (источник внутри слоя среды) 42 Плоские волны в слоистых средах (двухслойная модель среды) 44 1.3. Уравнения в частных производных первого порядка 45 Линейные уравнения с производными первого порядка 45 Квазилинейные уравнения 55 Краевые задачи для нелинейных обыкновенных дифференциаль- ных уравнений 59 Нелинейные уравнения в частных производных первого порядка 60 1.4. Уравнения в частных производных старшего порядка 61 Фундаментальные решения волновых задач в свободном простран- стве и в слоистых средах 61 Уравнения Максвелла для стационарной задачи 67 Уравнение Гельмгольца (краевая задача) и параболическое урав- нение квазиоптики (волны в случайно-неоднородных средах) . . 68 Уравнение Навье-Стокса (случайные силы в гидродинамической теории турбулентности) 74 Уравнения геофизической гидродинамики 84 Глава 2. Зависимость решения задачи от коэффициентов уравнений, начальных условий и параметров 86 2.1. Функциональная зависимость решения задачи 86 2.1.1. Вариационные (функциональные) производные 86 2.1.2. Принцип динамической причинности 90 2.2. Зависимость решения от параметров задачи 91 Зависимость решения задачи от начального условия 91 Метод погружения для краевых задач 93 Глава 3. Индикаторная функция и уравнение Лиувилля 96 Обыкновенные дифференциальные уравнения 96 Уравнения в частных производных первого порядка 99 Случай линейного уравнения 99 Случай квазилинейного уравнения 104 Общий случай нелинейного уравнения 108 3.3. Уравнения в частных производных высшего порядка 108 Параболическое уравнение квазиоптики 108 Случайные силы в гидродинамической теории турбулентности . . 111 Часть II СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, ПРОЦЕССЫ И ПОЛЯ 113 Глава 4. Случайные величины и их характеристики 114 Глава 5. Случайные процессы и их характеристики 120 5.1. Общие замечания 120 Кривая типичной реализации случайного процесса 122 Статистика числа точек пересечения процесса с прямой 123 Гауссов случайный процесс 124 Логарифмически нормальный случайный процесс 125 Разрывные случайные процессы 126 Пуассоновский (импульсный) случайный процесс 127 Телеграфный случайный процесс 129 Обобщенный телеграфный процесс 133 5.5. Марковские процессы 134 Общие свойства 134 Характеристический функционал марковского процесса 142 Глава 6. Случайные поля и их характеристики 145 Гауссово векторное случайное поле 146 Статистическая топография случайных процессов и полей 149 О критерии стохастического структурообразования в случайных средах 151 Глава 7. Расщепление корреляций 154 Общие соотношения 154 Гауссов процесс 156 Гауссовы случайные поля 158 Пуассоновский процесс 160 Телеграфный случайный процесс 160 Обобщенный телеграфный процесс 164 Марковские процессы общего типа 165 Дельта-коррелированные случайные процессы 168 Общие соотношения 168 Асимптотический смысл дельта-коррелированных процессов и полей 170 Часть III СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 177 Глава 8. Общие подходы к стохастическим динамическим системам .. 178 Обыкновенные дифференциальные уравнения 178 Уравнения в частных производных 182 Поле плотности в случайном поле скоростей 182 Уравнение квазиоптики 184 Случайные силы в гидродинамической теории турбулентности . . 185 8.3. Стохастические интегральные уравнения 186 Линейные интегральные уравнения 187 Нелинейные интегральные уравнения 193 8.4. Динамические системы, допускающие полный статистический анализ . 199 Обыкновенные дифференциальные уравнения 199 Примеры уравнений в частных производных 210 8.5. Дельта-коррелированные процессы и поля 215 Общие соотношения 215 Одномерное нелинейное дифференциальное уравнение 217 Линейное операторное уравнение 220 Уравнения в частных производных 227 Глава 9. Стохастические уравнения с марковскими флуктуациями параметров 235 Общие соотношения 235 Телеграфный случайный процесс 236 Система линейных операторных уравнений 237 Одномерное нелинейное дифференциальное уравнение 242 Частица в одномерном потенциальном поле 243 Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка .... 245 Статистическая интерпретация телеграфного уравнения 246 9.3. Обобщенный телеграфный случайный процесс 246 Стохастическое линейное уравнение 248 Одномерное нелинейное дифференциальное уравнение 251 Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка .... 253 9.4. Гауссовы марковские процессы 254 Общие соотношения 254 Стохастическое линейное уравнение 255 Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка .... 255 Квадрат гауссова марковского процесса 258 Марковские процессы с конечным числом состояний 259 9.5.1. Процесс с двумя состояниями 260 Стохастические причинные интегральные уравнения 261 Общие соотношения 261 Телеграфный случайный процесс 263 Обобщенный телеграфный случайный процесс 264 Гауссов марковский процесс 266 Часть IV АСИМПТОТИЧЕСКИЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 271 Глава 10. Приближение дельта-коррелированного гауссова случайного поля 272 Уравнение Фоккера-Планка 272 Плотность вероятностей перехода 274 Об условиях применимости уравнения Фоккера-Планка 277 10.3.1. Уравнение Ланжевена 277 Простейшие марковские случайные процессы 280 Линейные системы уравнений 281 Винеровский случайный процесс 281 Винеровский случайный процесс со сносом 283 Логарифмически нормальные процессы, перемежаемость, кривая типичной реализации и динамическая локализация .... 285 10.5. Логнормальные поля, перемежаемость, статистическая топография и кластеризация 294 Случайные логнормальные поля 294 Статистическая топография логнормальных случайных полей . . 295 10.6. Причинное во времени интегральное уравнение 298 Общие замечания 298 Статистическое усреднение 300 Глава 11. О методах решения и анализа уравнения Фоккера-Планка . 304 Интегральные преобразования 304 Стационарные решения уравнения Фоккера-Планка 306 Одномерное нелинейное уравнение 306 Гамильтоновы системы 307 Системы гидродинамического типа 309 11.3. Краевые задачи для уравнения Фоккера-Планка (явление переброса) . 316 Явление переброса в регулярных системах 316 Явление переброса в сингулярных системах 319 11.4. Асимптотические и приближенные методы решения уравнения Фоккера-Планка 322 Асимптотическое разложение 322 Метод кумулянтных разложений 323 Метод усреднения по быстрым осцилляциям 324 Глава 12. Диффузионное и высшие приближения 334 12.1. Общие соотношения 334 Диффузионное приближение 335 12.2.1. Частица в поле случайных сил 335 Высшие приближения, метод последовательных приближений 339 12.3.1. Диффузия частиц в быстропеременных случайных волновых полях 340 Часть V НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ГИДРОДИНАМИКИ 345 Глава 13. О квазиупругих свойствах несжимаемой турбулентной среды .. 346 Глава 14. Излучение звука вихревыми движениями 351 Излучение звука вихревыми нитями 352 Излучение звука вихревыми кольцами 355 Глава 15. Равновесные распределения для гидродинамических потоков . 359 Часть VI ДИФФУЗИЯ И КЛАСТЕРИЗАЦИЯ ПОЛЯ ПЛОТНОСТИ В СЛУЧАЙНЫХ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПОТОКАХ 369 Глава 16. Основные особенности задачи и определяющие уравнения ... 370 Малоинерционная примесь 370 Безынерционная примесь 372 16.2.1. Связь лагранжева и эйлерова описаний 373 Глава 17. Статистический анализ диффузии и кластеризации безынерционной примеси 380 Общие замечания 380 Приближение дельта-коррелированного во времени поля скоростей . . . 382 Лагранжево описание (диффузия частиц) 383 Вероятностное описание поля плотности в случайном поле скоростей (Эйлерово описание) 391 17.3. Учет дополнительных факторов 398 Плоско-параллельный средний поток 398 Учет молекулярной диффузии 400 Условия применимости дельта-коррелированного приближения 403 Диффузионное приближение 404 17.4. Особенности диффузии примеси в случайных волновых полях 407 17.4.1. Статистическое описание 409 Глава 18. Интегральные одноточечные статистические характеристики, связанные с полем плотности 414 Пространственная корреляционная функция поля плотности 415 Одноточечные статистические характеристики градиента поля плотности 417 18.2.1. Обобщение на случай неоднородных начальных условий 420 Глава 19. Диффузия и кластеризация примеси в случайных бездивергентных потоках 422 Диффузия и кластеризация плавучей безынерционной примеси 422 19.1.1. Плавучая примесь на случайной поверхности z(R, t) 423 Диффузия и кластеризация малоинерционной примеси 425 19.2.1. Особенность диффузии малоинерционных частиц (лагранжево описание) 427 Диффузия малоинерционной примеси в эйлеровом описании . . . 429 Пространственные корреляции поля V(r,t) 431 Корреляционный тензор пространственных производных V(r,t) . 432 Временной корреляционный тензор поля V(r, t) 434 Об условиях применимости полученных результатов 436 19.3. Диффузия и кластеризация примеси с учетом вращения 437 Пространственные корреляции поля V(r,t) 438 Временной корреляционный тензор поля V(r, t) 440 Глава 20. Диффузия и кластеризация оседающей примеси в случайных потоках 443 20.1. Текущее состояние проблемы и основные уравнения 443 Диффузия частиц (лагранжево описание) 444 Эйлерово описание поля плотности примеси 445 Диффузия и кластеризация поля плотности оседающей безынерционной примеси 446 Учет малой инерционности оседающей примеси 452 Общие замечания 452 Диффузионное приближение 455 Пространственно-временной корреляционный тензор поля v(r, t) 456 Пространственно-временной корреляционный тензор поля div v(r, t) 457 Часть VII ДИФФУЗИЯ И КЛАСТЕРИЗАЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В СЛУЧАЙНЫХ МАГНИТОГИДРО-ДИНАМИЧЕСКИХ ПОТОКАХ 461 Глава 21. Вероятностное описание магнитного поля в случайном поле скоростей 462 Основные особенности задачи и определяющие уравнения 462 Статистическое усреднение 464 Глава 22. Вероятностное описание энергии магнитного поля в случайном поле скоростей 466 Приближение дельта-коррелированного случайного поля скоростей . . . 466 Турбулентное динамо в критической ситуации 471 Особенности диффузии магнитного поля в критических ситуациях 471 Основные уравнения метода последовательных приближений . . 474 Псевдо-равновесное поле скоростей 482 Случайное акустическое поле скоростей 485 Равновесное тепловое поле скорости 488 Глава 23. Интегральные одноточечные статистические характеристики магнитного поля 490 Пространственная корреляционная функция магнитного поля 490 О спиральности магнитного поля 493 О диссипации энергии магнитного поля (дисперсии силы тока) 495 Часть VIII ЛОКАЛИЗАЦИЯ ПЛОСКИХ ВОЛН В СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ 499 Глава 24. Предварительные замечания 500 Падение волны на слой неоднородной среды 500 Источник внутри слоя неоднородной среды 502 Глава 25. Статистическое описание волнового поля на границах 505 25.1. Коэффициенты отражения и прохождения волны 505 Недиссипативная среда (случай нормального падения волны) . . 507 Недиссипативная среда (случай наклонного падения волны) . . . 509 Диссипативная среда 511 Источник внутри среды 515 Статистическая локализация энергии 516 Диффузионное приближение 517 Задача с несогласованной границей 517 Задача с согласованной границей 518 Глава 26. Статистическая теория переноса излучения 523 26.1. Нормальное падение волны на слой среды 523 Недиссипативная среда (стохастический волновой параметрический резонанс и динамическая локализация волн) . . 525 Диссипативная среда 533 26.2. Источник плоских волн внутри случайно-неоднородной среды 536 Неограниченное пространство случайно-неоднородной среды . . . 538 Полупространство случайно-неоднородной среды 539 Асимптотический случай малого поглощения 542 Особенности статистического описания акустического поля в океане . . 544 Численное моделирование 548 Падение волны на слой среды 550 Источник плоских волн внутри среды 551 Нелинейная задача о самовоздействии волны в случайной среде . 555 Глава 27. Собственные значения и собственные функции стохастических краевых задач 557 Общие соотношения 557 Статистическое усреднение 559 Глава 28. Многомерные волновые задачи в слоистых случайных средах 564 28.1. Нестационарные задачи 564 Формулировка краевых волновых задач 564 Статистическое описание 566 28.2. Точечный источник в слоистой случайной среде 570 Факторизация волнового уравнения в слоистых средах 570 Параболическое уравнение 572 Общий случай 575 Глава 29. Двухслойная модель среды 577 Постановка краевых задач 577 Статистический анализ 580 Часть IX РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ 587 Глава 30. Метод стохастического уравнения 588 Исходные стохастические уравнения и некоторые их следствия 588 Приближение дельта-коррелированных флуктуации параметров среды . 591 30.2.1. Оценка деполяризационных эффектов в случайно-неоднородных средах 601 30.3. Применимость приближения дельта-коррелированности 603 Метод последовательных приближений 603 Диффузионное приближение для волнового поля 606 30.4. Амплитудно-фазовые флуктуации волнового поля 610 Случайный фазовый экран (Да; < ж) 614 Случай непрерывной среды (Да; = х) 614 Глава 31. Геометрическая оптика в случайно-неоднородной среде 617 Диффузия лучей в случайно-неоднородной среде (лагранжево описание) 617 Возникновение каустик в случайно-неоднородной среде 620 Амплитудно-фазовые флуктуации волнового поля (эйлерово описание) 626 Глава 32. Континуальная запись решения задачи 632 Общие соотношения 632 Статистическое описание волнового поля 635 Асимптотический анализ флуктуации интенсивности плоской волны . . 638 Случайный фазовый экран 640 Случай непрерывной случайной среды 642 Глава 33. Каустическая структура волнового поля 648 33.1. Элементы статистической топографии случайного поля интенсивности . 648 Область слабых флуктуации интенсивности 650 Область сильных флуктуации интенсивности 653 Часть X Приложения, Метод погружения в краевых волновых задачах 657 Общие замечания 658 Глава А. Стационарные краевые волновые задачи 660 А.1. Одномерные стационарные краевые волновые задачи 660 А. 1.1. Уравнение Гельмгольца с несогласованной границей 660 А.1.2. Уравнение Гельмгольца с согласованной границей 671 А.1.3. Акустические и электромагнитные волны в слоисто-неоднородной среде 674 А.1.4. Акустико-гравитационные волны в слоистом океане 681 А.2. Волны в периодически неоднородных средах 690 А.2.1. Падение волны на слой периодически неоднородной среды .... 690 А.2.2. Брэгговский резонанс в неоднородных средах 694 А.З. Краевая стационарная нелинейная одномерная задача о самовоздействии волны 696 А.3.1. Общие уравнения 696 А.3.2. Падение волны на полупространство нелинейной среды 701 А.3.3. Примеры расчета волновых полей в нелинейной среде 705 A. 4. Стационарная многомерная краевая задача 712 4.1. Стационарная нелинейная многомерная краевая задача 719 Глава В. Одномерная нестационарная краевая волновая задача 725 B. 1. Случай нестационарной среды 725 1.1. Падение волны на слой среды 727 Стационарная среда 729 В.2.1. Решение обратной задачи 733 Одномерная нелинейная волновая задача 736 Список литературы 739 Предметный указатель 765 Об авторе
 Кляцкин Валерий Исаакович Окончил радиотехнический факультет МФТИ по специальности "Теоретическая ядерная физика" в 1964 г. Доктор физико-математических наук (1977), профессор по специальности "Теоретическая и математическая физика" (1988). Лауреат Государственной премии СССР за исследования в области распространения волн в турбулентной атмосфере (1990). Главный научный сотрудник Института физики атмосферы имени А. М. Обухова РАН. Область научных интересов: теоретическая и математическая физика; прикладная математика; теория случайных процессов и полей; теория стохастических уравнений; статистическая акустика, гидродинамика, магнитная гидродинамика и радиофизика.
В. И. Кляцкин — автор нескольких монографий, в числе которых "Метод погружения в теории распространения волн", "Динамика стохастических систем: Курс лекций", "Стохастические уравнения: Теория и ее приложения к акустике, гидродинамике и радиофизике" (в 2 т.), "Очерки по динамике стохастических систем" (М.: URSS) и др., а также статей в различных научных изданиях; некоторые его работы переведены на иностранные языки. Член редакционной коллегии журнала "Известия РАН. Физика атмосферы и океана". |