| Содержание
|
| Предисловие | 6
|
| 1. Система аксиом геометрии Лобачевского | 7
|
| 1.1. Система аксиом плоскости Лобачевского
|
| 1.2. Пространственные аксиомы
|
| 1.3. Понятие модели
|
| Упражнение
|
| 2. Модель Пуанкаре геометрии Лобачевского на евклидовой полу-плоскости | 13
|
| 2.1. Выбор основных объектов
|
| 2.2. Выполнимость требований аксиом принадлежности
|
| 2.3. Выполнимость требований аксиом порядка
|
| 2.4. Сложное отношение четырех точек в H2
|
| 2.5. Выполнимость требований аксиом меры для отрезков и углов
|
| 2.6. Определение движений
|
| 2.7. Равенство фигур в H2. Серединный перпен-дикуляр отрезка
|
| 2.8. Выполнимость требований аксиомы существования треугольни-ка, равного данному
|
| 2.9. Выполнимость требования аксиомы существования отрезка дан-ной длины
|
| 2.10. Выполнимость требования аксиомы Лобачевского
|
| 2.11. Многообразие конформных моделей плоскости Лобачевского
|
| 2.12. Модель геометрии Лобачевского в пространстве
|
| Упражнения
|
| 3. Простейшие геометрические образы в модели Пуанкаре плоскости Лобачевского | 30
|
| 3.1. Общий перпендикуляр двух расходящихся прямых
|
| 3.2. Угол параллельности данного отрезка
|
| 3.3. Окружность, эквидистанта, орицикл
|
| Упражнения
|
| 4. Дифференциально-геометрическое построение модели Пуанкаре геометрии Лобачевского | 39
|
| 4.1. Основные дифференциально-геометрические понятия
|
| 4.2. Выбор области и метрики
|
| 4.3. Геодезические линии
|
| 4.4. Пространство как модель Пуанкаре плоскости Лобачевского
|
| 4.5. Вычисление расстояния между точками в
|
| 4.6. Структура движений
|
| 4.7. Обобщение по размерности
|
| Упражнения
|
| 5. Модель Пуанкаре геометрии Лобачевского в круге | 52
|
| 5.1. Вывод метрики и ее свойства
|
| 5.2. Расстояние между точками
|
| 5.3. Геодезические линии
|
| 5.4. Пространство как модель плоскости Лобачевского
|
| 5.5. Структура движений
|
| 5.6. Об аксиоматическом построении модели
|
| 5.7. Многомерное обобщение
|
| Упражнения
|
| 6. Модели Бельтрами и Кэли-Клейна геометрии Лобачевского | 64
|
| 6.1. Реализация геометрии Лобачевского в круге на орисфере
|
| 6.2. Изображение пучков неевклидовых прямых на орисферическом круге
|
| 6.3. Модель Бельтрами плоскости Лобачевского
|
| 6.4. Модель Кэли-Клейна плоскости Лобачевского
|
| 6.5. Связь между моделями Бельтрами и Кэли-Клейна
|
| 6.6. Формула Лобачевского
|
| 6.7. Многомерное обобщение
|
| Упражнения
|
| 7. Реализация плоскости Лобачевского в псевдоевклидовом простран-стве | 88
|
| 7.1. Псевдоевклидовы пространства
|
| 7.2. Метрика псевдосферы пространства
|
| 7.3. Внутренняя геометрия псевдосферы
|
| 7.4. Неевклидовы прямые на псевдосфере
|
| 7.5. Многомерное обобщение
|
| Упражнения
|
| 8. Связь между различными моделями плоскости Лобачевского | 101
|
| 8.1. Изоморфизм моделей
|
| 8.2. Метрическая форма плоскости Лобачевского в модели Бельтрами
|
| Упражнения
|
| 9. Примеры применения моделей для доказательства теорем геомет-рии Лобачевского | 109
|
| 9.1. Теорема Пифагора
|
| 9.2. Площадь треугольника
|
| 9.3. Длина окружности и площадь круга
|
| Литература | 116
|
Подран Виталий Ефимович Кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой алгебры и геометрии Новгородского государственного университета имени Ярослава Мудрого, заслуженный работник высшей школы Российской Федерации. Область научных интересов — дифференциальная геометрия «в целом», основания геометрии. Им опубликовано 56 научных и научно-методических работ, среди них — «Сферически однолистные трубки в евклидовом пространстве» («Украинский геометрический сборник», вып. 22), «О топологическом расположении сужающихся поверхностей в евклидовом пространстве» (сборник «Прикладная математика», Новгород, вып. 1), «Тополого-метрическое строение некоторых классов гиперповерхностей евклидова пространства и пространства Минковского» («Вестник Новгородского государственного университета», серия «Естественные и технические науки», вып. 19), «Опыт постановки курса геометрии Лобачевского» (сборник научных трудов «Математика. Компьютер. Образование», вып. 6, ч. 1), «Элементы топологии» (учебное пособие, гриф УМО).
