Фоменко А.Т.Ак Дифференциальная геометрия и топология:
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ. Изд. 3, испр и доп.

---

Предисловие				8
Глава 1. Клеточные комплексы, гомологии				11
§ 1. Клеточные комплексы и их простейшие свойства				11
1.1. Первые определения				11
1.2. Примеры клеточных комплексов				13
§ 2. Группы сингулярных гомологий				17
2.1. Сингулярные симплексы, граничный оператор, группы гомологий				17
2.2. Цепные комплексы, цепная гомотопия, гомотопическая инвариантность групп гомологий				20
Глава 2. Критические точки гладких функций на многообразиях				25
§ 1. Критические точки и геометрия поверхностей уровня				25
1.1. Определение критических точек				25
1.2. Каноническое представление функции в окрестности невырожденной критической точки				28
1.3. Топологическая структура поверхностей уровня функции в окрестности критических точек				31
1.4. Представление многообразия в виде клеточного комплекса, связанное с функцией Морса				34
1.5. Операция приклейки ручек и разложение компактного многообразия в сумму ручек				35
§ 2. Точки бифуркации и их связь с гомологиями				40
2.1. Определение точек бифуркации				40
2.2. Теорема, связывающая полиномы Пуанкаре функции и многообразия				44
2.3. Некоторые следствия				46
2.4. Критические точки функций на двумерных многообразиях				50
§ 3. Критические точки функций и категория многообразия				56
3.1. Определение категории				56
3.2. Топологические свойства категории				58
3.3. Формулировка теоремы о нижней границе числа точек бифуркации				61
3.4. Доказательство теоремы				64
3.5. Примеры вычисления категории				68
§ 4. Правильные функции Морса и бордизмы				73
4.1. Бордизмы				73
4.2. Разложение бордизма в композицию элементарных бордизмов				75
4.3. Градиентно-подобные поля и сепаратрисные диски				77
4.4. Перестройки поверхностей уровня гладкой функции				79
4.5. Построение правильных функций Морса				82
4.6. Двойственность Пуанкаре				90
Глава 3. Топология трехмерных многообразий				97
§ 1. Каноническое представление трехмерных многообразий				97
1.1. Правильные функции Морса и диаграммы Хегора				97
1.2. Примеры диаграмм Хегора				100
1.3. Кодирование трехмерных многообразий при помощи сетей				104
1.4. Сети и сепаратрисные диаграммы				107
§ 2. Задача распознавания трехмерной сферы				110
2.1. Гомологические сферы				110
2.2. Гомотопические сферы				116
§ 3. Об алгоритмической классификации многообразий				120
3.1. Фундаментальные группы трехмерных многообразий				120
3.2. Фундаментальные группы четырехмерных многообразий				122
3.3. О невозможности классификации гладких многообразий в размерностях больших, чем три				123
Глава 4. Симметрические пространства				129
§ 1. Основные свойства симметрических пространств, их модели и группы изометрии				129
1.1. Определение симметрических пространств				129
1.2. Группы Ли как симметрические пространства				130
1.3. Свойства тензора кривизны				132
1.4. Инволютивные автоморфизмы и связанные с ними симметрические пространства				133
1.5. Картановская модель симметрического пространства				135
1.6. Геометрия картановских моделей				140
1.7. Некоторые важные примеры симметрических пространств				142
§ 2. Геометрия групп Ли				148
2.1. Полупростые группы и алгебры Ли				148
2.2. Картановские подалгебры				151
2.3. Корни полупростой алгебры Ли и ее корневое разложение				153
2.4. Некоторые свойства системы корней				156
2.5. Системы корней простых алгебр Ли				163
§ 3. Компактные группы				169
3.1. Вещественные формы				169
3.2. Компактная форма				171
§ 4. Орбиты присоединенного представления				180
4.1. Орбиты общего положения и сингулярные орбиты				180
4.2. Орбиты в группах Ли				185
4.3. Доказательство теоремы сопряженности максимальных торов в компактной группе Ли				188
4.4. Группа Вейля и ее связь с орбитами				197
Глава 5. Симплектическая геометрия				203
§ 1. Симплектические многообразия				203
1.1. Симплектическая структура и ее каноническое представление. Кососимметрический градиент				203
1.2. Гамильтоновы векторные поля				208
1.3. Скобка Пуассона и интегралы гамильтоновых полей				210
1.4. Теорема Лиувилля (коммутативное интегрирование гамильтоновых систем)				215
§ 2. Некоммутативное интегрирование гамильтоновых систем				223
2.1. Некоммутативные алгебры Ли интегралов				223
2.2. Теорема о некоммутативном интегрировании				225
2.3. Редукция гамильтоновых систем с некоммутативными симметриями				228
2.4. Орбиты (ко)присоединенного представления как симплектические многообразия				238
Глава 6. Геометрия и механика				241
§ 1. Вложение гамильтоновых систем в алгебры Ли				241
1.1. Постановка задачи и полные коммутативные наборы функций				241
1.2. Уравнения движения многомерного твердого тела с закрепленной точкой и их аналоги на полупростых алгебрах Ли. Комплексная полупростая серия				247
1.3. Гамильтоновы системы компактной и нормальной серий				252
1.4. Секционные операторы и соответствующие им динамические системы на орбитах				257
1.5. Уравнения движения многомерного твердого тела по инерции в идеальной жидкости				261
§ 2. Полная интегрируемость некоторых гамильтоновых систем на алгебрах Ли				271
2.1. Метод сдвига аргумента и построение коммутативных алгебр интегралов на орбитах в алгебрах Ли				271
2.2. Примеры для алгебр Ли so 3 и so 4				277
2.3. Случаи полной интегрируемости уравнений движения многомерного твердого тела с закрепленной точкой в отсутствие силы тяжести и полная интегрируемость их аналогов на полупростых алгебрах Ли				282
2.4. Случаи полной интегрируемости уравнений движения многомерного твердого тела по инерции в идеальной жидкости				288
2.5. Конечномерные аппроксимации уравнений магнитной гидродинамики и случаи их полной интегрируемости				291
Список литературы				293

---

Дифференциальная геометрия и топология — это одна из самых молодых и в то же время одна из самых развитых областей современной математики. Возникшая на стыке нескольких научных направлений, среди которых следует в первую очередь выделить классический анализ, алгебру, геометрию, механику и теоретическую физику, эта новая отрасль математических знаний быстро разрослась в ветвистое дерево, плоды которого оказались чрезвычайно полезными не только для внутренних целей математики, но и для многочисленных приложений, некоторые из которых будут затронуты на страницах настоящей книги. Имея стольких «родителей», современная дифференциальная геометрия и топология, естественно, унаследовала многие их черты, но, являясь в то же время новым математическим организмом, она наделена яркой индивидуальностью, важнейшим качеством которой можно, по-видимому, назвать универсализм и синтетичность используемых методов и идей. Здесь переплетаются геометрические идеи и наглядность, алгебраический язык, функциональные и дифференциальные методы и т. д. Эта синтетичность в постановке и методах решения задач в какой-то мере перекликается с универсализмом естественных наук эпохи Возрождения, когда математика, механика и астрономия воспринимались как единая система знаний о законах окружающего мира. Не претендуя на такую широту, современная геометрия позволяет тем не менее решать многие прикладные задачи фундаментального значения.

Цель настоящей книги — дать краткое изложение некоторых геометрических и дифференциальных методов, широко используемых как в теоретических исследованиях, так и в многочисленных приложениях.

Имея в виду эту цель, мы начинаем книгу с описания важного класса математических объектов — так называемых клеточных комплексов, естественно возникающих во многих конкретных задачах, например при изучении поверхностей уровня гладких функций на многообразиях. В рамках круга вопросов, связанных с изучением комплексов, приходится часто решать задачу: «одинаковы» два комплекса или нет. Это приводит к необходимости нахождения инвариантов, одинаковых для гомотопически эквивалентных комплексов.

Одним из таких инвариантов являются группы гомологий и когомологий, использующиеся в гл. 2, 3.

В настоящей книге предпочтение отдается изложению практической стороны применения тех или иных методов, вопросы же их формального теоретического распространения на «максимально общий случай» (являющиеся часто технически довольно громоздкими) излагаются более сжато, и в некоторых таких ситуациях мы отсылаем читателя к более специальной литературе. Так, например, при изложении теории корней полупростых алгебр Ли мы демонстрируем все основные эффекты этой теории на модельном примере группы Ли невырожденных матриц с определителем, равным единице, и на примерах классических компактных матричных групп и алгебр Ли, не углубляясь в некоторые нетривиальные вопросы распространения всех доказательств на общий случай.

То обстоятельство, что рассматриваемые нами вопросы находятся на стыке нескольких математических дисциплин, обусловило и синтетичность архитектуры книги. В изложении материала переплетаются следующие темы: комплексы, гомологии, теория критических точек гладких функций на многообразиях, бордизмы, топология трехмерных многообразий, группы и алгебры Ли, теория корней полупростых алгебр Ли, симплектическая геометрия, гамильтоновы системы, проблемы интегрирования механических систем (например, уравнений движения многомерного твердого тела с неподвижной точкой).

Подбор и расположение материала соответствуют специальному курсу, читавшемуся автором для студентов механико-математического факультета Московского государственного университета (математиков и механиков), и сложившейся практике чтения обязательного курса дифференциальной геометрии и топологии для студентов-математиков. Настоящая книга является естественным продолжением книги Б. А. Дубровина, С. П. Новикова, А. Т. Фоменко «Современная геометрия» [1] и учебника А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко «Курс дифференциальной геометрии и топологии» [2], поэтому мы опираемся на некоторые факты, изложенные в этих книгах. Тем не менее практически все разделы настоящей книги могут читаться самостоятельно, без опоры на другую литературу.

Книга предназначена для студентов и аспирантов математиков и механиков, а также для специалистов смежных дисциплин, интересующихся приложениями современной геометрии.

---