|
Оглавление
 Введение 9 1 Элементы теории графов 16 Основные понятия теории графов 16 Эйлеровы графы 19 Гамильтоновы графы 23 Литература к главе 1 26 Упражнения к главе 1 26 2 Элементы топологии 29 2.1 Топологические пространства и непрерывные отображения 29 База окрестностей 30 Непрерывные отображения 32 Открытые множества и непрерывные отображения 33 Топология и топологические пространства .... 33 Индуцированная топология 35 Гомеоморфизм 36 Линейная связность 39 Компактность 42 Литература к главе 2 43 Упражнения к главе 2 44 3 Теорема Жордана 46 Теорема Жордана 46 Ломаные и теорема Жордана 49 Доказательство теоремы Жордана для ломаных 51 Реализация пункта (1) 53 Реализация пункта (2) 54 Реализация пункта (3) 55 Реализация пункта (4) 56 Литература к главе 3 58 Упражнения к главе 3 59 4 Приложения теоремы Жордана. Плоские графы 61 Геометрические графы 64 Плоские и планарные графы 66 Формула Эйлера для плоских графов 67 Планарные графы. Критерий Понтрягина-Куратовского 71 Литература к главе 4 73 Упражнения к главе 4 73 5 Многогранники 75 Многоугольники 75 Многогранные поверхности. Определение многогранников 77 Графы, связанные с многогранными поверхностями ... 81 Выпуклые многогранники 83 Формула Эйлера для многогранников 89 Правильные многогранники 89 Теорема о "еже" выпуклого многогранника 91 Литература к главе 5 93 Упражнения к главе 5 93 6 Элементы сферической геометрии 96 Сферические фигуры 96 Выпуклые сферические многоугольники 101 Эйлеровы многоугольники 105 Сферические треугольники 108 Расстояние на сфере 109 Окружности на сфере 109 Теоремы о сферических треугольниках 111 Литература к главе 6 117 Упражнения к главе 6 117 7 Жесткие и изгибаемые многогранники 119 Тригонометрическая лемма Коши 119 Многогранники с одинаковой структурой границы .... 124 Теорема Коши о жесткости выпуклых многогранников 125 7.4 Изгибаемые многогранники 129 Литература к главе 7 133 Упражнения к главе 7 134 8 Равновеликость и равносоставленность. Третья проблема Гильберта 135 Критерий равносоставленности многогранников 138 Примеры вычисления инвариантов Дена 139 Некоторые следствия из теоремы Дена 140 Доказательство теоремы Дена 142 Решение Третьей проблемы Гильберта 144 Дальнейшее развитие 146 Литература к главе 8 147 Упражнения к главе 8 147 9 Кратчайшие кривые и геодезические 149 9.1 Кратчайшие кривые 150 Евклидово пространство 150 Нормированное пространство 152 Манхеттенское пространство 153 Сфера 154 Многогранники 157 Интегральная формула длины пространственной кривой 160 Прямой круговой цилиндр 161 9.2 Геодезические 162 Литература к главе 9 164 Упражнения к главе 9 165 10 Минимальные сети 166 10.1 Кратчайшие деревья на евклидовой плоскости 167 Задача Ферма 167 Локальная структура кратчайших деревьев. Локально минимальные деревья 168 Алгоритм построения кратчайшего дерева на евклидовой плоскости 170 Алгоритм Мелзака 171 Формула Максвелла 174 Замкнутые локально минимальные сети на многогранниках 175 Литература к главе 10 178 Упражнения к главе 10 178 11 Инварианты плоских замкнутых кривых 181 Замкнутые гладкие и регулярные кривые на плоскости 182 11.1.1 Свойства периодических функций 184 Число вращения. Классификация замкнутых регулярных кривых 186 Число вращения и точки самопересечения 193 Число Уитни. Теорема Уитни 195 Литература к главе 11 196 Упражнения к главе 11 196 12 Двумерные поверхности 199 Край триангулируемой поверхности 202 Ориентация триангулируемых поверхностей 203 Гомеоморфизм поверхностей 206 Склейки из квадрата 206 Основные операции 207 Классификация ориентируемых поверхностей 208 Классификация неориентируемых поверхностей 214 Литература к главе 12 218 Упражнения к главе 12 218 13 Шарнирные механизмы 220 13.1 Простейшие шарнирные механизмы 221 Шарнирный механизм, реализующий параллельный перенос 221 Важное замечание. Антипараллелограмм 221 Укрепление параллелограмма и антипараллелограмма 222 Параллельный перенос и сложение векторов: транслятор Кемпе 224 Умножение углов на целые числа и деление углов на равные части: реверсор Кемпе 225 Сложения углов: сумматор Кемпе 226 13.2 Инверсия 227 Определение и основные свойства инверсии . . . . 227 Механизмы, реализующие инверсию 230 13.3 Теорема Кемпе 233 13.3.1 Рисуемые множества и теорема Кинга 233 13.3.2 Универсальная теорема Кемпе 235 13.4 Исторические комментарии 238 Паровая машина и параллелограмм Уатта .... 238 Лямбда-механизм и стопоходящая машина Чебышева 241 Инверсор Поселье 243 13.5 Формализация 244 Пример: ромб 247 Укрепление шарнирного механизма: общий подход 249 Пример: параллелограмм и антипараллелограмм 250 Как нарисовать решение уравнения? 251 Литература к главе 13 252 Упражнения к главе 13 253 14 Симметрии плоских кристаллов 254 Плоские кристаллы и их группы симметрии 254 Замощения 256 Группа движений прямой и ее дискретные подгруппы . . 264 Движения плоскости 268 Группы симметрии бордюров 272 Движения, содержащиеся в группе бордюра . . . 272 Классификация групп 276 Немного алгебры 278 Кристаллографические группы для плоскости 280 Параллельные переносы в кристаллографической группе 281 Повороты и отражения. 10 кристаллографических классов 284 Симметрии решеток. 13 арифметических классов .... 286 Решетки Браве, типы Браве и сингонии 289 Классификация федоровских групп 290 Когомологии кристаллографических классов 295 14.14Алгебраический аспект кристаллографии. Классификация в других размерностях 297 14.15 Квазикристаллы 300 Литература к главе 14 305 Упражнения к главе 14 305 15 Пространство Минковского 308 Псевдоевклидово скалярное произведение 308 Подпространства и ортогональные дополнения 310 Преобразования Лоренца 314 Собственное время. Инерциальные наблюдатели. Относительность одновременности, сокращение длин и замедление времени 317 Собственное время. Инерциальные наблюдатели. Неравенство Коши-Буняковского, неравенство треугольника и парадокс близнецов 320 Литература к главе 15 322 Упражнения к главе 15 322 16 Геометрия Лобачевского 323 Псевдосфера в пространстве Минковского 323 Касательная плоскость к псевдосфере и геометрия Лобачевского 324 Движения и прямые плоскости Лобачевского 325 Нарушение аксиомы параллельных 327 Расстояние на плоскости Лобачевского 328 Окружности на плоскости Лобачевского 329 Треугольники на плоскости Лобачевского 329 Стереографическая проекция псевдосферы. Метрика Лобачевского в модели Пуанкаре на единичном круге 332 Комплексные координаты и комплексная запись скалярного произведения 334 16.10Модель Пуанкаре в верхней полуплоскости 335 Углы в модели Пуанкаре 335 Прямые в модели Пуанкаре 336 Движения в модели Пуанкаре 338 Литература к главе 16 339 Упражнения к главе 16 339 Предметный указатель 342 Об авторах
Ошемков Андрей Александрович
Доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Специалист в области качественного исследования динамических систем, в симплектической и пуассоновой геометрии, в теории особенностей интегрируемых гамильтоновых систем.
Попеленский Федор Юрьевич
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Научные интересы относятся к алгебраической топологии, некоммутативной геометрии, гомологической алгебре.
 Тужилин Алексей Августинович Доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета МГУ. Заведует лабораторией Компьютерной геометрии в естественных и гуманитарных науках при кафедре дифференциальной геометрии и приложений. Является известным в нашей стране и за рубежом специалистом в области топологического вариационного исчисления, теории экстремальных сетей, в частности, разветвленных геодезических и проблемы Штейнера, теории графов, компьютерной геометрии. Автор более 180 научных публикаций, в том числе 6 монографий и 7 учебных пособий по математике. Удостоен Государственной стипендия для молодых ученых, гранта Президента РФ поддержки молодых докторов наук, премии имени И. И. Шувалова I степени. Участник многих отечественных и международных научных проектов, поддержанных РФФИ, РНФ и другими фондами. Один из создателей Практикума по компьютерной геометрии на механико-математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова.
 Фоменко Анатолий Тимофеевич Академик Российской академии наук (РАН), действительный член академий: МАН ВШ (Международной академии наук высшей школы), МАТН (Международной академии технологических наук). Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Решил известную проблему Плато в теории спектральных минимальных поверхностей, создал теорию инвариантов и тонкой классификации интегрируемых гамильтоновых динамических систем. Лауреат Государственной премии Российской Федерации 1996 г. (в области математики) за цикл работ по теории инвариантов многообразий и гамильтоновых динамических систем. Лауреат премии Отделения математики и Президиума АН СССР (1987), лауреат премии Московского математического общества (1974). Специалист в области геометрии и топологии, вариационного исчисления, теории минимальных поверхностей, симплектической топологии, гамильтоновой геометрии и механики, компьютерной геометрии. Автор более 300 научных работ, 40 математических монографий и учебников. Автор нескольких книг по разработке и применению новых эмпирико-статистических методов к анализу исторических летописей, хронологии Древности и Средневековья.
Шафаревич Андрей Игоревич Член-корреспондент РАН. Доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова; c 2019 г. — декан факультета. По совместительству работает в Московском физико-техническом институте. Член методического совета механико-математического факультета МГУ, ученого совета МФТИ, диссертационного совета МИЭМ ВШЭ. Руководит группой в Международной лаборатории имени Бернулли. Развил новые методы изучения вихревых решений уравнений гидродинамики, описания спектральных серий несамосопряженных операторов и операторов с сингулярными коэффициентами, исследования эволюционных уравнений на клеточных комплексах.
|