Обложка Собакин А.Н. Математические основы гуманитарных знаний
Id: 182060

Математические основы гуманитарных знаний

URSS. 2014. 280 с. ISBN 978-5-9710-0947-4.
Типографская бумага
  • Твердый переплет

Аннотация

В учебник включены следующие разделы математики: введение в теорию множеств и комбинаторику, действительные и комплексные числа, рекуррентные уравнения, математическая логика, элементы линейной алгебры и спектрального анализа, введение в теорию вероятностей и математическую статистику, введение в математический анализ.

Последний раздел учебника рассматривает систему символьной математики MATLAB, позволяющую лингвистам применять методы... (Подробнее)


Содержание
Содержание3
Введение7
Глава 1. Введение в теорию множеств10
1.1. Понятие множества. Элемент множества. Подмножества. Равенство двух множеств. Пустое множество. Универсальное множество. Диаграммы Венна. Действия над множествами и их свойства10
1.2. Соответствия между множествами. Эквивалентность множеств. Разбиение множества на классы и отношение эквивалентности элементов множества17
1.3. Произведение множеств. Кортежи23
1.4. Числовые множества. Комплексные числа24
Глава 2. Комбинаторика. Модель речеобразования36
2.1. Комбинаторика и ее задачи. Общие правила комбинаторики36
2.2. Размещения, перестановки и сочетания без повторений. Размещения, перестановки и сочетания с повторениями38
2.3. Комбинаторика разбиений. Рекуррентные соотношения42
2.4. Линейные рекуррентные уравнения с постоянными коэффициентами45
2.5. Модель речеобразования. Параметры звучащей речи50
Глава 3. Логика высказываний. Исчисление высказываний53
3.1. Определение высказывания. Функция истинности высказывания. Логические операции над высказываниями53
3.2. Высказывательная переменная. Правила образования высказывательных формул. Таблицы истинности для формул. Равносильность формул. Тавтология. Основные законы логики56
3.3. Построение формул по таблице истинности. Совершенные нормальные дизъюнктивные (СНДФ) и конъюнктивные (СНКФ) формы. Следствие из формул. Теорема дедукции. Принцип полной дизъюнкции62
3.4. Исчисление высказываний. Математический язык исчисления высказываний. Алфавит, аксиомы (исходный словарь) и правила вывода исчисления высказываний (синтаксис)69
Глава 4. Логика предикатов. Логика Аристотеля. Язык булевой алгебры. Системы счисления74
4.1. Логика предикатов. Предметные переменные. Предикаты одного переменного. Предикаты и логические операции над предикатами. Кванторные операции над предикатами. Формулы логики предикатов74
4.2. Логика Аристотеля81
4.3. Предикаты многих переменных. Исчисление предикатов87
4.4. Язык булевой алгебры. Системы счисления. Основные принципы организации вычислительных процедур94
Глава 5. Матрицы. Системы линейных уравнений99
5.1. Матрицы и действия над ними99
5.2. Определители матриц. Ранг матрицы102
5.3. Метод Крамера110
5.4. Исследование и решение систем линейных уравнений общего вида112
5.5. Однородные системы114
5.6. Метод решения системы линейных уравнений Жордана—Гаусса115
Глава 6. Векторы. Линейные пространства. Линейные операторы117
6.1. Векторы. Линейные пространства. Евклидовы пространства117
6.2. Векторы в пространстве и на плоскости124
6.3. Линейные преобразования векторного пространства132
6.4. Дискретное преобразование Фурье136
6.5. Исследование фонационной структуры речи методами линейной алгебры142
Глава 7. Элементы дифференциального исчисления148
7.1. Последовательности. Предел последовательности и его свойства. Основные теоремы о пределах последовательностей. Числовые ряды. Признаки сходимости149
7.2. Предел функции. Непрерывные функции155
7.3. Производная. Геометрический смысл производной. Дифференциал161
7.4. Функциональные ряды. Степенной ряд и ряд Тейлора170
7.5. Теория линейных дифференциальных уравнений173
Глава 8. Элементы интегрального исчисления178
8.1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства178
8.2. Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона—Лейбница180
8.3. Несобственные интегралы186
8.4. Интегралы и ряды. Тригонометрические ряды188
Глава 9. Функции многих переменных. Частные производные. Экстремумы192
9.1. Функции многих переменных. Частные производные и дифференциалы192
9.2. Экстремумы функций196
9.3. Адаптивные методы поиска экстремумов функций многих переменных199
9.4. Математические методы обратной фильтрации202
Глава 10. Теория вероятностей208
10.1. Исследование процессов со случайным исходом. Математическая модель эксперимента со случайным исходом. Условные вероятности и независимость событий208
10.2. Случайные величины. Законы распределения случайных величин. Основные числовые характеристики законов распределения. Плотность распределения. Квантили основных функций распределения213
Глава 11. Математическая статистика218
11.1. Методы статистического описания результатов наблюдений. Выборка. Вариационный и статистический ряды. Группированный статистический ряд. Гистограммы и полигоны частот218
11.2. Числовые характеристики выборочного распределения. Интервальные оценки. Доверительные интервалы для среднего и дисперсии221
11.3. Элементы регрессионного анализа224
11.4. Проверка статистических гипотез. Основные понятия. Проверка гипотез о равенстве дисперсий и среднего по двум выборкам. Проверка гипотезы о независимости двух случайных величин226
11.5. Непараметрические методы математической статистики232
11.6. Вопросы статистической стилистики241
Глава 12. Программирование в системе MATLAB245
12.1. Командное окно и рабочее пространство системы MATLAB245
12.2. Вещественные и комплексные числа. Операции над ними246
12.3. Создание массивов249
12.4. Операции над массивами251
12.5. Построение графиков функций255
12.6. Оформление графиков и графических окон256
12.7. Файловые операции259
12.8. Вычисления в системе MATLAB263
Заключение270
Библиография271

Введение
Бурное развитие науки и техники на рубеже веков в прикладных областях знаний, связанных с углубленным изучением коммуникативных свойств и особенностей речевого общения в самом широком смысле слова, вовлекает в научный процесс специалистов гуманитарных направлений.

В лингвистике как науке о языке и количественном описании языковых структур достаточно широко применяются современные математические методы. Языковые структуры представляют собой, как правило, текстовые или речевые конструкции различного иерархического уровня. В самом сложном варианте эти структуры связаны с распознавательными аспектами работы головного мозга, а также с воспроизводством языковых образцов в письменном и устном видах.

В научном плане оба эти аспекта функционирования головного мозга, воспроизведение и анализ текста и устной речи, затрагивают целый комплекс систем нервной деятельности человека: от периферии зрительных и слуховых каналов до высших его разделов, определяющих создание и определение смысла языковой коммуникации человека.

Лингвистика, изучающая оба аспекта речевой коммуникативной деятельности человека по тексту или устной речи, представляет собой иерархическую конструкцию, включающую в себя методы исследования целого спектра смежных научных дисциплин, таких как психология (психолингвистика), теория передачи речи по каналам связи, распознавание речи, идентификация и верификация диктора по голосу, медицинская диагностика, статистические методы обработки текста, извлечение смысла из текста, шифрация и дешифрация сообщений и т.п.

В указанных областях знаний, связанных в той или иной степени с коммуникативными особенностями языка, за последнее время достигнут значительный прогресс, базирующийся на все более успешном применении математических алгоритмов и методов анализа и синтеза языковых конструкций, представленных как в виде текста, так и в виде звучащей речи.

Все эти научные направления используют достаточно широко разработанные в них прикладные математические методы моделирования, анализа и синтеза названных процессов.

Перечислим основные математические методы, применяемые на современном этапе в лингвистике, в частности в исследованиях текста и звучащей речи:

элементы математической логики (алгебра высказываний, исчисление высказываний, логика предикатов, исчисление предикатов, логические модели языковых структур и т.п.);

элементы математической статистики (гистограммы, методы точечного и интервального оценивания, проверка статистических гипотез параметрическими и непараметрическими методами, корреляционный и регрессионный анализ и т.п.); спектральный анализ волновых процессов (преобразование Фурье, амплитудный и фазовый спектры, линейное прогнозирование, коэффициенты частных корреляций и т.п.);

адаптивные методы анализа динамических систем (например, при описании работы артикуляционного аппарата в процессе речеобразования);

математические методы линейной алгебры (матрицы и действия над ними, элементы теории векторных (линейных) пространств и т.п.);

элементы теории множеств (множества и действия над ними, иерархическая конструкция множеств различной мощности, нечеткие множества и т.п.);

методы комбинаторного анализа.

Эти разделы составляют основу математических разделов учебника.

Несмотря на широкий спектр используемых математических методов, в лингвистике существует целый ряд проблем, которые требуют для своего решения разработки новых математических методов анализа, новых моделей и алгоритмов обработки звучащей речи и текстовых структур.

Все вышесказанное предъявляет необходимые весьма высокие требования к математической подготовке студентов, специализирующихся в гуманитарных областях знаний, и в частности в лингвистике. О необходимости изучения математических дисциплин достаточно определенно высказался в свое время английский философ Р. Бэкон (Roger Bacon, ок. 1214–1294): «Кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества» .

Одна из задач современного этапа преподавания математических дисциплин на гуманитарных факультетах университетов страны состоит во включении указанных разделов математики в процесс обучения студентов. Помимо этого, для активного освоения полученных знаний студентам и лингвистам необходимо осваивать современные методы программирования на основе систем символьной математики.

Основная цель учебника состоит в следующем:

1)ознакомить студентов и лингвистов с базовыми понятиями математики, которые имеют прикладное значение в изучении языковых элементов коммуникативного общения человека;

2)изложить основные алгоритмы и методы, применяемые в данном разделе знаний для анализа и синтеза речи текстов;

3)научить активно применять эти методы математических разделов в своих прикладных научных и практических исследованиях на основе систем символьной математики.

Учебник состоит из введения, двенадцати глав, заключения, библиографии и приложения.

Отметим основные разделы учебника:

I.Теория множеств, числовые множества, комбинаторика, теория линейных рекуррентных уравнений и модель речеобразования.

II.Элементы математической логики, исследование текста.

III.Введение в линейную алгебру, дискретное преобразование Фурье, фонационный и спектральный анализ речи.

IV.Основы математического анализа, исследование речевых колебаний.

V.Введение в теорию вероятностей и математическую статистику; применение методов математической статистики в лингвистике.

VI.Основы программирования в системе символьной математики MATLAB.

Настоящий учебник создан на основе курса «Математические основы гуманитарных знаний», читаемого автором студентам отделения прикладной лингвистики МГЛУ более двадцати лет. Примеры учебника разрабатывались автором самостоятельно или взяты без изменений из следующих сборников задач и книг [2, 3, 6, 18, 23]. Автор старался учесть при этом современные требования к подготовке студентов гуманитарных вузов страны, что могло бы способствовать повышению уровня гуманитарного образования в России.

Автор выражает глубокую признательность доктору филологических наук, профессору Р.К. Потаповой за ценные советы и замечания, способствовавшие более полному освещению в учебнике лингвистических проблем и задач.


Об авторе
Собакин Аркадий Николаевич
Математик, доктор филологических наук, кандидат технических наук, профессор кафедры прикладной и экспериментальной лингвистики Московского государственного лингвистического университета. Основной научный труд — монография «Акустические параметры речи и математические методы их исследования».