Петрина Д.Я. Математические основы квантовой статистической механики:
Непрерывные системы. Изд. 2

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ

По содержанию обе книги очень близки, они посвящены изуче­нию .состояний бесконечных систем, которые в квантовом случае опи­сываются бесконечными последователыюсгями статистических опе­раторов (редуцированных матриц плотности) или функций Грина, а в классическом случае – бесконечной последовательностью функций распределения. Главным предметом исследований являются уравне­ния для состояний и построение их решений. Решения строятся ме­тодом термодинамического предела, когда сначала определяется ре­шение системы с конечным числом частиц, размещенных в конечной области, потом число частиц бесконечно возрастает, область запол­няет все пространство, а плотность частиц остается постоянной.

Способ изложения во второй книге отличается от первой. В пер­вой книге использовано обычное для классической математической физики изложение материала в виде лемм и теорем и их доказа­тельств Естественно, что такой способ изложения возможен только в том случае, когда затронутые вопросы исследованы математ ически строго и полностью. Так было в первой книге, посвященной класси­ческой статистической механике. Рассмотренные в ней проблемы исследованы настолько строго и полно, что их можно было излагать, формулируя леммы и теоремы и приводя их доказательства. Конеч­но, и в классической статистической механике имеется множество нерешенных проблем, достаточно упомянуть теорию фазовых пере­ходов, вывод кинетических уравнений, вывод уравнений переноса и т. д. Но мы не касались лих проблем и таким образом избежали изложения вопросов, еще недостаточно изученных математически.

Несколько иная ситуация в квантовой статистической механике, по крайней мере в тех ее разделах, которых мы касаемся в книге. С точки зрения строгой математики излагаемый материал представляет собой мозаичную картину, где одни разделы исследованы математи­чески строю, другие – на физическом уровне строгости. Это обсто­ятельство было одной из причин поиска друго! о способа изложения, в основном, без употребления лемм и теорем. Другим обстоятельст­вом было внутреннее побуждение автора вести изложение в более доверительной, интимной атмосфере с читателем. Не ошарашивать его утверждениями и сухим доказательством, не мотивируя поста­новку и способ решения проблемы, а общаться с ним на равных и по­пытаться подвести его как к постановке задачи, так и к ее решению. О желательности такого способа изложения в книгах по современной математической физике неоднократно высказывались в приватных беседах с автором физикитеоретики. Моральной поддержкой автору в окончательном выборе такого способа изложения без формулиров­ки лемм и теорем служили книги Л. Д. Фаддеева и сотрудников (Л. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддев, „Гамильтонов подход в теории солитонов", М., Наука, 1986, 524 с; С. П. Меркурьев, Л. Д Фаддеев, „Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц, М., Наука, 1985, 396 с), а также книга С. П. Новикова и др. (В. Е. Заха­ров, С. В Маиаков, С. П. Новиков, Л. П. Питаевский, ..Теория солитонов. Метод обратной задачи", под ред.С. П. Новикова, М., Наука, 1980).

С другой стороны, используемые в книге математические методы не всегда доступны физикам-теоретикам и математическим физикам, поэтому мы сочли целесообразным изложить более поп но эти методы в математических дополнениях к главам, где использован обычный язык лемм и теорем.

Естественно, что отбор материала связан с симпатиями и инте­ресами автора, точнее, с тем, что он знает, и не следует его упрекать, что в книге отсутствует тот или другой раздел квантовой статисти­ческой механики. В целом книга представляет собой картину, в ко­торой сделана попытка нарисовать пейзаж квантовой статистической механики, но отдельные места выписаны тщательно (математически строго), другие – как бы схвачены в развитии и только оконтурены.

После этих общих замечаний изложим содержание книги по главам.

В первой главе, имеющей вводный характер, приведены общие сведения из квантовой механики: уравнения Шредингера и Пейзенберга, уравнения для матрицы плотности, метод вторичного квантования и представления канонических коммутационных и антикоммутацион­ных соотношений в пространствах Фока. В математическом прило­жении изложены основы теории самосопряженного расширения сим­метрических операторов, приведен признак Като существенной самосопряженности оператора Шредингера.

Во второй главе вводится понятие состояния конечных систем как последовательности статистических операторов или редуциро­ванных матриц плотности. Выведено уравнение Боголюбова, которо­му удовлетворяет состояние, и построены его решения в банаховом пространстве последовательностей ядерных операторов. Найдена сильно непрерывная группа ограниченных операторов, инфинитезимальный оператор которой совпадает с оператором, определяющим правую часть уравнений Боголюбова. Это дает возможность рассмат­ривать уравнения Боголюбова как абстрактные эволюционные урав­нения с оператором в правой части, совпадающим с инфинитезимальным оператором группы. Отсюда следует существование решения и его единственность. Решения, принадлежащие банаховому простран­ству последовательностей ядерных операторов, описывают состояния конечных систем Чтобы описать состояния бесконечных систем, следует выйти за рамки последовательностей ядерных операторов, однако эту проблему удалось пока решить только для равновесных состояний. Вводится понятие равновесного состояния через опреде­ленное стационарное решение уравнения Боголюбова – распределе­ние Гиббса. В математическом приложении приведены сведения об ядерных операторах Обоснована формула Троттера и определение континуальных интегралов Фейнмана и Винера.

В третьей главе дано обоснование термодинамического предель­ною перехода для равновесного состояния С этой целью последова­тельность равновесных статистических операторов для конечных систем представлена интегралами Винера От определенных функцио­налов на траекториях. Показано» что последовательность этих функционалов удовлетворяет бесконечной системе линейных интеграль­ных уравнений Кирквуда-Зальцбурга и обладает единственным реше­нием в банаховом пространстве последовательностей ограниченных функционалов при низких плотностях и соответствующих ограниче­ниях на потенциал. При этих условиях доказано существование тер­модинамического предела для решений уравнений Кирквуда - Зальц­бурга. Все эти результаты получены как для статистики Больцмана, так и для статистик Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака. Установле­на справедливость принципа ослабления корреляций. Показано су­ществование статистических операторов для произвольных термоди­намических параметров, но в этом случае нет, вообще говоря, единст­венности. В приложении приведены необходимые сведения об интег­рале Винера.

В четвертой главе изложена микроскопическая теория сверхпро­водимости и сверхтекучести. Вначале, следуя Боголюбову, изложена теория сверхпроводимости, основанная на гамильтониане Фрелиха, описывающем взаимодействие электронов с фононамн Сущность метода Боголюбова состоит в применении теории возмущении для вычисления собственного значения гамильтониана для основного состояния, которое ищется в виде состояния неопределенного числа пар электронов с противоположными импульсами и спинами. Неоп­ределенные параметры, фигурирующие в определении основного сос­тояния, находятся из принципа компенсации опасных диаграмм. По теории возмущений находятся также собственные значения гамиль­тониана, соответствующие возбужденным состояниям. Выведено уравнение для щели и показано, что собственные значения основного и возбужденных состояний разделены щелью Теория Боголюбова не имеет пока строгого математического обоснования ввиду чрезвычай­ной сложности проблемы, связанной с неограниченностью гамильто­ниана. Отсутствует также строгая постановка задачи Отдельным параграфом изложена теория сверхпроводимости Бардина- Купера-Шрнффера (БКШ), основанная на модельном редуцированном гами­льтониане, учитывающем только взаимодействие электронов с проти­воположными импульсами и спинами. Строгое исследование этой модели проведено в пятой и шестой главах.

Изложена микроскопическая теория сверхтекучести, основанная на модельном гамильтониане Боголюбова Вычислен спектр элемен­тарных возбуждений. На основе работ Льюиса, Пуле и других'приве­дена строгая теория конденсации для свободного бозе-газа. Матема­тическое обоснование теории Боголюбова проведено в пятой и шес­той главах.

В приложении приведено доказательство существования реше­ния нелинейного интегрального уравнения для щели и обсуждается эквивалентность в термодинамическом пределе канонического и большою канонического ансамблей.

В пятой главе выведены уравнения для обычных и температур­ных функций Грина. Показано, что температурные функции Грина существуют в термодинамическом пределе. На основании этою, сле­дуя, в основном, работам Рюэлля, доказано существование в термоди­намическом пределе обычных функций Грина.

Исследованы уравнения для функций Грина модели сверхпрово­димости и показано, что система с модельным гамильтонианом тер­модинамически эквивалентна модели с аппроксимирующим гамиль­тонианом. Рассмотрена также система с общим гамильтонианом для бозе-частиц с парным потенциалом и показано, что она термодинами­чески эквивалентна системе, в гамильтониане которой операторы рождения и уничтожения с нулевым импульсом заменены С-числами.

В шестой главе исследуются точно решаемые модели квантовой статистической механики: модель БКШ, модель сверхтекучести Бо­голюбова, модель Хуанга - Янга - Литтинжера (ХЯЛ) и модель Пайерлса - Фрелиха (ПФ). Показано, что все эти модели точно решаемы, ибо они термодинамически эквивалентны моделям с аппроксимирую­щими гамильтонианами, которые можно привести к диагональному виду. Гамильтонианам и уравнениям для функций Грина придан смысл в функциональных пространствах трансляционно-иивариаитных функций. Исследован также и общий гамильтониан с парным взаимодействием в гильбертовом пространстве трансляциоино-инвариантных функций. Общий гамильтониан в нем не симметричен, но его спектр действительный и состоит из Объединения спектров гамильтонианов кластеров. Показано, что модельные гамильтонианы теории сверхпроводимости и сверхтекучести в определенном смысле совпадают с общими гамильтонианами в подпространстве пар и под­пространстве пар с конденсатом соответственно. Из этого следует, что спектры общих и модельных гамильтонианов совпадают в этих подпространствах.

В математическом приложении построены представления комму­тационных соотношений для свободного бозе-газа и модели ХЯЛ, а также представления антикоммутационных соотношений для модели БКШ.

Об авторе

Известный физик, академик Национальной академии наук Украины. Родился недалеко от Львова, в крестьянской семье. В 1956 г. закончил механико-математический факультет Львовского государственного университета. Учился в аспирантуре Института математики АН УССР (завершил в 1959 г.), где и работал до 1966 г.; затем перешел в Институт теоретической физики АН УССР. В 1978 г. возглавил созданный им отдел статистической механики, а в 1986 г. из-за перевода отдела из Института теоретической физики в Институт математики стал заведующим научным отделом математических методов в статистической механике Института математики АН УССР. В 1961 г. защитил кандидатскую, а в 1969 г. - докторскую диссертацию. С 1981 г. - профессор кафедры теоретической физики Киевского университета им. Т. Г. Шевченко. В 1988 г. был избран членом-корреспондентом АН УССР, а в 2006 г. - действительным членом НАН Украины.

В область научных интересов Д. Я. Петрины входили квантовая теория поля, классическая и квантовая статистическая механика и теория граничных задач в областях со сложной структурой. Им были получены выдающиеся результаты, в числе которых теорема Боголюбова-Петрины-Хацета о существовании термодинамического предела равновесных состояний статистических систем, классическая теорема Петрины о невозможности существования нелокальной квантовой теории поля с положительным спектром энергии импульса. Он построил теорию цепей уравнений Боголюбова бесконечных динамических систем и впервые доказал существование термодинамического предела для неравновесных состояний; решил фундаментальную проблему обоснования вывода кинетического уравнения Больцмана. Лауреат Государственной премии Украины в области науки и техники за 2001 г.; подготовил 15 кандидатов и 7 докторов наук. Автор более 170 научных работ, в том числе 9 монографий.