|
СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ
По содержанию обе книги очень близки, они посвящены изучению .состояний бесконечных систем, которые в квантовом случае описываются бесконечными последователыюсгями статистических операторов (редуцированных матриц плотности) или функций Грина, а в классическом случае – бесконечной последовательностью функций распределения. Главным предметом исследований являются уравнения для состояний и построение их решений. Решения строятся методом термодинамического предела, когда сначала определяется решение системы с конечным числом частиц, размещенных в конечной области, потом число частиц бесконечно возрастает, область заполняет все пространство, а плотность частиц остается постоянной. Способ изложения во второй книге отличается от первой. В первой книге использовано обычное для классической математической физики изложение материала в виде лемм и теорем и их доказательств Естественно, что такой способ изложения возможен только в том случае, когда затронутые вопросы исследованы математ ически строго и полностью. Так было в первой книге, посвященной классической статистической механике. Рассмотренные в ней проблемы исследованы настолько строго и полно, что их можно было излагать, формулируя леммы и теоремы и приводя их доказательства. Конечно, и в классической статистической механике имеется множество нерешенных проблем, достаточно упомянуть теорию фазовых переходов, вывод кинетических уравнений, вывод уравнений переноса и т. д. Но мы не касались лих проблем и таким образом избежали изложения вопросов, еще недостаточно изученных математически. Несколько иная ситуация в квантовой статистической механике, по крайней мере в тех ее разделах, которых мы касаемся в книге. С точки зрения строгой математики излагаемый материал представляет собой мозаичную картину, где одни разделы исследованы математически строю, другие – на физическом уровне строгости. Это обстоятельство было одной из причин поиска друго! о способа изложения, в основном, без употребления лемм и теорем. Другим обстоятельством было внутреннее побуждение автора вести изложение в более доверительной, интимной атмосфере с читателем. Не ошарашивать его утверждениями и сухим доказательством, не мотивируя постановку и способ решения проблемы, а общаться с ним на равных и попытаться подвести его как к постановке задачи, так и к ее решению. О желательности такого способа изложения в книгах по современной математической физике неоднократно высказывались в приватных беседах с автором физикитеоретики. Моральной поддержкой автору в окончательном выборе такого способа изложения без формулировки лемм и теорем служили книги Л. Д. Фаддеева и сотрудников (Л. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддев, „Гамильтонов подход в теории солитонов", М., Наука, 1986, 524 с; С. П. Меркурьев, Л. Д Фаддеев, „Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц, М., Наука, 1985, 396 с), а также книга С. П. Новикова и др. (В. Е. Захаров, С. В Маиаков, С. П. Новиков, Л. П. Питаевский, ..Теория солитонов. Метод обратной задачи", под ред.С. П. Новикова, М., Наука, 1980). С другой стороны, используемые в книге математические методы не всегда доступны физикам-теоретикам и математическим физикам, поэтому мы сочли целесообразным изложить более поп но эти методы в математических дополнениях к главам, где использован обычный язык лемм и теорем. Естественно, что отбор материала связан с симпатиями и интересами автора, точнее, с тем, что он знает, и не следует его упрекать, что в книге отсутствует тот или другой раздел квантовой статистической механики. В целом книга представляет собой картину, в которой сделана попытка нарисовать пейзаж квантовой статистической механики, но отдельные места выписаны тщательно (математически строго), другие – как бы схвачены в развитии и только оконтурены. После этих общих замечаний изложим содержание книги по главам. В первой главе, имеющей вводный характер, приведены общие сведения из квантовой механики: уравнения Шредингера и Пейзенберга, уравнения для матрицы плотности, метод вторичного квантования и представления канонических коммутационных и антикоммутационных соотношений в пространствах Фока. В математическом приложении изложены основы теории самосопряженного расширения симметрических операторов, приведен признак Като существенной самосопряженности оператора Шредингера. Во второй главе вводится понятие состояния конечных систем как последовательности статистических операторов или редуцированных матриц плотности. Выведено уравнение Боголюбова, которому удовлетворяет состояние, и построены его решения в банаховом пространстве последовательностей ядерных операторов. Найдена сильно непрерывная группа ограниченных операторов, инфинитезимальный оператор которой совпадает с оператором, определяющим правую часть уравнений Боголюбова. Это дает возможность рассматривать уравнения Боголюбова как абстрактные эволюционные уравнения с оператором в правой части, совпадающим с инфинитезимальным оператором группы. Отсюда следует существование решения и его единственность. Решения, принадлежащие банаховому пространству последовательностей ядерных операторов, описывают состояния конечных систем Чтобы описать состояния бесконечных систем, следует выйти за рамки последовательностей ядерных операторов, однако эту проблему удалось пока решить только для равновесных состояний. Вводится понятие равновесного состояния через определенное стационарное решение уравнения Боголюбова – распределение Гиббса. В математическом приложении приведены сведения об ядерных операторах Обоснована формула Троттера и определение континуальных интегралов Фейнмана и Винера. В третьей главе дано обоснование термодинамического предельною перехода для равновесного состояния С этой целью последовательность равновесных статистических операторов для конечных систем представлена интегралами Винера От определенных функционалов на траекториях. Показано» что последовательность этих функционалов удовлетворяет бесконечной системе линейных интегральных уравнений Кирквуда-Зальцбурга и обладает единственным решением в банаховом пространстве последовательностей ограниченных функционалов при низких плотностях и соответствующих ограничениях на потенциал. При этих условиях доказано существование термодинамического предела для решений уравнений Кирквуда - Зальцбурга. Все эти результаты получены как для статистики Больцмана, так и для статистик Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака. Установлена справедливость принципа ослабления корреляций. Показано существование статистических операторов для произвольных термодинамических параметров, но в этом случае нет, вообще говоря, единственности. В приложении приведены необходимые сведения об интеграле Винера. В четвертой главе изложена микроскопическая теория сверхпроводимости и сверхтекучести. Вначале, следуя Боголюбову, изложена теория сверхпроводимости, основанная на гамильтониане Фрелиха, описывающем взаимодействие электронов с фононамн Сущность метода Боголюбова состоит в применении теории возмущении для вычисления собственного значения гамильтониана для основного состояния, которое ищется в виде состояния неопределенного числа пар электронов с противоположными импульсами и спинами. Неопределенные параметры, фигурирующие в определении основного состояния, находятся из принципа компенсации опасных диаграмм. По теории возмущений находятся также собственные значения гамильтониана, соответствующие возбужденным состояниям. Выведено уравнение для щели и показано, что собственные значения основного и возбужденных состояний разделены щелью Теория Боголюбова не имеет пока строгого математического обоснования ввиду чрезвычайной сложности проблемы, связанной с неограниченностью гамильтониана. Отсутствует также строгая постановка задачи Отдельным параграфом изложена теория сверхпроводимости Бардина- Купера-Шрнффера (БКШ), основанная на модельном редуцированном гамильтониане, учитывающем только взаимодействие электронов с противоположными импульсами и спинами. Строгое исследование этой модели проведено в пятой и шестой главах. Изложена микроскопическая теория сверхтекучести, основанная на модельном гамильтониане Боголюбова Вычислен спектр элементарных возбуждений. На основе работ Льюиса, Пуле и других'приведена строгая теория конденсации для свободного бозе-газа. Математическое обоснование теории Боголюбова проведено в пятой и шестой главах. В приложении приведено доказательство существования решения нелинейного интегрального уравнения для щели и обсуждается эквивалентность в термодинамическом пределе канонического и большою канонического ансамблей. В пятой главе выведены уравнения для обычных и температурных функций Грина. Показано, что температурные функции Грина существуют в термодинамическом пределе. На основании этою, следуя, в основном, работам Рюэлля, доказано существование в термодинамическом пределе обычных функций Грина. Исследованы уравнения для функций Грина модели сверхпроводимости и показано, что система с модельным гамильтонианом термодинамически эквивалентна модели с аппроксимирующим гамильтонианом. Рассмотрена также система с общим гамильтонианом для бозе-частиц с парным потенциалом и показано, что она термодинамически эквивалентна системе, в гамильтониане которой операторы рождения и уничтожения с нулевым импульсом заменены С-числами. В шестой главе исследуются точно решаемые модели квантовой статистической механики: модель БКШ, модель сверхтекучести Боголюбова, модель Хуанга - Янга - Литтинжера (ХЯЛ) и модель Пайерлса - Фрелиха (ПФ). Показано, что все эти модели точно решаемы, ибо они термодинамически эквивалентны моделям с аппроксимирующими гамильтонианами, которые можно привести к диагональному виду. Гамильтонианам и уравнениям для функций Грина придан смысл в функциональных пространствах трансляционно-иивариаитных функций. Исследован также и общий гамильтониан с парным взаимодействием в гильбертовом пространстве трансляциоино-инвариантных функций. Общий гамильтониан в нем не симметричен, но его спектр действительный и состоит из Объединения спектров гамильтонианов кластеров. Показано, что модельные гамильтонианы теории сверхпроводимости и сверхтекучести в определенном смысле совпадают с общими гамильтонианами в подпространстве пар и подпространстве пар с конденсатом соответственно. Из этого следует, что спектры общих и модельных гамильтонианов совпадают в этих подпространствах. В математическом приложении построены представления коммутационных соотношений для свободного бозе-газа и модели ХЯЛ, а также представления антикоммутационных соотношений для модели БКШ. Об авторе
Известный физик, академик Национальной академии наук Украины. Родился недалеко от Львова, в крестьянской семье. В 1956 г. закончил механико-математический факультет Львовского государственного университета. Учился в аспирантуре Института математики АН УССР (завершил в 1959 г.), где и работал до 1966 г.; затем перешел в Институт теоретической физики АН УССР. В 1978 г. возглавил созданный им отдел статистической механики, а в 1986 г. из-за перевода отдела из Института теоретической физики в Институт математики стал заведующим научным отделом математических методов в статистической механике Института математики АН УССР. В 1961 г. защитил кандидатскую, а в 1969 г. - докторскую диссертацию. С 1981 г. - профессор кафедры теоретической физики Киевского университета им. Т. Г. Шевченко. В 1988 г. был избран членом-корреспондентом АН УССР, а в 2006 г. - действительным членом НАН Украины. В область научных интересов Д. Я. Петрины входили квантовая теория поля, классическая и квантовая статистическая механика и теория граничных задач в областях со сложной структурой. Им были получены выдающиеся результаты, в числе которых теорема Боголюбова-Петрины-Хацета о существовании термодинамического предела равновесных состояний статистических систем, классическая теорема Петрины о невозможности существования нелокальной квантовой теории поля с положительным спектром энергии импульса. Он построил теорию цепей уравнений Боголюбова бесконечных динамических систем и впервые доказал существование термодинамического предела для неравновесных состояний; решил фундаментальную проблему обоснования вывода кинетического уравнения Больцмана. Лауреат Государственной премии Украины в области науки и техники за 2001 г.; подготовил 15 кандидатов и 7 докторов наук. Автор более 170 научных работ, в том числе 9 монографий. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||