|
Оглавление
Предисловие
Геодезические потоки римановых метрик на поверхностях – это классический объект геометрии. Особое место среди них занимают интегрируемые геодезические потоки. Здесь мы рассматриваем их в контексте общей теории интегрируемых гамильтоновых систем, используя развитые в последние годы новые методы их качественного анализа. Такой подход, на наш взгляд, оказывается чрезвычайно полезен для более глубокого понимания топологии и геометрии интегрируемых геодезических потоков. По существу книга представляет собой обзор, в котором главным объектом изучения является класс интегрируемых геодезических потоков римановых метрик на двумерных поверхностях. Таких потоков довольно много на поверхностях малого рода, в частности, на сфере и на торе. Напротив, на поверхностях рода $>1$, таких потоков нет вообще при разумных ограничениях на характер первого интеграла. Одной из основных наших целей будет классификация интегрируемых геодезических потоков с точностью до эквивалентностей различных типов. Основными из них являются следующие: 1) изометрия, 2) лиувиллева эквивалентность, 3) траекторная эквивалентность (гладкая и непрерывная), 4) геодезическая эквивалентность. В книге мы постарались систематически изложить как классическую, так и современную "технологию", позволяющую решать задачу классификации. Первая часть книги (главы 1–5) посвящена общим методам и результатам качественной теории интегрируемых гамильтоновых систем и их инвариантов. С точки зрения этой теории одной из основных характеристик интегрируемой системы служит так называемое слоение Лиувилля, т.е. разбиение фазового пространства на торы Лиувилля и на особые интегральные поверхности. В качестве простейшего примера, облегчающего дальнейшее понимание, в главе 2 мы рассматриваем одномерные слоения Лиувилля, порожденные функциями Морса на двумерных поверхностях. Здесь мы вводим понятия атома и молекулы, описывающие, соответственно, перестройки линий уровня функции и глобальную структуру возникающего слоения с особенностями. Обобщения этих понятий на случай двух степеней свободы используются затем как один из основных инструментов качественного анализа интегрируемых систем. В главах 3, 4, 5 строится теория траекторной и лиувиллевой классификации интегрируемых невырожденных (боттовских) гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Вводятся топологические траекторные инварианты таких систем. Во многих случаях эти инварианты удается эффективно вычислять, что позволяет, например, сравнивать между собой различные системы и обнаруживать новые, ранее неизвестные изоморфизмы между классическими интегрируемыми системами, хорошо известными в физике и геометрии. В качестве одного из примеров использования теории инвариантов в главе 10 доказывается траекторная топологическая эквивалентность известной задачи Эйлера и задачи Якоби. Однако, центральной темой настоящей работы является исследование интегрируемых геодезических потоков римановых метрик на поверхностях. Этому посвящены главы 6–8. В частности, дается полная метрическая и лиувиллева классификация линейно и квадратично интегрируемых геодезических потоков на всех двумерных поверхностях. Обсуждаются их локальные и глобальные свойства, а также топологические препятствия к интегрируемости. В главе 9 излагается принцип Мопертюи, его современные обобщения и приложения к задаче построения интегрируемых геодезических потоков на базе интегрируемых натуральных систем. С использованием этого принципа строятся новые примеры геодезических потоков на сфере, интегрируемых при помощи интегралов степени три и четыре, причем степени этих интегралов оказываются непонижаемыми. Дается современная интерпретация теоремы Дини о геодезически эквивалентных метриках на двумерных поверхностях, и доказывается обобщенный принцип Мопертюи–Дини, объединяющий в естественном смысле эти два классических результата и позволяющий обнаруживать новые примеры изоморфизмов. Отметим, что в работе рассматриваются в основном геодезические потоки на двумерных многообразиях. Многомерный случай мы здесь систематически не изучаем, хотя многие из перечисляемых результатов имеют естественные многомерные обобщения. В то же время в многомерном случае общая классификационная теория пока далека от завершения. С темой нашего обзора естественно связаны и другие вопросы, например, теория интегрируемых биллиардов, или интегрируемые геодезические потоки метрик Карно–Каратеодори. Мы не затрагиваем здесь этих тем, отсылая интересующихся читателей например к,,. Мы сочли уместным привести в работе доказательства многих фактов о геодезических потоках ввиду отсутствия их систематического изложения в современной литературе. Кроме того, книга содержит много новых результатов, которые ранее вообще нигде не публиковались. Мы постарались упорядочить то, что нам известно по этой тематике. В процессе работы над книгой нам удалось уточнить многие доказательства и даже формулировки некоторых теорем. Этому способствовали многочисленные беседы с коллегами, в числе которых были И. К. Бабенко, А. В. Борисов, Х. Дуллин, В. В. Козлов, В. С. Матвеев, Н. Н. Нехорошев, А. А. Ошемков, П. Рихтер, Е. Н. Селиванова, А. М. Степин, И. А. Тайманов, П. Й. Топалов, Ю. Н. Федоров. Работа над книгой была поддержана грантом поддержки ведущих научных школ 96–15–96142, грантом Президента РФ 96–15–96868 и грантом РФФИ 95–01–01604. А. В. Болсинов, А. Т. Фоменко Об авторе
 Фоменко Анатолий Тимофеевич Академик РАН, действительный член академий: МАН ВШ (Международной академии наук высшей школы), МАТН (Международной академии технологических наук). Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Решил известную проблему Плато в теории спектральных минимальных поверхностей, создал теорию инвариантов и тонкой классификации интегрируемых гамильтоновых динамических систем. Лауреат Государственной премии Российской Федерации 1996 г. (в области математики) за цикл работ по теории инвариантов многообразий и гамильтоновых динамических систем. Лауреат премии Отделения математики и Президиума АН СССР (1987), лауреат премии Московского математического общества (1974). Специалист в области геометрии и топологии, вариационного исчисления, теории минимальных поверхностей, симплектической топологии, гамильтоновой геометрии и механики, компьютерной геометрии. Автор более 300 научных работ, 40 математических монографий и учебников. Автор нескольких книг по разработке и применению новых эмпирико-статистических методов к анализу исторических летописей, хронологии Древности и Средневековья.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||