| Предисловие |
| Обозначения |
| Глава I. | Целые функции конечного порядка |
| | § 1. | Бесконечные произведения. Формула Вейерштрасса |
| | § 2. | Целые функции конечного порядка |
| Глава II. | Гамма-функция Эйлера |
| | § 1. | Определение и простейшие свойства |
| | § 2. | Функциональное уравнение гамма-функции |
| | § 3. | Формула дополнения и интегральная формула |
| | § 4. | Формула Стирлинга |
| | § 5. | Интегралы Эйлера и Дирихле |
| Глава III. | Дзета-функция Римана |
| | § 1. | Определение и простейшие свойства |
| | § 2. | Функциональное уравнение дзета-функции |
| | § 3. | Нетривиальные нули; разложение логарифмической производной в ряд по нулям |
| | § 4. | Простейшие теоремы о нулях |
| | § 5. | Приближение конечной суммой |
| | Задачи |
| Глава IV. | Связь между суммой коэффициентов ряда Дирихле и функцией, задаваемой этим рядом |
| | § 1. | Общая теорема |
| | § 2. | Асимптотический закон распределения простых чисел |
| | § 3. | Представление функции Чебышева в виде суммы по нулям дзета-функции |
| | Задачи |
| Глава V. | Метод И.М.Виноградова в теории дзета-функции |
| | § 1. | Теорема о среднем значении модуля тригонометрической суммы |
| | § 2. | Оценка дзетовой суммы |
| | § 3. | Оценка дзета-функции вблизи единичной прямой |
| | Задачи |
| Глава VI. | Современная граница нулей дзета-функции |
| | § 1. | Теоретико-функциональная теорема |
| | § 2. | Новая граница нулей дзета-функции |
| | § 3. | Новый остаточный член в асимптотической формуле распределения простых чисел |
| | Задачи |
| Глава VII. | Плотность нулей дзета-функции и проблема распределения простых чисел в интервалах малой длины |
| | § 1. | Простейшая плотностная теорема |
| | § 2. | Простые числа в интервалах малой длины |
| | Задачи |
| Глава VIII. | L-ряды Дирихле |
| | § 1. | Характеры и их свойства |
| | § 2. | Определение L-рядов и их простейшие свойства |
| | § 3. | Функциональное уравнение |
| | § 4. | Нетривиальные нули; разложение логарифмической производной в ряд по нулям |
| | § 5. | Простейшие теоремы о нулях |
| | Задачи |
| Глава IX. | Простые числа в арифметических прогрессиях |
| | § 1. | Явная формула |
| | § 2. | Теоремы о границе нулей |
| | § 3. | Асимптотический закон распределения простых чисел в арифметических прогрессиях |
| | Задачи |
| Глава X. | Проблема Гольдбаха |
| | § 1. | Круговой метод в проблеме Гольдбаха |
| | § 2. | Линейные тригонометрические суммы с простыми числами |
| | § 3. | Эффективная теорема |
| | Задачи |
| Глава XI. | Проблема Варинга |
| | § 1. | Круговой метод в проблеме Варинга |
| | § 2. | Оценка суммы Г.Вейля и асимптотическая формула в проблеме Варинга |
| | § 3. | Оценка G (n) |
| | Задачи |
| Литература |
Теория чисел занимается изучением свойств целых
чисел. Аналитическая теория чисел – часть теории
чисел, в которой наряду с собственными методами
существенно используется аналитический аппарат математики.
Цель настоящей книги – познакомить широкий круг
читателей с центральными проблемами аналитической
теории чисел. Оставляя в стороне второстепенные детали,
я старался изложить то главное, что привело
к современному состоянию теории. Поэтому часто даны
не лучшие, известные к настоящему времени результаты,
однако все они принципиально не отличаются
от последних.
Книга посвящена трем проблемам аналитической
теории чисел – проблеме распределения простых чисел
в натуральном ряде и арифметических прогрессиях,
проблеме Гольдбаха и проблеме Варинга. На примере
решения этих проблем изложены основные методы
аналитической теории чисел – метод комплексного интегрирования,
круговой метод Г.Харди, Д.Литлвуда
и С.Рамануджана и метод тригонометрических сумм
И.М.Виноградова.
После каждой главы, начиная с третьей, помещены
задачи; они объединены по темам и решать их рекомендуется
в порядке следования. Задачи уточняют
доказанные теоремы или вводят в круг новых идей
современной теории чисел.
От читателя требуется знание теории чисел в объеме
книги И.М.Виноградова "Основы теории чисел",
математического анализа в объеме университетского
курса, теории функций комплексного переменного
в объеме книги И.И.Привалова "Введение в теорию
функций комплексного переменного".
Темы, близкие к изложенным в книге, исторические
справки и литературу можно найти в монографиях.
Нумерация утверждений и формул в каждой главе
своя; при ссылках на утверждения из других глав
указывается глава, например, теорема 2, III означает – теорема
2 главы III.
Выражаю глубокую благодарность С.М.Воронину
и А.Ф.Лаврику за ценные замечания.
