|
Оглавление
Предисловие
Традиционно теория гомологии играет фундаментальную роль в изложении начал топологии. Начиная с А.Пуанкаре, создавшего основы топологии, теория гомологии рассматривается как первичная начальная основа методов алгебраической топологии. Из теории гомотопий к числу таких начал традиционно относились только фундаментальная группа и накрытия. Практически все классические начальные учебники по топологии (среди которых наилучшим, по мнению авторов, является книга Зейферта и Трельфалля "Топология") начинаются с изложения теории гомологии того или иного класса комплексов. Лишь на более позднем этапе рассматривается (к тому же с точки зрения теории гомологий) теория расслоенных пространств и общая задача о классификации гомотопических классов отображений (теория гомотопий). Вместе с тем методы топологии дифференцируемых многообразии, начавшие интенсивно развиваться с 30-х годов (Уитни и др.), позволяют полностью перестроить изложение фундаментальных основ современной топологии. С новой точки зрения, более близкой к классическому анализу, первичной оказывается элементарная теория гладких многообразии и основанная на ней теория гомотопий и гладких расслоенных пространств. Более того, в течение 70-х годов выяснилось, что именно этот комплекс топологических идей и методов имеет фундаментальные приложения в различных разделах современной физики. Вследствие этих причин авторы считают общенеобходимым учебным топологическим материалом в первую очередь именно основы теории гладких многообразий, теории гомотопий и расслоенных пространств; этот материал включен в учебное пособие Б.А.Дубровин, С.П.Новиков, А.Т.Фоменко, "Современная геометрия", часть II. В данной книге этот материал предполагается известным. Решение более сложных задач самой топологии (вычисление гомотопических групп, классификация гладких многообразии и т.д.), а также многочисленные приложения алгебро-топологической техники в задачах алгебраической геометрии и комплексного анализа требует далеко идущего развития методов именно теории гомологий. В современной топологической литературе полностью отсутствуют книги, по которым можно было бы освоить комплекс методов теории гомологий в их внутритопологических приложениях, упомянутых выше. Настоящая книга имеет своей целью частично восполнить этот пробел. В изложении теории гомологий авторы старались избежать, по возможности, абстрактного языка гомологической алгебры, чтобы читатель все время помнил, что гомологии, циклы и границы – это конкретные геометрические образы. В некоторых случаях – например в разделе, посвященном спектральной последовательности, – это самоограничение приводит к некоторым трудно истребимым дефектам изложения. Однако последовательное изложение языка и методов современной гомологической алгебры, как показывает опыт, приводит к еще худшим дефектам, затрудняя понимание геометрического смысла теории гомологий. Некоторые фундаментальные методы современной алгебраической топологии (техника спектральных последовательностей и когомологических операций) изложены без полных обоснований, которые потребовали бы кардинального увеличения объема. Напомним, что использование этих методов базируется лишь на формально-алгебраических свойствах входящих в них величин и не использует явных конструкций этих величин, дававшихся в процессе обоснования. В конце книги методы алгебраической топологии применяются к изучению глубоких свойств характеристических классов и гладких структур на многообразиях. По замыслу авторов данная монография должна подводить читателя к чтению современной топологической литературы. Большой вклад в формирование книги внес редактор Виктор Матвеевич Бухштабер. Благодаря ему целый ряд мест был переделан, улучшены многие доказательства. Авторы благодарят В.М.Бухштабера за эту большую работу. Об авторах
 Дубровин Борис Анатольевич Доктор физико-математических наук. Специалист по геометрическим методам математической физики. Профессор кафедры высшей геометрии и топологии мехмата МГУ (1988–1993), профессор математики в международном институте SISSA, г. Триест (1993–2019). Область научных интересов — теория интегрируемых систем в геометрии и физике: фробениусовы многообразия, инварианты Громова—Виттена, теория особенностей, нормальные формы интегрируемых уравнений в частных производных, гамильтоновы возмущения гиперболических систем, геометрия изомонодромных деформаций, тэта-функции на римановых поверхностях и нелинейные волны.
 Новиков Сергей Петрович Академик РАН. Доктор физико-математических наук. Заведующий кафедрой высшей геометрии и топологии механико-математического факультета МГУ. Заведующий отделом геометрии и топологии Математического института им. В. А. Стеклова РАН. Лауреат Ленинской премии (1967), премии Филдса (1970), премии Лобачевского (1980) и многих других научных наград. Область научных интересов: топология, симплектическая геометрия и аналитическая механика, общая теория относительности, квантовая теория поля, физика твердого тела, а также теория интегрируемых систем и другие разделы математической физики. Автор более 160 научных и научно-популярных статей и монографий по математике и математической физике.
 Фоменко Анатолий Тимофеевич Академик Российской академии наук (РАН), действительный член академий: МАН ВШ (Международной академии наук высшей школы), МАТН (Международной академии технологических наук). Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Решил известную проблему Плато в теории спектральных минимальных поверхностей, создал теорию инвариантов и тонкой классификации интегрируемых гамильтоновых динамических систем. Лауреат Государственной премии Российской Федерации 1996 г. (в области математики) за цикл работ по теории инвариантов многообразий и гамильтоновых динамических систем. Лауреат премии Отделения математики и Президиума АН СССР (1987), лауреат премии Московского математического общества (1974). Специалист в области геометрии и топологии, вариационного исчисления, теории минимальных поверхностей, симплектической топологии, гамильтоновой геометрии и механики, компьютерной геометрии. Автор более 300 научных работ, 40 математических монографий и учебников. Автор нескольких книг по разработке и применению новых эмпирико-статистических методов к анализу исторических летописей, хронологии Древности и Средневековья.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||