Извольский Н.А. Основной курс проективной геометрии Изд. стереотип.

URSS. 2022. 168 с. ISBN 978-5-9710-9360-2.

Серия: Физико-математическое наследие: математика (геометрия)

Типографская бумага

Аннотация

Вниманию читателя предлагается классический курс проективной геометрии, написанный известным отечественным математиком и педагогом Н.А.Извольским. Курс имеет целью охватить самые существенные моменты развития проективной геометрии. Автор рассматривает тот же материал, над которым работают и другие области геометрии; при этом дается такое понимание этого материала, которое является началом и широких обобщений, и новых построений, ведущих с легкостью... (Подробнее)

Содержание

Предисловие (к первому изданию)				3
I. Материал проективной геометрии				5
1. Основные элементы				5
2. Несобственные элементы				6
3. Основные положения геометрии				8
II. Основные операции проективной геометрии				9
4. Проектирование и сечение				9
5. Главные случаи проектирования и сечения				11
6. Первое свойство проектирования и сечения				11
7. Следование элементов друг за другом в образах первой ступени				12
8. Разделяющие друг друга элементы в образах первой ступени				14
9. Второе свойство проектирования и сечения				15
III. Принцип двойственности				16
10. Двойственность в пространстве				16
11. Двойственность на плоскости и в центральной системе				18
IV. Полные и простые многоугольники и многосторонними				19
12. Построение полных многоугольников и многосторонни ков				19
13. Полные многореберники и многогранные углы				20
14. Простые многоугольники и многосторонники				21
V. Соответственные треугольники и четырехугольники				22
15. Теорема Дезарга для пространства				22
16. Особенности трехгранного угла, пересеченного двумя плоскостями				24
17. Проекции какого-либо треугольника из двух центров на новую плоскость				24
18. Теорема Дезарга на плоскости				25
19. Теорема Дезарга в центральной системе				27
20. Соответственные полные четырехугольники				27
VI. Гармонические группы				29
21. Гармоническая группа точек				29
22. Гармоническая группа лучей и плоскостей пучка				31
23 Расположение точек в гармонической группе				33
24. Проектирование гармонической группы точек из центра				33
25. Проекция гармонической группы точек из оси				34
26. Сечение гармонических групп				35
27. Последовательный ряд проектирований и сечений гармонических групп				35
28. Зависимость положения двух гармонически сопряженных элементов гармонической группы				36
29. Обобщение понятия "делятся гармонически"				37
Добавление. Метрические соотношения в гармонических группах				38
30. Точка, гармонически сопряженная с серединой отрезка				38
31. Лучи, гармонически сопряженные относительно сторон смежных углов				39
32. Построение четвертого элемента, гармонического к трем данным				40
33. Соотношения между гармоническими отрезками и гармоническими лучами				40
VII. Проективное соответствие в основных образах первой ступени				42
34. Перспективное соответствие				42
35. Проективное соответствие				43
36. Другой способ получения проективного соответствия				44
37. Обозначения				45
38. Основной вопрос учения о проективном соответствии				46
39. Образование проективных рядов движением				46
40. Основная теорема проективной геометрии				48
41. Двойные, элементы проективных пучков лучей и плоскостей				49
VIII. Свойства проективного соответствия				50
42. Случай перспективного расположения двух проективных образов первой ступени				50
43. Признак перспективного расположения				52
44. Два проективных ряда, основания которых не расположены в одной плоскости				53
45. Построение проективных рядов				53
46. Проективное соответствие как конечный результат ряда проектирований и пересечений				55
47. Частные случаи				55
48. Понятие о символическом исчислении				56
49. Построение проективных пучков лучей				57
50. Частный прием установления проективного соответствия				59
IX. Проективные однородные образы с общим основанием				60
51. Построение проективных рядов с двойными точками				60
52. Подразделение проективных рядов с одинаковым основанием				61
53. Проективные группы точек				62
54. Справедливость проективностей ABCD-BADC-CDAB-DCBA				63
55. Условие возможности остальных (из 8-ми) проективностей				64
56. Одна теорема о гиперболическом проективном соответствии				65
X. Метрические соотношения для проективного соответствия				66
57. Проективно подобные ряды. Конгруэнтность				66
58. Конгруэнтность пучков лучей				67
59. Ангармоническое отношение				68
60. Изучение ангармонического отношения				71
61. Граничные точки				73
XI Ряды и пучки второго порядка				74
62. Ряд и кривая второго порядка				74
63. Проективное определение кривой второго порядка				74
64. Кривая второго порядка и проективные пучки				75
65. Теорема Паскаля				76
66. Пучок лучей второго порядка. Кривая второго класса				76
67. Определение пучка второго порядка				77
68. Пучки второго порядка и проективные ряды				77
69. Теорема Брианшона				79
70. Распавшиеся кривые и пучки второго порядка				79
71. Теоремы о четырехугольнике и четырехстороннике				80
72. Тождественность кривых второго класса и второго порядка				82
73. Частные случаи теоремы Паскаля				84
74. Частные случаи теоремы Брианшона				85
75. Общее определение кривой второго порядка				85
76. Пересечение кривых второго порядка и их общие касательные				86
77. Построение кривой второго порядка				87
78. Дополнение метрического характера				88
79. Конус и пучок плоскостей второго порядка. Добавления				90
XII. Линейчатые поверхности второго порядка				92
80; Системы прямолинейных образующих				92
81. Пересечение линейчатой поверхности прямою; касательные к ней прямые и плоскости				94
82. Добавление метрического характера				96
ХIII. Проективное соответствие между элементами образов первого и второго порядков				97
83. Элементарные образы и проективное соответствие между их элементами				97
84. Проективность ряда точек кривой второго порядка и огибающего ее пучка лучей второго порядка				99
85. Построение проективного соответствия между элементарными образами				100
86. Образы первой ступени третьего и четвертого порядков				103
ХIV Полюсы и поляры, диаметр, центр кривых второго порядка				104
87. Поляра точки				104
88. Полюс прямой				106
89. Внутренняя и внешняя области плоскости относительно кривой второго порядка				108
90. Взаимоотношение между полюсами и полярами. Доказательство принципа двойственности для плоскости				109
91. Полярные треугольники				111
92. Сопряженные точки и прямые				112
93. Диаметры и центр кривой второго порядка				113
94. Сопряженные диаметры				115
XV. Инволюции				116
95. Определение инволюции для прямолинейного ряда				116
96. Два вида инволюций				118
97. Инволюции на кривой второго порядка				120
98. Переход от инволюции точек кривой второго порядка к инволю¬циям элементов в других элементарных образах				121
99. Расположение пар в гиперболической инволюции				123
100. Теорема четырехугольника				123
101. Метрическое выражение инволюции				125
XVI. Оси и фокусы кривых второго порядка				128
102. Оси				128
103. Фокусы				128
104. Построение фокусов				129
105. Директрисы				132
106. Некоторые свойства кривых второго порядка по отношению к фокусам и директрисам				132
XVII. Задачи второй степени				134
107. Конструктивные задачи первой и второй степени				134
108. Мнимые элементы				135
109. Основная задача второй степени				136
110. Образцы задач второй степени				136
XVIII. Коллинеация и корреляция центральных плоских и пространственных систем				139
111. Коллинеация плоских систем				139
112. Условия, определяющие коллинеацию				141
113. Коллинеация центральных систем				142
114. Коллинеация пространственных систем				142
115. Корреляция плоских систем				143
116. Корреляция центральных и пространственных систем				144
117. Взаимоотношения между коллинеациями и корреляциями				145
118. Коллинеарные и коррелятивные кривые второго порядка				146
119. Понятие о поверхностях второго порядка				147
120. Частные виды коллинеации плоских систем				149
ХIХ. Коллинеация и корреляция на одной плоскости. Полярная система				151
121. Перспективное расположение коллинеарных систем				151
122. Перспективная коллинеация (гомология)				154
123. Двойные элементы коллинеации				154
124. Инволюция в плоской системе				157
125. Полярная система				158

Об авторе

Извольский Николай Александрович

Родился в поселке Епифань Тульской губернии, в семье бывшего военного. В 1881 г. поступил в Тульскую гимназию, где под влиянием своего учителя Е. С. Томашевича увлекся математикой. Начиная с шестого класса Николай Извольский стал регулярно посылать свои решения в журнал "Вестник опытной физики и элементарной математики". Он привел изящные решения около 50 предложенных журналом трудных задач. В 1889 г. поступил на физико-математический факультет Московского университета, в 1893 г. за сочинение "Изображение поверхности на плоскости" был удостоен степени кандидата. С 1894 г. — преподаватель математики во Втором Московском кадетском корпусе.

В 1903–1904 гг. было опубликовано первое учебное руководство Н. А. Извольского — "Учебник арифметики" (в двух частях), который выдержал четыре издания. В 1907–1919 гг. Н. А. Извольский читал лекции на Высших женских курсах в Москве. Затем вернулся в Епифань, где преподавал математику на постоянных педагогических курсах. В 1921 г. снова уехал в Москву, преподавал математику в Пречистенском педагогическом институте и на Рабфаке им. Г. В. Плеханова. С 1922 г. — профессор Второго Московского государственного университета, в котором читал лекции по математическому анализу, проективной геометрии и основам алгебры. С 1924 г. совмещал работу в Москве и Ярославле.

Н. А. Извольский издавал и редактировал журнал "Математический вестник" (1914–1917), посвященный вопросам преподавания арифметики и начал алгебры и геометрии. За время существования журнала вышло 24 номера, в которых большая часть статей была написана самим редактором.