|
Оглавление
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данный текст представляет собой расширенную запись семестрового курса лекций по функциональному анализу и интегральным уравнениям, который на протяжении ряда лет автор читает на математическом факультете ГГУ им.Ф.Скорины. Традиционно этот курс в ГГУ начинается в четвертом семестре и содержит теорию меры и интеграла Лебега (обслуживающую не только анализ, но и теорию вероятностей и математическую статистику), а также элементы того, что раньше не совсем удачно называлось теорией функций действительного переменного. Лекции охватывают весь материал по теме Теория меры и интеграл Лебега, предусмотренный образовательными стандартами Республики Беларусь и учебными программами для высших учебных заведений по специальностям 1–31 03 01 Математика и 1–31 03 03 Прикладная математика. Цель предлагаемых текстов лекций – обеспечить студентов учебным пособием, по которому было бы удобно готовиться к экзамену (включая контролируемую самостоятельную работу). Особенности настоящего курса сводятся в основном к следующему. Из трех возможных подходов к построению лебеговского продолжения меры (по Лебегу, по Колмогорову и по Каратеодори) в лекциях выбран последний (два других подхода отражены в учебниках [1] и [7] соответственно). Хотя на первый взгляд он и не выглядит так естественно, как подход Колмогорова, но технически более прост, позволяет сразу рассматривать неограниченные меры и не требует сигма-конечности меры. Известные автору книги на русском языке, использующие этот подход, либо являются монографиями, непригодными в качестве учебников, либо трудны для первоначального знакомства с предметом. В интересной монографии К.Партасарати [10], например, теория Лебега излагается вперемешку с теорией вероятностей, и рассчитана эта книга на студентов старших курсов, аспирантов и научных работников. При построении теории интеграла используются конечнозначные простые функции. Хотя это и приводит к небольшому усложнению доказательства теоремы об аппроксимации измеримых функций простыми, но дает выигрыш в других вопросах. Интеграл от неотрицательной функции определяется как предел ее интегральных сумм Лебега (понимаемых как интегралы от аппроксимирующей ее монотонной последовательности простых функций, построенной при доказательстве теоремы об аппроксимации). Теорема Радона–Никодима выводится из теоремы Ф.Рисса об общем виде линейного функционала. Теорема Фубини–Тонелли доказывается с помощью теоремы о монотонных классах. Доказательство теоремы Лебега о дифференцировании проводится с использованием максимальной функции Харди–Литтлвуда. Из других особенностей изложения отметим (возможно, новое) доказательство теоремы Жордана–Хана о разложении знакопеременной меры, основанное на лемме Цорна, а также включение материала, выходящего за рамки типовой программы, а именно, посвященного свертке, единственности инвариантной меры на числовой оси, интегралу Хенстока–Курцвейля, свойствам интеграла Лебега, зависящего от параметра. Этот материал непосредственно примыкает к основному и может быть использован при составлении заданий для курсовых работ студентам, специализирующимся в области математического анализа. Изложение в лекциях сопровождается довольно значительным числом упражнений (как правило, легких), выполнение большинства из которых необходимо для неформального усвоения материала. Каждая глава заканчивается списком дополнительных упражнений. В конце пособия помещен список всех упражнений, которым можно пользоваться, как задачником. Упражнения, отмеченные знаком *, снабжены ответами и указаниями, также помещенными в конце пособия. Дополнительный (необязательный) материал выделен знаками *. Внутри каждой главы формулы имеют двойную нумерацию, например, (2.1) обозначает первую формулу параграфа 2; теоремы, леммы и т.д. нумеруются раздельно по параграфам. Знак := читается равняется по определению; конец доказательства обозначается знаком []. Профессор Ю.В.Малинковский прочитал рукопись и сделал несколько интересных замечаний, за что автор выражает ему искреннюю благодарность. Особая благодарность рецензентам – члену-корреспонденту НАН РБ Я.В.Радыно и кафедре теории функций, функционального анализа и прикладной математики учреждения образования "Гродненский государственный университет им.Я.Купалы" (заведующий кафедрой – профессор Ю.М.Вувуникян) – за советы, способствовавшие улучшению рукописи. Об авторе
 Миротин Адольф Рувимович Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа и дифференциальных уравнений Гомельского государственного университета имени Ф. Скорины. Выпускник аспирантуры механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Опубликовал около 200 научных работ по функциональному и гармоническому анализу, теории меры и интеграла и теории функций, а также преподаванию математики в высшей школе. Автор 8 книг — монографий и учебных пособий. Награжден нагрудным знаком «Отличник народного образования Республики Беларусь». Дважды лауреат Первой премии Специального фонда Президента Республики Беларусь за особый вклад в развитие способностей одаренных учащихся и студентов.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||