Кутищев Г.П. Геометрия алгебраических уравнений, разрешимых в радикалах:
С приложениями в численных методах и вычислительной геометрии

Оглавление

Предисловие

Развитие вычислительной техники и средств программирования в настоящее время достигли такого уровня, что при разработке математических моделей сложность вычислительных процедур уже не является определяющим фактором, а на передний план выходят законченность и ясность алгоритмов, реализующих эти математические модели.

Можно смело предположить, что если планка установлена на высоте 1.618 м, то её не всякий сможет преодолеть с первой попытки. Но если немного потренироваться, то преодоление такой высоты для многих, особенно молодых и энергичных, может стать вполне разрешимой задачей. Вот эта книжка и может послужить для такой подготовительной работы перед разбегом для успешного прыжка на затруднительную прежде в рамках школьного курса высоту по решению алгебраических уравнений и освоению вычислительных методов. По существу, здесь представлены начала прикладной математики, изложенные простыми словами почти с инженерной точки зрения.

Алгебраические уравнения невысоких степеней очень часто используются в различных практических и инженерных расчётах и поэтому очень важным является возможность их быстрого аналитического, численного или графического решения. Решить алгебраическое уравнение аналитически, или, как ещё принято говорить, найти решение в радикалах, означает найти способ выразить все корни этого уравнения через его коэффициенты в виде некоторой формулы, позволяющей вычислять их за конечное число действий с использованием арифметических операций, возведения в степень, извлечения корней произвольной степени и элементарных математических функций.

Прежде, чем приступать к решению алгебраических уравнений, очень полезно исследовать геометрическую природу функций, которые представляют эти уравнения, так сказать, в прямом смысле посмотреть на них визуально, и выявить все их характерные геометрические особенности и их реальное поведение, если рассматривать многочлен как некоторую плоскую кривую линию, ибо, как подчёркивал выдающийся математик современности Арнольд В.И., "через геометрию в математике осуществляется связь... с физикой и реальностью". Поэтому анализ всех кривых, представляющих рассмотренные алгебраические уравнения, начинается с их подробного геометрического рассмотрения, причём под "геометрией" в данном случае понимается их графическое представление и наличие возможности при помощи вычислений "увидеть" эти изучаемые объекты.

При изложении более или менее обширных математических вопросов, таких, как тема этой книги, полезно каждый раз вспоминать, хотя бы в кратком изложении, основы математики, её главные, базовые понятия, которые будут необходимы для усвоения излагаемого материала. Такую справочную функцию выполняет первая глава, в которой в очень сжатом виде приведены основные понятия и определения, которые могут понадобиться при изучении алгебраических уравнений и которые надо как бы всегда "держать в уме".

Решение уравнений первой степени является тривиальным и требует всего лишь выполнения одной арифметической операции деления и использования отрицательных, рациональных или, в общем случае, действительных чисел. Тем не менее, учитывая, что почти весь численный анализ построен на использовании линейных моделей, которые позволяют получать стопроцентно правильные решения прикладных задач во всех областях науки и техники, то очевидно, что уравнения первой степени, или линейные уравнения, играют основополагающую роль во всей математике и, конечно же, требуют полного и всестороннего рассмотрения, чему и посвящена вторая глава.

Большое значение, как простейший тип разрешимого в радикалах алгебраического уравнения произвольной степени, имеют так называемые двучленные уравнения заданной степени, полное решение которых определяется операцией извлечения корня этой степени из положительного действительного числа, умноженного на некоторую функцию, представляющую корень степени заданного уравнения из "единицы", выражаемого через тригонометрические функции, дающую значения всех корней этого уравнения. Алгебраическое уравнение любой степени считается решённым, если это уравнение при помощи различных преобразований можно свести к двучленному уравнению. Эти уравнения в кратком виде рассматриваются в третьей главе.

Уравнения второй степени, или квадратные уравнения, требуют для своего полного решения уже более сложных, чем для уравнения первой степени, алгебраических средств: введения операции извлечения квадратного корня, которая требует введения и новых, так называемых "мнимых", чисел, необходимость в которых возникает при формальном вычислении квадратного корня из действительных отрицательных чисел. Эти мнимые числа, в свою очередь, порождают специфическую алгебраическую конструкцию – комплексное число, возникающую только при решении квадратных уравнений, и которая позволяет получать полное аналитическое решение этого уравнения. Чтобы рассматривать корни любых алгебраических уравнений во всей их общности, в возможно более единообразном виде, вводится понятие квадратично-сопряжённых корней, которые появляются именно при решении квадратных уравнений и которые представляют как комплексные, так и вещественные корни алгебраических уравнений. Парабола, простейшая алгебраическая кривая второй степени, является первой кривой, которая позволяет элементарно определить такие понятия вычислительной геометрии, как касательная и нормаль к кривой и важнейшее геометрическое понятие – кривизна кривой, выражаемое через радиус (диаметр) соприкасающейся окружности, которое, собственно, и определяет вид и основные свойства всех алгебраических кривых.

Биквадратные "симметричные" уравнения с использование всевозможных подстановок позволяют сводить алгебраические уравнения более высоких чётных степеней к квадратным уравнениям, корни которых уже используются как коэффициенты в соответствующих двучленных уравнениях. Уравнениям второй степени посвящена четвёртая глава.

Уравнение третьей степени общего вида, или кубическое уравнение, являются уже гораздо более сложным алгебраическим объектом, и для его полного решения в общем случае необходимо использовать весьма изощрённые подходы, связанные с более глубоким изучением геометрии кубической параболы, представляющей уравнения третьей степени, и введения, кроме операций извлечения корней второй и третьей степени, ещё и новых чисел, выражающихся через элементарные тригонометрические функции. Более глубокое изучение геометрической природы кубических уравнений позволило, за счёт введению новой специальной функции, определяющей основной корень уравнения, обходиться вообще без операции извлечения корня третьей степени при решении исходного уравнения и свести его решение к квадратному уравнению для нахождения двух других корней. Из-за достаточно сложного вида аналитического решения кубического уравнения определённый интерес могут представлять рассмотренные эффективные способы его графического решения. Здесь же рассматривается достаточно интересный вопрос о сведении кубического уравнению к двучленному виду, т.е. к полному кубу, различными способами. Пятая глава и содержит всё, что может быть связано с кубическими уравнениями.

Решение уравнения четвёртой степени является более простым по сравнению с кубическим уравнением в том смысле, что с помощью элементарного приёма "прибавить–отнять–сгруппировать" это уравнение общего вида можно привести к двум квадратным уравнениям, из которых и находятся все четыре его корня в виде двух пар квадратично-сопряжённых корней. Однако при этом для получения полного решения необходимо найти действительный корень некоторого кубического уравнения, возникающего при преобразованиях предъявляемого уравнения четвёртой степени, т.е его решение получается как бы за два шага – сначала определяется "главный" корень вспомогательного уравнения третьей степени (резольвенты), и уже с его помощью получается полное решение исходного уравнения четвёртой степени. Вопросам, связанным с геометрическими свойствами уравнений четвёртой степени и всевозможными способами их решения, посвящена шестая глава.

Седьмая глава посвящена применению полученных в предыдущих главах результатов, связанных с уравнениями низких степеней, в численном анализе и вычислительной геометрии. Здесь, на примере уравнения пятой степени, рассмотрены такие важные в вычислительной математике вопросы, как численно-аналитическое решение нелинейных уравнений, использования параболы для обоснования метода наименьших квадратов и использование многочленов низких степеней для вычисления определённых интегралов. Для решения этих задач предлагаются нестандартные, но достаточно простые, подходы, обеспечивающие понимание таких довольно сложных вопросов.

Таким образом, тематика данной книги – "конкретная" прикладная алгебра, помогающая приступить к изучению начал прикладной математики и непосредственно связанной с численными методами и вычислительной геометрией. Основной целью данной работы, при изложении которой используются результаты общего характера, полученные в работе [32], является, помимо многого другого, разработка достаточно элементарных алгоритмических средств, которые давали бы возможность практического использования результатов анализа алгебраических уравнений при разработке программ на языках программирования высокого уровня для получения всей необходимой числовой и графической информации.

Литература по алгебраическим уравнениям в достаточном количестве приведена в [32], а здесь представлены источники, необходимые для расширения кругозора по рассматриваемым в данной книге вопросам.

Об авторе

Инженер, имеющий большой практический опыт решения сложных прикладных задач с использованием компьютерных технологий. После окончания в 1962 г. Московского физико-технического института по специальности "Аэродинамика" поступил на работу в Центральный аэрогидро-динамический институт (ЦАГИ), где занимался исследованиями в области создания авиационно-космических систем, а также автоматизацией проектно-конструкторских работ и проведением аэродинамических экспериментов с использованием ЭВМ. По результатам этих исследований имеется ряд научных публикаций.

Преимущественная область интересов Г.П.Кутищева – вычислительная геометрия, связанная с программной реализацией и математическим представлением и описанием геометрии гладких поверхностей сложных технических изделий; именно на ее базе возникли основные идеи и соображения об алгебраических уравнениях, которым посвящена настоящая книга. По убеждению автора, алгебраические уравнения могут с успехом применяться при создании математических моделей объектов, процессов и явлений в процессе проведения научно-исследовательских работ во многих областях практической деятельности.