Петровский А.Б. Пространства множеств и мультимножеств

Содержание

Предисловие

Метрические и другие пространства расстояний играют важную роль в математике и ее приложениях, формируя основу многих прикладных методов изучения и анализа окружающего нас мира. Нередко существует необходимость в исследовании структуры совокупности объектов, абстрагируясь от их конкретной природы, но учитывая их взаимное расположение и основываясь на их свойствах, которые можно охарактеризовать теми или иными признаками объектов. В этих случаях объекты обычно представляют точками некоторого многомерного признакового пространства и оперируют с ними, используя мощный и хорошо развитый математический аппарат теории метрических пространств множеств.

Если приглядеться более внимательно, то можно заметить, что наше окружение состоит из разных, но многократно повторяющихся элементов, которые в определенных ситуациях могут считаться неразличимыми. Живая природа и неживая материя построены из многообразных, но повторяющихся молекул, которые образованы из повторяющихся атомов, а те, в свою очередь, – из повторяющихся элементарных частиц. Зрительные образы и звуки также составлены из отдельных типовых фрагментов. Так, например, вся музыка есть, по существу, разнообразные сочетания долей семи нот, а изображения – комбинации стандартных цветовых и графических элементов. Слова складываются из отдельных повторяющихся букв, а любой текст, в том числе и тот, что вы сейчас читаете, представляет собой совокупность отдельных слов. И, кстати, содержащаяся в кошельке каждого человека наличность есть лишь тот или иной набор каких-то денежных банкнот и монет разного номинала.

Имеется широкий круг задач, отличительной особенностью которых является множественность и повторяемость данных, описывающих как сами рассматриваемые объекты, так и их свойства. С точки зрения математики такие многопризнаковые объекты можно представить как мультимножества или множества с повторяющимися элементами. Мультимножество можно рассматривать или как одну из частных форм множества (так обычно принято считать, например, в комбинаторной математике), или как самостоятельное понятие, более общее, чем множество.

В теории множеств неявно предполагается, хотя это специально и не оговаривается, что все элементы множества различны. Однако принципиального запрета на присутствие во множестве нескольких одинаковых элементов нет.

Вместе с тем оказалось, что возможность многократного вхождения элементов в мультимножество создает новое качество, которое отличает мультимножество от обычного "ординарного" множества и порождает существенно большее, чем у множеств, разнообразие видов и особенностей мультимножеств. При этом почти всегда имеется возможность проверить правильность сделанных предположений и заключений, осуществив "предельный переход" от мультимножеств к множествам.

Теоретическим аспектам мультимножеств посвящено сравнительно мало работ. Множества с повторениями традиционно изучались в комбинаторной математике [Сач77], [Aig79], [БС89]. Д.Кнут был, по-видимому, первым, кто обратил внимание на необходимость рассмотрения мультимножеств как самостоятельного математического объекта. Во 2 томе его многотомной монографии по программированию [Knu69] даны определения мультимножества, объединения, пересечения и сложения двух мультимножеств, указаны некоторые свойства этих операций и примеры применения мультимножеств.

Небольшая сводка основных понятий, относящихся к мультимножествам, приведена в приложении к книге [Pet81] (в русском переводе этой книги мультимножества названы комплектами), где к упомянутым выше операциям добавлено вычитание мультимножеств. Ряд свойств этих операций был рассмотрен в работе [Yag86]. Позднее были введены операции прямого произведения [БС89] и арифметического умножения двух мультимножеств [Knu92], операции симметрической разности мультимножеств, дополнения и умножения мультимножества на число, прямой степени мультимножества [Петр94]. Операции над произвольным числом мультимножеств и их свойства представлены в [Петр03].

Понятие нечеткого мультимножества было предложено Ягером [Yag86], операции над нечеткими мультимножествами исследовались в работах [Li90], [Reb93], [Reb94]. Проблемы упорядочения мультимножеств изучались в работах [DM79], [HO80], [JL82], [Лом01], [SeS03]. Метрические пространства мультимножеств и некоторые их свойства рассмотрены в работах [Петр94], [Petr92], [Petr94], [Петр95], в первой из них введено понятие отношения на мультимножестве. Комбинаторные аспекты теории мультимножеств освещены в работах [Lip82], [БС89], [Петр00]. В последней работе определены понятия разложения, разбиения, покрытия и перекрытия мультимножеств.

Первое систематическое и последовательное изложение начал теории мультимножеств в духе "наивной" теории множеств было предпринято автором в книге "Основные понятия теории мультимножеств", опубликованной в 2002 году. В ней введены основные характеристики мультимножеств. Рассмотрены возможные виды мультимножеств и способы их сопоставления. Определены операции над мультимножествами и исследованы их свойства. Установлены правила для вычисления мощности и размерности произвольного числа мультимножеств. Указаны различные способы представления мультимножеств.

Настоящая книга, посвященная исследованию пространств множеств и мультимножеств, служит в определенной мере продолжением книги [Петр02а], однако вполне от нее независима. Для удобства читателя в главе 0 собраны наиболее важные понятия и определения теории мультимножеств, нужные для понимания представленного далее материала. Для краткости изложения опущены доказательства теорем, которые можно найти в первой книге.

Три следующие главы книги носят, в основном, ознакомительный характер и предназначены, главным образом, для тех, кто пожелает восстановить свои знания из областей математического анализа и функционального анализа. В главе 1 даются определения метрического пространства, метрики, других видов расстояний и пространств. Рассмотрены различные способы образования метрических пространств. Установлены некоторые свойства метрик и метрических пространств. Определены понятия последовательности элементов множества, сходимости и предела последовательности, приведены важнейшие свойства сходящихся последовательностей. Даны понятия гомеоморфизма и изометрии пространств.

В главе 2 излагаются основные свойства метрических пространств: открытость и замкнутость, замыкание, связность, плотность, сепарабельность, полнота и пополнение, компактность. Отмечена связь метрических и топологических пространств.

Понятия сходимости последовательности точек к пределу распространены в главе 3 на функции одной и многих переменных, последовательности функций, множеств и мультимножеств. Кратко рассмотрены свойства непрерывных, полунепрерывных и односторонне непрерывных функций. Установлены некоторые важные свойства сходящихся последовательностей множеств и мультимножеств. Результаты, относящиеся к последовательностям мультимножеств, являются новыми.

Глава 4 содержит изложение основных понятий пространств с мерой. Указаны свойства аддитивной меры множества, предложены новые правила для ее вычисления. Сформулированы необходимые и достаточные условия измеримости множества. Введены новые понятия сходимости последовательности измеримых множеств почти всюду и по мере на пространстве с полной мерой, исследованы их свойства. Приведены основные свойства измеримых функций.

Основные положения теории пространств с мерой мультимножества рассматриваются в главе 5. Мера мультимножества определяется как неотрицательная действительная функция мультимножества, обладающая свойством сильной аддитивности, которое является более общим, чем аддитивность меры множества. Установлены основные свойства меры мультимножества, предложены правила для ее вычисления. Сформулированы необходимые и достаточные условия измеримости мультимножества. Введены новые понятия сходимости последовательности измеримых мультимножеств почти всюду и по мере на пространстве с полной мерой, исследованы их свойства.

В главе 6 рассмотрены наиболее известные примеры функциональных метрических пространств: векторные пространства, пространства ограниченных и сходящихся числовых последовательностей, пространства непрерывных, ограниченных и измеримых функций, отмечены основные свойства этих пространств.

В главах 7 и 8 вводятся новые типы пространств и новые виды метрик. Главы имеют сходную структуру и описывают пространства измеримых множеств и измеримых мультимножеств. Рассмотрены различные способы введения метрик (псевдометрик) на сигма-алгебрах измеримых множеств и мультимножеств, порожденных мерой множества или мультимножества. Исследованы особенности, геометрические свойства и свойства непрерывности разных видов расстояний между множествами и между мультимножествами. Введены понятия сходимости последовательностей измеримых множеств и мультимножеств по метрике, изучена их связь со сходимостью почти всюду и по мере. Рассмотрены метрические и топологические свойства пространств измеримых множеств и измеримых мультимножеств. Показана связь таких пространств с пространствами ограниченных числовых последовательностей и векторными пространствами. Сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия существования на этих пространствах разных видов метрик – основной, полностью усредненной и локально усредненной. При переходе от мультимножеств к множествам метрические пространства измеримых мультимножеств становятся соответствующими пространствами измеримых множеств.

Примеры практического применения вновь разработанного теоретического инструментария приводятся в главе 9. Здесь описаны разные способы представления объектов, которые могут существовать в нескольких "экземплярах" с отличающимися значениями количественных и качественных признаков, характеризующих их свойства, в том числе представление объектов с помощью мультимножеств, и разные способы группирования таких объектов. Образцами многопризнаковых объектов подобного рода служат объекты, параметры которых одновременно измеряются несколькими различными методами, проекты, оцененные несколькими независимыми экспертами по многим качественным критериям, текстовые документы, содержание которых отражается с помощью ключевых слов или лексических единиц, распознаваемые графические символы – печатные или рукописные, диагнозы заболеваний, поставленные пациентам консилиумом врачей, результаты голосований и социологических опросов разных групп населения, и многое другое. Вкратце обсуждаются основные идеи различных разновидностей иерархического и неиерархического кластерного анализа в метрических пространствах мультимножеств. Предложены методы решения двух конкретных задач классификации и упорядочения многопризнаковых объектов. В свое время именно потребность решения таких практических задач побудила автора заняться изучением мультимножеств.

Книга будет интересна и полезна и "чистым" математикам, специализирующимся в областях дискретной математики, алгебры, функционального анализа, и исследователям, занятым разработкой теории и применением методов принятия решений, искусственным интеллектом и экспертными системами, анализом и распознаванием образов, языками программирования, математической лингвистикой, сетями Петри, и многими другим специалистам, сталкивающимся в своей профессиональной деятельности с необходимостью анализа и обработки разнообразной (числовой и символьной, разнородной и противоречивой) информации. Особую надежду автор возлагает на молодых и пытливых людей, кого может увлечь новая, почти совсем не изведанная область науки, в которой "есть разгуляться где на воле" и теоретикам, и прикладникам.

Автор выражает чувство глубокого уважения и искренней признательности академику Олегу Ивановичу Ларичеву, скоропостижно скончавшемуся в январе 2003 года, с которым автора связывали многолетняя личная дружба, творческие и служебные отношения.

Автор искренне признателен своим коллегам и друзьям, в первую очередь М.Ю.Стернину, Г.И.Шепелеву, В.Д.Ногину, Е.А.Соловьевой, С.И.Маторину, И.А.Квасникову, Л.М.Остроумовой, С.В.Шаманину, О.И. и Г.И.Германенко, Е.М.Бабиной, В.О.Лисицыной за их доброжелательную поддержку, а также В.М.Афанасьеву, В.И.Вишневской, Л.С.Гнеденко, В.В.Кузнецовой, В.Ю.Ладыниной, А.В.Литвиновой, Н.В.Морозовой, Г.В.Ройзензону, А.В.Рябовой, З.Ф.Филипенковой, Е.М.Фуремс и многим другим, способствовавшим по мере своих возможностей написанию книги и подготовке ее к изданию.

Автор глубоко благодарен рецензентам В.И.Богачеву и С.И.Травкину, а также А.Н.Богачевой, чьи конструктивные советы и замечания позволили улучшить содержание книги и исправить замеченные неточности.

Особая признательность моим детям, Илье, Танюше, внуку Даниле, крестнику Ване, с пониманием относящимся к тому, что автор уделяет больше времени написанию книг, чем общению с ними.

Автор с благодарностью отмечает вклад в подготовку книги Российского фонда фундаментальных исследований, который на протяжении многих лет оказывает поддержку многим российским ученым, и в частности, автору (проекты РФФИ 95–01–00083, 96–01–01621, 99–01–00476, 01–01–00514, 02–01–01077), Российской академии наук, финансирующей данную тематику в рамках программ фундаментальных исследований РАН "Математическое моделирование и интеллектуальные системы" и Отделения информационных технологий и вычислительных систем РАН "Фундаментальные основы информационных технологий и систем", а также Министерства промышленности, науки и технологий России, частично поддержавшего исследования в рамках проектов по федеральной целевой научно-технической программе "Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития науки и техники" на 2002–2006 годы.

Автор будет искренне рад, если его работа вызовет интерес и привлечет внимание исследователей к более глубокому и всестороннему изучению мультимножеств – этого достаточно давно известного, но практически мало "освоенного" объекта классической математики, который уже нашел и, как мне думается, найдет еще много новых и неожиданных приложений.