Жуковский В.И., Кудрявцев К.Н. Уравновешивание конфликтов и приложения

Оглавление

Предисловие

Генеалогическое древо теории игр представляется в виде дерева, имеющего корни, уходящие в глубь веков ("Необходимость принятия (конфликтных) решений так же стара, как и само человечество" [21. С.10]), мощные стволы и густую крону, в которой переплетены многочисленные современные работы по теории игр. Цветущий и богатый плодами ствол (некооперативные игры) был взращен в 1949 г. двадцатиоднолетним американским математиком Джоном Нэшем, который в докторской диссертации (объемом 27 стр.), защищенной в Принстонском университете, сумел выделить "новое лицо" конкуренции, определив ситуацию, впоследствии названную "равновесием по Нэшу". Сорок пять лет спустя он получил за эту работу Нобелевскую премию по экономике. В предлагаемой читателю книге как раз и делается попытка привить здесь новый росток – многошаговые позиционные конфликты. Живительным дождем для расцвета этого побега являются,

во-первых, внесенное экономистами требование оптимального сочетания исхода для каждого участника конфликта (игрока) и его риска;

во-вторых, предложенное российским академиком Н.Н.Красовским объединение динамического программирования с методом функций Ляпунова; здесь блестящая идея A.M. Ляпунова о возможности исследования качественного поведения траектории дифференциального уравнения, используя лишь свойства функций Ляпунова, трансформируется в возможность судить о равновесности (по Нэшу) стратегий по экстремальным свойствам функций Беллмана–Красовского.

Итак, три основные фактора характерны для рассматриваемых здесь задач:

– учет функции выигрыша (полезности) каждого игрока, значение которой определяет выигрыш игрока и тем самым качество его функционирования; при этом игроки лишены возможности объединения в коалиции;

– наличие неопределенных факторов, о которых известны лишь границы изменения, а какие-либо вероятностные характеристики отсутствуют по тем или иным причинам (скачки цен на рынке сбыта, срыв и (или) изменение номенклатуры поставок и т.п.);

– многошаговость (дискретность) управления, связанного с тем, что многие задачи экономического планирования, технологии и организации производства, военного дела, экологии, медицины описываются разностными уравнениями, так как на практике чаще всего как информация о состоянии процесса, так и управление процессом осуществляется в дискретные моменты времени, то есть по шагам.

Перейдем к краткому содержанию книги, включающей две главы. В первой акцент сделан на три подхода к учету рисков (рискофилами, рискофобами и рисконейтралами). Излагается подробно, правда иногда без подробных доказательств, "математическая кухня", используемая в следующей главе. Во второй главе обсуждаются "pro et contra" (за и против (лат.)) ситуации равновесия по Нэшу как решения конфликтной задачи. Для многошагового варианта формулируются достаточные условия. В эту же главу также помещены многочисленные приложения.

В конце каждой главы приводятся упражнения (с решениями), охватывающие как перспективы исследований, так и конкретные прикладные задачи.

Предлагаемый материал использовался в спецкурсах, в последние годы прочитанных одним из авторов на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ. Книгу хотелось бы оценить как мостик от дифференциальных бескоалиционных позиционных игр к играм многошаговым, на котором, по нашему мнению, можно ожидать еще много сюрпризов.

Считаем приятным для себя долгом поблагодарить Бардина А.Е., Вельских Ю.А., Высокое М.И., Житеневу Ю.Н., Золотарева В.В., Молоствова B.C., Смирнову Л.В. за обсуждение результатов и замечания.

Об авторах

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры оптимального управления факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им.М.В.Ломоносова, профессор кафедры математики и физики Московского государственного университета технологий и управления. Заслуженный деятель науки РФ. Иностранный академик АН Грузии, почетный член Академии нелинейных наук. Автор 27 монографий, опубликованных в России, США, Англии, Германии, Болгарии, Украине, Грузии, Казахстане, а также свыше 200 работ по устойчивости, стабилизации, дифференциальным играм многих лиц, многокритериальным и игровым динамическим системам при неопределенности.

Константин Николаевич КУДРЯВЦЕВ (род. в 1973 г.)

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа механико-математического факультета Южно–Уральского государственного университета (национального исследовательского университета). Автор около 20 научных работ, в том числе одной монографии, по кооперативным играм при неопределенности, дифференциальным играм многих лиц и математическим моделям экономики.