|
Анонс
 Нелинейные явления Аттракторы Теория бифуркаций Теория катастроф Системы c дискретным временем Автоколебания и предельные циклы Топологические методы Нейронные сети Оглавление
Предисловие к четвертому изданию
Эта книга представляет собой вводный курс математического моделирования нелинейных процессов. Этот курс мне довелось читать на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ им.М.В.Ломоносова и последний десяток лет на кафедре прикладной математики Московского физико-технического института. Лекции рассчитаны на студентов, представляющих общий курс математики в пределах естественно-научных или математических факультетов университетов. Вместе с тем книга успешно используется и третьекурсниками технических ВУЗов, интересующимися научной работой. В МФТИ, чтобы сдать этот курс, обычно достаточно в течение одного дня решить три задачи по выбору преподавателя из числа приведенных в книге. Практика показывает, что для физтехов, осознавших серьезность задачи получения допуска к сессии, это вполне посильная задача. Выпуск этой книги в серии "Синергетика – от прошлого к будущему" мне представляется сейчас очень важным. Дело в том, что растущая популярность идей и концепций синергетики, стремительный рост числа неофитов этого междисциплинарного направления, поставили ряд проблем. Во-первых, это "размывание" и упрощение нескольких важных и плодотворных идей, лежащих в основе синергетики. Во-вторых, это широкое использование "синергетических терминов" в ситуациях, статьях, книгах, совершенно для этого не подходящих. В-третьих, "гуманитаризация" синергетики – стремление видеть в этом направлении только философскую или методологическую ипостась, напрочь отбрасывая естественнонаучную основу. В-четвертых, появление множества синергетических объединений, возникающих как дань моде и сулящих в недалеком будущем появление "проблемы детей лейтенанта Шмидта" из небезызвестного "Золотого теленка"... Поэтому крайне важно дать представление студентам о "твердом ядре", ключевых идеях синергетики, о ее математических основах. Собственно эту задачу и решает представленный курс лекций. Это подчеркивает и новое название книги (старое осталось в подзаголовке). Другими словами, в книге представлен своеобразный "синергетический минимум" для тех, кто собирается использовать или развивать этот подход в естественных науках. Еще несколько слов о книге. Опыт преподавания показывает, что наибольшие трудности и у "физтехов", и у "нефизтехов" вызывает глава, в которой напоминаются основные сведения о линейных математических моделях. И даже не сама глава, а ее часть, связанная с обобщенными функциями, с их использованием для решения уравнений математической физики. Тем не менее этот раздел оставлен в первозданном виде по одной причине. Он следует физтеховской традиции построения курса математической физики. Эта традиция была заложена академиком Василием Сергеевичем Владимировым и в соответствии с ней и поныне строится преподавание этого курса. Этот подход позволяет излагать многие вопросы кратко, ясно и единообразно. Тем не менее, если читателю ближе другие подходы, если он учился по другим учебникам, то вспоминать основы математической физики естественно, пользуясь ими. Могу обратить внимание на курсы, написанные в свое время сотрудниками Института прикладной математики АН СССР. Это "Элементы прикладной математики" академика Якова Борисовича Зельдовича, где представлен взгляд физика на те же проблемы. Или фундаментальный курс "Уравнения математической физики" академиков Андрея Николаевича Тихонова и Александра Андреевича Самарского, подробно рассматривающий множество задач линейной математической физики. Замечу, что все три упомянутые книги были недавно переизданы. В любом случае обсуждаемая глава носит вспомогательный характер и не должна служить камнем преткновения для студентов, осваивающих предмет. В конце курса студенты часто высказывают пожелание услышать о приложениях методов нелинейной динамики, отличных от тех, которые рассматривались по ходу курса (методы защиты информации, диагностика сердечных заболеваний по изменению фрактальной размерности реконструированного аттрактора и т.д.). Исходя из этого пожелания, в настоящее издание добавлена последняя глава, в которой рассматривается концепция нейронауки, опирающаяся на представления о самоорганизации и динамических системах. Кроме того, и в нашей серии, и в других издательствах вышло много отличных книг дополняющих этот курс. Многое появилось в Интернете. Это позволило существенно расширить список рекомендованной литературы с тем, чтобы читатель мог найти в нем то, что ближе ему и по духу, и по области научных интересов. Если после чтения представленных "Основ" у читателя возникнет (или не пропадет) желание двинуться дальше в область синергетики, я буду считать свою задачу выполненной. Предисловие
Основным препятствием для широкого использования математического моделирования и вычислительного эксперимента в науке, технике, управлении является недостаток квалифицированных специалистов. Решение ряда крупных проблем сдерживается не отсутствием компьютеров, а недостатком коллективов, работающих на современном уровне. Требования, предъявляемые к специалисту в области математического моделирования, весьма высоки и вместе с тем противоречивы. С одной стороны, он должен быть профессионалом, глубоко понимающим достаточно узкую конкретную область исследований. С другой стороны, обычно ему приходится выступать не как исполнителю, а как ученому, который видит проблему в целом и способен уточнить, а иногда и радикально изменить постановку задачи, предложенную физиками, химиками или биологами. Работа в области математического моделирования предполагает своеобразный стиль мышления, в котором глубина и конкретность сочетаются с широтой и пониманием общих идей. Кроме того, успех в математическом моделировании при решении большинства серьезных задач опирается, как на трех китов, на триаду: модель – алгоритм – программа. Поэтому, чтобы верно наметить стратегию исследований, нужно хорошо представлять имеющийся инструментарий и основные достижения в каждой из областей. Это очень важно, поскольку, например, вычислительная математика сегодня все чаще выступает не только как инструмент, но и как источник новых идей в моделировании, физике, естествознании. На эту связь неоднократно обращается внимание в книге. Центральным моментом при решении многих крупных проблем, начиная с совершенствования химической технологии и проблемы управляемого термоядерного синтеза и кончая актуальными задачами квантовой теории поля и созданием нового поколения компьютеров, является анализ нелинейных явлений. В обширной области, часто называемой сейчас нелинейной наукой, или нелинейной динамикой, возникли свои оригинальные подходы, новые идеи и методы. Цель настоящей книги – познакомить студентов старших курсов, аспирантов и заинтересованных специалистов с этой дисциплиной. В 70Нх гг. началась и продолжается до настоящего времени научная революция, связанная с появлением новой технологии научных исследований – вычислительного эксперимента. Ее следует рассматривать как новую ступень в развитии математического моделирования, пронизывающего большинство областей науки. Главное из того, что дал вычислительный эксперимент, – возможность анализировать нелинейные явления в физике, химии, биологии, социологии – привело к рождению новых идей, теорий, методов, к развитию междисциплинарных подходов. Это, в свою очередь, помогло сформулировать новые понятия и открыть замечательные явления природы. По-видимому, наиболее удивительное в области моделирования состоит в том, что небольшое число сравнительно простых математических моделей дает ключ к пониманию и исследованию огромного количества различных явлений. Таким моделям – их часто называют базовыми – а также концепциям, родившимся при их анализе, и посвящена эта книга. В ее основу положен материал лекций и семинаров, которые в течение ряда лет проводились на кафедре численных методов факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ, а также в МФТИ. Опыт работы с аспирантами и старшекурсниками показал, что у многих из них есть существенный пробел в образовании. Разобравшись в каких-то частных вопросах, сдав множество общих и специальных курсов, они слабо представляют область, в которой им предстоит работать, взаимосвязи между моделями, алгоритмами и современными проблемами. За формализмом и конкретными задачами они иногда не видят идей и контекста, в котором такие задачи имеют смысл. Это затрудняет чтение оригинальной научной литературы и порой довольно долго не позволяет начать самостоятельные исследования. Я буду считать свою задачу решенной, если работа студентов и аспирантов над книгой позволит отчасти восполнить этот пробел или хотя бы осознать его наличие. Стиль книги во многом определяется опытом преподавания. Отдельные вопросы, обычно легко воспринимаемые студентами, излагаются конспективно. Ряд фундаментальных результатов математической физики, вычислительной математики, теории динамических систем, обсуждавшихся в предшествующих курсах, без которых невозможен анализ нелинейных явлений, приходится напоминать. И одновременно с этим некоторые важные проблемы, недостаточно освещенные или совсем не затронутые в учебной литературе, рассматриваются весьма подробно. В книге приведено большое количество примеров и иллюстраций. Там, где это возможно, основное внимание уделено ключевым идеям и конкретным моделям, ради которых и создавались те или иные инструменты. В ряде случаев пришлось пожертвовать общностью, строгостью и рядом технических деталей ради наглядности. Книга рассчитана на активного заинтересованного читателя. Поэтому в каждой главе приводятся ссылки на различную литературу, начиная от стандартных учебников и кончая монографиями, обзорами и оригинальными статьями, которые помогут более глубоко ознакомиться с обсуждаемой проблемой. Список литературы не претендует на полноту. В нем обращается внимание на наиболее простые и доступные источники. Для удобства читателей он снабжен комментариями, показывающими, что и где можно найти. Важно, чтобы читатель не только многое знал, но и умел решать элементарные задачи, связанные с анализом нелинейных явлений. Поэтому в книге приводится около сотни задач, использовавшихся при проведении семинаров. Объем книги примерно соответствует полугодовому вводному курсу, сопровождаемому семинарами, который читается студентам – математикам, физикам, вычислителям – на четвертом–пятом курсах. У этих студентов за плечами курсы математического анализа, линейной алгебры, математической физики, численных методов, теоретической физики. Однако большой интерес к курсу моделирования нелинейных явлений проявляли химики, биологи, инженеры, не обладающие столь солидной подготовкой. Их интересы также в определенной мере учтены. В книге обращается внимание на некоторые принципиальные результаты основных математических курсов, на которые опирается изложение. Осталось сказать, что предлагаемый материал отражает лишь небольшую часть нелинейной науки, тесно связанную с вычислительным экспериментом, и представляет только фрагмент огромной области исследований. Выбор материала отчасти диктовался субъективными пристрастиями автора. Представления нелинейной науки оказались созвучны творчеству Морица Эшера. В каждой главе помещена одна из работ этого художника. Развитие науки XX в. показало необходимость построения множества различных моделей для описания одного явления или объекта, создания альтернативных картин реальности. Мы вынуждены жить не в мире абсолютных законов, истин в последней инстанции, всеобъемлющих концепций, поэтому исследователям приходится иметь дело с моделями, взглядами, фиксирующими одно и игнорирующими многое другое. Мы должны играть, создавая миры, в которых от нашего "настоящего", слишком сложного и запутанного, взято совсем немного. Пожалуй, именно в этой подчеркнутой условности, умении выделить немногое, парадоксальности создаваемых миров, в кажущейся легкости и произвольности и состоит очарование работ Эшера. Лавина информации, порожденная компьютерами, заставила задуматься над тем, как ее понять, осмыслить, упорядочить, как воспользоваться тем богатством, которое нам досталось. Как разумно распорядиться открывшимися возможностями, отделить самое интересное от просто интересного? Решение оказалось по-эшеровски парадоксальным. Выход состоит в разработке междисциплинарных подходов, в создании новых миров. Становление и развитие кибернетики, синергетики, нелинейной динамики показали, что это не только возможно, но и захватывающе интересно. Не удивительно ли, что в журналах по нелинейной науке ("nonlinear science" – в англоязычных странах) можно увидеть статьи математиков и географов, психологов и физиков? Они осваивают новый нелинейный язык, который прячется за отдельными задачами, уравнениями, областями исследований. Возникает своеобразная натурфилософия компьютерной эры. Это игра с очень высокими ставками. В ходе ее может выясниться, какой смысл исследователи будут вкладывать в слово "понимать". Считаю приятным долгом выразить признательность своим учителям – С.П.Курдюмову, А.А.Самарскому, а также коллегам и ученикам, во многом определившим подбор материала и стиль изложения. Я очень благодарен В.Г.Комаровой за огромную помощь в подготовке рукописи, а также П.В.Куракину и С.А.Науменко, обратившим внимание на ряд неточностей в предыдущем издании. Об авторе
Доктор физико-математических наук, профессор. Заведующий отделом нелинейных процессов Института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН. Один из ведущих специалистов в области нелинейной динамики, автор более 500 научных трудов, около 100 научно-популярных статей и нескольких книг, изданных в России и в США. Среди них «Нестационарные диссипативные структуры и диффузионный хаос», «Современные проблемы нелинейной динамики» (URSS), «Синергетика и прогнозы будущего» (URSS), «Управление риском», «Нелинейная динамика и хаос. Основные понятия» (URSS), «Нелинейная динамика. Подходы, результаты, надежды» (URSS). Является редактором серии книг «Будущее прикладной математики» и председателем редакционных коллегий серий книг «Синергетика: от прошлого к будущему» и «Будущая Россия», выпускаемых издательством URSS. Наиболее известные его результаты — теория диффузионного хаоса, модели системы образования, исследовательский проект, связанный с созданием «теоретической истории», а также проект создания Национальной системы научного мониторинга опасных явлений и процессов в природной, техногенной и социальной сферах. Г. Г. Малинецкий — создатель и руководитель специализации «Нелинейные процессы» в Московском физико-техническом институте, профессор Московского государственного технического уни-верситета им. Н. Э. Баумана и Российской академии государственной службы при Президенте РФ. Является вице-президентом Нанотехнологического общества, лауреатом премии Правительства РФ в области образования. В последние годы занимается мягким моделированием, прогнозом бедствий и катастроф, кризисных явлений на основе методов нелинейной динамики, а также теории русел и джокеров, проблемами проектирования будущего. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||