Израилович М.Я. Синтез систем возбуждения квазигармонических автоколебаний

Оглавление

Введение

Системы, функционирующие по принципу самовозбуждения колебаний – автоколебательные системы – применяются в самых различных отраслях техники. Методам анализа автоколебательных систем посвящены весьма многочисленные публикации. Значительный вклад в развитие теории автоколебаний внесли отечественные ученые. В первую очередь следует отметить фундаментальную монографию А.А. Андронова, С.Э.Хайкина, А.А. Витта [15], а также монографии К.Ф. Теодорчика[16] и П.С. Ланды [17],[18]. Более или менее полный обзор публикаций по указанной проблематике мог бы составить предмет отдельного издания и поэтому выходит далеко за пределы данной монографии.

Существенным моментом, определяющим содержание настоящей монографии, является то обстоятельство, что большинство работ в данной области относится к анализу систем с заданной структурой как пассивной части, так и самого источника автоколебаний. Работы же, относящиеся к синтезу автоколебательных систем на основе тех или иных формализованных процедур достаточно немногочисленны.

По всей видимости, первой монографией в этой области является монография А.В. Репникова[19]. Следует также упомянуть монографию Г.М. Уланова [20], в которой в частности установлена связь задачи синтеза автоколебательных систем с задачей о накоплении возмущений Б.В. Булгакова. В указанных монографиях рассматриваются системы с линейной пассивной частью и решения получены на основе использования точных аналитических процедур. При этом в [19] используется один из наиболее развитых методов теории оптимального управления – принцип максимума [21].

Для одного класса существенно нелинейных систем, а именно виброударных систем в предположении о линейности уравнений в промежутках между соударениями задачи синтеза источника возбуждения автоколебаний также решены на основе процедур, сочетающих метод точечных преобразований [15] и метода моментов [2] и получены точные аналитические решения. Соответствующие результаты, основанные на более ранних публикациях авторов, для простейшей одномассовой системы изложены в одной из глав монографии [22], а для систем более сложной структуры – в монографии [23].

Задачи синтеза оптимальных виброударных систем рассматривались и в работах других исследователей – в частности, в монографии [24], а также в целом ряде работ других исследователей. Обзор этих работ также выходит за рамки настоящей монографии. При этом следует отметить, что виброударные системы являются хотя и важным как в практическом, так и в теоретическом плане, но все же частным классом колебательных систем.

Для общего класса колебательных систем характерно наличие пассивных нелинейностей – упругих, диссипативных, либо нелинейностей более сложного типа, которые во многих случаях должны учитываться в дифференциальных уравнениях, описывающих их динамику. Для анализа динамики таких систем наиболее эффективными оказываются приближенные аналитические методы – в частности асимптотический метод [1], метод гармонической линеаризации [8].

В силу этого при решении задач синтеза автоколебательных систем при учете заданных (пассивных) нелинейностей необходимо было найти наиболее эффективное сочетание приближенных методов анализа динамики и одного из методов теории оптимального управнения.

Такого рода процедура, основанная на сочетании первого приближения асимптотического метода и метода моментов для систем с одной степенью свободы, была предложена в статье [25]. Для систем со многими степенями свободы аналогичная схема, основанная на методе гармонической линеаризации, изложена в статье [26].

Следует отметить, что процедура, сходная с изложенной в работе [26], использовалась ранее в работе В.К.Асташева, В.И.Бабицкого и М.Е.Герца[31]. Различие этих процедур заключается в том, что в [31]частота резонансных автоколебаний не задавалась ранее, а определялась из условия достижения энергетической границы автоколебаний. В силу этого при ограничении на амплитуду источника возбуждения его структура соответствует закону отрицательного сухого трения. Эти результаты изложены также в монографии В.И.Бабицкого[22]. Авторезонансные системы находят весьма широкое применение. Их анализ рассматривался в ряде работ, среди которых следует в первую очередь упомянуть работы В.К. Асташева [27], М.Е.Герца и М.М.Герца [22].

Однако в этих работах структура источника возбуждения, как правило, задается из инженерных соображений, после чего осуществляется анализ периодических режимов рассматриваемой системы.

При анализе и синтезе систем автоматического управления, в частности периодических режимов релейных систем, могут быть использованы процедуры иного ряда. Так, например, в работе Н.В.Фалдина[29] используется метод фазового годографа.

Однако в данной книге рассматриваются только задачи синтеза автоколебательных систем, режимы которых являются квазигармоническими, что соответствует режимам авторезонансного типа. При этом источник возбуждения предполагается аддитивным, что соответствует применительно к механическим системам, силовой или кинематической схемам возбуждения.

Существует и другая схема возбуждения, а именно параметрическое возбуждения. Для систем с одной степенью свободы задачи синтеза параметрических законов возбуждения достаточно подробно изложены в монографии [30].

В первой главе настоящей монографии рассматриваются системы с одной степенью свободы, при этом предполагается, что эти системы являются квазигармоническими, т.е. линейное демпфирование, заданная пассивная нелинейность и подлежащий определению источник возбуждении предполагаются малыми. В силу этого динамика таких систем описывается первым приближением асимптотического метода. Рассматривается общая процедура синтеза закона возбуждения при нелинейности произвольного типа, а также более конкретизированных типах нелинейностей - чисто упругого, либо чисто диссипативного типа, а также автоколебательного типа. Рассматриваются случаи двух типов ограничений на интенсивность возбуждения: ограничение на его амплитудное значение и интегральное квадратичное значение.

Излагаются способы построения возбуждающих воздействий, обеспечивающих устойчивость и единственность расчетного режима с максимальной амплитудой и заданной частотой. Показано, что используемая процедура оказывается эффективной и в случае отсутствия нелинейности.

Во второй главе рассматриваются системы с произвольным конечным числом степеней свободы в случае симметричных режимов. Для анализа динамики систем используется метод гармонической линеаризации. При этом квазигармонической является не сама система, а периодическое решение, т.е. в отличие от асимптотического метода, входящие в систему нелинейности не предполагаются малыми, а малыми предполагаются высшие гармоники периодического режима. Основанная на применении гармонической линеаризации в сочетании с методами теории оптимального управления процедура позволяет получить решение задачи синтеза закона возбуждения практически в замкнутом виде. Единственная вычислительная процедура сводится только к решению алгебраического уравнения относительно максимальной амплитуды автоколебаний.

Также как и в первой главе изложены способы стабилизации расчетного режима с максимальной амплитудой и заданной частотой.

В третьей главе процедура обобщается на случаи несимметричных колебаний. Такая несимметричность может иметь место либо за счет несимметрии пассивной нелинейности, либо при необходимости учета постоянной (или медленно меняющейся) нагрузки.

В четвертой главе изложенные во второй главе процедуры применяются для систем без пассивной нелинейности. Показано, что при интегральном квадратичном ограничении на интенсивность возбуждения оказывается возможным синтез такой его структуры, которая обеспечивает генерацию чисто гармонических автоколебаний, определяемых не как приближенное, а как точное решение уравнения автоколебательной системы.

Рассматривается также задача синтеза автоколебательной системы на основе схемы электродинамического возбудителя автоколебаний. Кроме того, решена задача синтеза закона возбуждения автоколебаний в одномерной системе с распределенными параметрами.

В пятой главе рассматривается задача возбуждения автоколебаний при ограничении на амплитуду возбуждающего воздействия. Специфика этой задачи состоит в том, что в этом случае в установившемся периодическом режиме процедура построения оптимального (или квазиоптимального) закона возбуждения позволяет определить только точки, соответствующие моментам переключений. В силу этого гиперповерхность переключений может быть построена таким образом, что система обладает некоторыми дополнительными полезными свойствами. К числу таких свойств относится инвариантность относительно того или иного параметра системы, который в процессе ее функционирования подвержен изменению. При этом сохраняется также оптимальность режима автоколебаний. На конкретных примерах изложена процедура синтеза соответствующих функций переключения.

Об авторе

Доктор технических наук, главный научный сотрудник Института машиноведения им.А.А.Благонравова (ИМАШ) РАН, профессор кафедры физики МИРЭА. Автор множества публикаций в ведущих изданиях РАН, таких как "Доклады РАН", "Известия РАН. Механика твердого тела", "Известия РАН. Теория и системы управления", журнал "Машиноведение" (с 1990 г. – "Проблемы машиностроения и надежности машин"), а также четырех монографий. В 1986 г. М.Я.Израилович был удостоен звания "Изобретатель СССР"; он является автором 30 изобретений.