Бардзокас Д.И., Зобнин А.И. Математическое моделирование физических процессов в композиционных материалах периодической структуры

Оглавление

Предисловие

Быстрое развитие науки о материалах, как результат исследования в разных областях естественных наук, тесно связано с запросами современной техники. Технический прогресс, с одной стороны, порождает необходимость разработки новых конструкционных материалов, а с другой – в значительной степени обуславливается результатами этих разработок. В последние годы, в короткие сроки, были получены совершенно новые материалы с заранее заданными свойствами, разработана технология их производства и методы расчета. Современная наука о таких материалах представляется чрезвычайно разветвленной и далекой от своего завершения.

Среди новых материалов особое место занимают композиционные материалы, обладающие целым комплексом различных свойств, рациональное сочетание которых позволяет получать оптимальные конструкции. Композиционные полимерные материалы широко применяются в химическом и общем машиностроении. Из них изготавливаются различные емкостные аппараты и трубопроводы, работающие в агрессивных средах, зубчатые колеса и т.д. Сочетание высоких прочностных свойств и минимального удельного веса обуславливает широкое применение композиционных материалов в автомобилестроении и сельскохозяйственном машиностроении, судостроении, в авиационной и ракетно-космической технике.

Экспериментальное определение свойств композиционных материалов с различными схемами армирования требует весьма большого объема дорогостоящих исследований. В связи с этим возникает необходимость построения теоретических моделей композиционных материалов, которые позволили бы определить не только осредненные характеристики, но и описать локальную структуру процессов, происходящих в таких средах под действием связанных полей.

Математическое моделирование физико-механического поведения сильно неоднородной композиционной среды осуществляется с помощью уравнений с быстро меняющимися коэффициентами, которые характеризуют свойства отдельных компонентов материала. Такой подход существенно затрудняет решение соответствующих краевых задач даже при использовании современных компьютеров. С этим связана необходимость создания таких математических моделей, которые приводят к более простым уравнениям с осредненными коэффициентами. При этом, естественно, осредненные уравнения должны быть такими, чтобы решение соответствующей краевой задачи было близким к решению исходной. Опыт показывает, что строгие математические построения часто позволяют более глубоко понять процессы, происходящие в композиционных материалах при их нагружении.

Очень часто современные композиты имеют регулярную или почти регулярную структуру, причем масштаб неоднородности весьма мал по сравнению с размерами тела в целом. В случае композитов регулярной структуры быстро осциллирующие коэффициенты уравнений являются периодическими функциями, и математический анализ этих уравнений может быть проведен на основе асимптотического метода осреднения, разработанного и математически обоснованного в 70Нх годах XX века. Математический метод усреднения проверяется доказательством сходимости решений исходной и усредненной задач при стремлении размера периодической ячейки к нулю и полученными оценками этого метода. Использование асимптотического метода усреднения позволяет существенно расширить круг решенных задач для композитов, конструкционно-неоднородных материалов и конструктивных элементов, обладающих регулярной структурой. К их числу относятся задачи теории упругости, теплопроводности, термо- и электроупругости.

Авторы благодарят Ламброса И.Бардзокаса за финансовую поддержку настоящего издания.

Введение. Модели композиционных материалов

Композиционные материалы

"И в тот же день фараон дал повеление приставникам над народом и надзирателям, говоря: Не давайте впредь соломы для делания кирпичей, как вчера и третьего дня. Пусть они сами собирают солому. А кирпичей наложите то же урочное число, какое они делали вчера и третьего дня, и не убавляйте, они праздны, потому и кричат "пойдем, принесем жертву Богу нашему"" (Исход, глава 5, стихи 6–8).

Так ответил египетский фараон на требование Моисея отпустить еврейский народ – прекращались поставки соломы, которую добавляли в глину при производстве кирпичей для увеличения их прочности. Библия свидетельствует, таким образом, о широком применении в древнем Египте искусственного композиционного строительного материала. История появления композиционных материалов затеряна в глубине веков, и это не удивительно, ведь человек всегда был окружен природными композитами. К ним относятся древесина, стебли и листья растений, раковины моллюсков, а также кости, мышцы и кровеносные сосуды животных, да и самого человека. При этом биологические композиты, как показывают современные расчеты, сотворены в самых различных отношениях оптимальным образом, а значит, всегда будут служить человеку примером для подражания.

В наше время произошел революционный переворот в строительстве, связанный с появлением таких композиционных материалов, как бетон и железобетон. Современная авиационная и космическая техника немыслима без широкого применения таких композиционных материалов, как стеклопластики, углепластики, боропластики, углерод-углеродные композиты, металлокомпозиты. Производство их растет, себестоимость снижается, а значит, становится перспективным и выгодным использование композитов в транспорте, быту и здравоохранении. Наступивший век станет веком композитов.

Математические модели композиционных материалов

Что же такое композиционный материал с точки зрения современной науки? Прежде, чем ответить на этот вопрос, вспомним, что в названии нашей книги говорится о математическом моделировании. Этими словами подчеркивается, что в любой теории речь идет не о самом физическом объекте, а о некоторой его математической модели, более или менее точно описывающей поведение реального объекта.

С XIX века известны два подхода к рассмотрению свойств твердых тел – молекулярный подход Луи Навье и континуальный подход Огюстена Коши, знаменитых французских ученых. Первый подход был основан на рассмотрении тела как системы взаимодействующих молекул, он привел к довольно строгим кристаллофизическим теориям. Второй подход заключается в замене реального тела воображаемой сплошной средой, непрерывно заполняющей пространство. Для описания поведения сплошной среды постулируются определяющие уравнения. Полученная модель считается пригодной для расчета процессов в некоторых реальных телах, если результаты расчетов с достаточной точностью соответствуют результатам макроскопического эксперимента. Именно в рамках такого подхода, называемого также феноменологическим и представляющего собой основу механики сплошной среды, мы и будем вести изложение в нашей книге.

Всегда важно помнить о гипотезах, положенных в основу модели, и о пределах ее применимости. Так сама гипотеза сплошной среды теряет справедливость, если речь идет об объектах молекулярных размеров, например, о вершине трещины. В упругом теле континуальная модель предсказывает нереальные бесконечные напряжения в вершине трещины при любых самых незначительных нагрузках. Но это означает лишь то, что модель следует дополнить описанием концевой зоны трещины. Построенная модель будет иметь право на существование, если она будет правильно описывать то, что должна описывать. В данном случае это предельные нагрузки, скорости распространения трещины и долговечность тела с трещиной.

Однородной обычно называют среду, одинаковые объемы которой имеют одинаковые свойства. Аморфный материал (например, стекло) очевидно, является однородным в рамках континуального подхода. Технические же сплавы являются поликристаллическими, и возникает вопрос, а можно ли их моделировать однородной сплошной средой. Здесь не существует однозначного ответа, все зависит от того, какую задачу мы решаем. Если необходимо оценить возможность образования микротрещин в стыках зерен, следует решать задачу для неоднородного тела, состоящего из нескольких кристаллических зерен различной ориентации. Но, рассчитывая прогиб стержня от действия определенной силы, мы можем считать стержень однородным. Ошибка от замены реального материала однородной сплошной средой не должна быть существенной, если толщина стержня измеряется сантиметрами, а размеры зерен составляют сотые доли миллиметра.

Подобные проблемы возникают и при расчете элементов конструкций из композиционного материала, например из стеклопластика. Решая задачу о действии внутреннего давления на стеклопластиковую трубу, можно с успехом использовать модель эквивалентной однородной сплошной среды. Анализ же расслоений между волокном и смолой или обрывов волокон проводят, решая задачи об одном или нескольких волокнах, погруженных в однородную среду. Такие приемы напоминают исследования с помощью микроскопа при различных увеличениях и называются, кстати, принципом микроскопа.

Итак, вернемся к определению композиционных материалов с точки зрения математического описания происходящих в них физических процессов. Обычно под композиционными материалами или композитами понимают многофазные материалы, состоящие из двух или большего числа компонентов. Компоненты их сохраняют свою индивидуальность, между компонентами существуют границы раздела. Один из компонентов, заполняющий связным образом пространство, называют матрицей или связующим. Другие компоненты, занимающие изолированные области, носят название включений (иногда армирующего материала или арматуры). Обычно размеры включений и расстояния между ними с одной стороны велики в сравнении с молекулярными, а с другой стороны малы по сравнению с характерными размерами задачи. Такой композит однороден в макроскопическом масштабе (размеры рассматриваемого тела), но неоднороден в микроскопическом масштабе (размеры включений и расстояния между ними). Если все размеры включения имеют один порядок, то его могут назвать зерном или дисперсной частицей, а композит – дисперсным или гранулированным. В случае сильно вытянутых включений говорят о волокнах и волокнистом композите. Если включения представляют собой параллельные цилиндры, то материал называют волокнистым однонаправленным композитом. Слоисто-волокнистые композиты состоят из однонаправленных слоев с различной ориентацией волокон.

Свойства композиционных материалов

Характерной особенностью композиционных материалов является как возможность объединения полезных свойств отдельных компонентов, так и проявление ими новых свойств, отличных от свойств компонентов. Во многих случаях композиционные материалы разрабатываются и создаются одновременно с конструкцией. Это в первую очередь относится к волокнистым однонаправленным и намоточным слоисто-волокнистым материалам. Материалы и конструкции из них изготавливаются одновременно путем непрерывной намотки. Технологические условия процесса намотки определяют возможные проекты изделия, при этом материал формируется так, чтобы наиболее эффективно воспринимать действующие напряжения.

Для композиционных материалов открываются широкие возможности варьирования их физико-механических свойств, а значит и оптимизации конструкций из композиционных материалов. Экспериментальное определение свойств композиционных материалов со всевозможными схемами армирования требует весьма большого объема дорогостоящих исследований. Поэтому наиболее реален путь построения таких теоретических моделей композиционных материалов, которые позволят определять не только осредненные характеристики, но и описать локальные особенности процессов, происходящих в таких средах.