|
Оглавление
От редактора
Наряду с весьма наглядными, но не строгими рассуждениями Штейнера здесь изложены также два более поздних решения изопериметрической задачи, заполняющие пробелы штейнеровских рассуждений. Впрочем, следует отметить, что "строгое доказательство основной теоремы", изложенное в §14, является не таким уж строгим – здесь указана в первую очередь идея, позволяющая избежать ошибки Штейнера, однако детали рассуждения не проведены со всей полнотой, чтобы не затруднить малоопытного читателя. Более подробно изложено второе "послештейнеровское " решение изопериметрической задачи, опирающееся на некоторые понятия, относящиеся к математическому анализу (§15); поскольку это решение является самым сложным в книге, естественно было напечатать его мелким шрифтом. Наряду с решением изопериметрической задачи эта книга содержит также разбор ряда примыкающих сюда более простых задач, относящихся к отысканию многоугольников наибольшей площади, удовлетворяющих тем или иным дополнительным условиям. Этот круг вопросов и изящен, и прост, и "геометричен " в лучшем смысле этого слова, так что задачи такого рода давно уже стали излюбленными в школьных и студенческих кружках. Впрочем, следует отметить, что целый ряд подобных задач, в первую очередь стереометрических (стереометрическим задачам посвящены последние параграфы этой книги), представляет значительные трудности даже для опытных геометров; многие из этих задач не решены еще до сих пор. В заключение следует сказать еще несколько слов об авторе этой книги. Профессор Дмитрий Антонович Крыжановский (1883–1939) почти всю свою жизнь провел в Одессе, за исключением короткого периода, когда он в связи с отчислением из Одесского университета за участие в революционном движении был вынужден уехать в Германию. Там Дмитрий Антонович учился у знаменитых математиков – Клейна, Минковского и Гильберта. В течение долгих лет Крыжановский читал лекции в Одесском университете и оставил светлую память у своих учеников, многие из которых стали впоследствии видными учеными. Его собственные научные интересы лежали ближе к области математического анализа, однако и в своем преподавании и в литературной деятельности он неоднократно обращался и к алгебре, и к геометрии. В нашу научно-популярную литературу Д.А.Крыжановский вошел как переводчик нескольких книг своего учителя Ф.Клейна и двумя оригинальными книжками – "Неравенства" (1934) и "Изопериметры". Новое издание второй книги, впервые вышедшей в свет еще в 1913 году, но до сих пор не утратившей интереса, и предлагается сейчас читателю. Это издание сопровождается списком литературы, в основном вышедшей в свет после последнего издания книги Д.А.Крыжановского (1938), и кратким приложением, посвященным двум задачам, весьма близким теме этой книги. И.М.Яглом
Предисловие
Элементарно-геометрическая теория изопериметров представляет собою одну из наиболее изящных и увлекательных глав приложений основных методов и теорем евклидовой геометрии к исследованию ряда максимальных и минимальных свойств как плоских, так и пространственных образов. В то время как задачи на построение и на доказательство теорем – эта излюбленнейшая область применения элементарно-геометрических сведений – страдает отрывочностью отдельных проблем, здесь мы имеем дело со связной теорией, отдельные положения которой нанизаны на одну логическую нить. С другой стороны, вопрос о существовании искомых экстремальных объектов связывает теорию изопериметров с более современной математической проблематикой и дает повод познакомить читателя с несколькими идеями, играющими основную роль в математическом анализе (в широком смысле). Все это делает ознакомление с началами теории изопериметров как нельзя более подходящей темой для занятий в математических кружках старших классов средней школы и на первых курсах математических отделений педагогических институтов и университетов, а также для самостоятельного изучения лицами, желающими пополнить свое школьное математическое образование. Основное содержание настоящей книжки было в первый раз опубликовано в 1912 году под названием "О максимальных и минимальных свойствах плоских фигур" в журнале "Вестник опытной физики и элементарной математики", а в 1913 году издано отдельной брошюрой, которая встретила хороший прием среди математиков. Такой успех я объясняю почти исключительно собранным материалом, в первую очередь удивительно красивыми по своей простоте доказательствами Штейнера, и затем принципиальной важностью самой темы, и меньше всего искусством автора-компилятора. Эта книжка предполагает у читателя в первых 14 параграфах только знание планиметрии, §16 и 17 требуют наличия простейших сведений из стереометрии, а §15 пользуется несколькими понятиями и положениями из анализа, которые, впрочем, разъясняются и излагаются (без доказательств) в этом параграфе. Параграф 5, посвященный выяснению принципиального вопроса о существовании наибольших и наименьших величин среди данной их совокупности, может без ущерба для понимания остального материала быть прочтен после §13, если читателю он покажется при первом чтении малоинтересным или же слишком трудным. Если читателям покажется трудным §15, его можно свободно пропустить; он напечатан мелким шрифтом. Этими указаниями определяется та широкая аудитория, к которой обращается автор. Литература предмета, которой мне приходилось пользоваться, названа в соответствующих местах книги. Главным образом это – мемуары самого Штейнера, работы Эдлера и Каратеодори, обзорная статья Кизини (см. сноску 2 на стр.93) и книга Штурма (см. стр.57). Автор
Одесса, 30 июля 1936 г. Об авторе
Крыжановский Дмитрий Антонович Математик, профессор Одесского университета. Окончил Новороссийский университет. Почти всю свою жизнь провел в Одессе, за исключением короткого периода, когда в связи с отчислением из университета за участие в революционном движении был вынужден уехать в Германию. Там он учился в Геттингенском университете у выдающихся немецких математиков — Феликса Клейна, Германа Минковского и Давида Гильберта. В течение долгих лет читал лекции в Одесском университете. Его научные интересы лежали ближе к области математического анализа, однако и в своем преподавании, и в научной деятельности он неоднократно обращался и к алгебре, и к геометрии. Известность получили сделанные им переводы нескольких книг его учителя Ф. Клейна, а также оригинальные работы, в том числе "Элементы теории неравенств" (1936; переизд. в URSS) и "Изопериметры" (1913, 1938, 1959; переизд. в URSS).
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||