| ТОМ 1 |
| Предисловие |
| Глава 1. | Основные понятия |
| | 1.1. | Линейная симплектическая геометрия |
| | 1.2. | Симплектические и пуассоновы многообразия |
| | 1.3. | Теорема Дарбу |
| | 1.4. | Вложения и погружения симплектических многообразий. Симплектические и лагранжевы подмногообразия |
| | 1.5. | Интегрируемые по Лиувиллю гамильтоновы системы. Теорема Лиувилля |
| | 1.6. | Нерезонансные и резонансные системы |
| | 1.7. | Число вращения |
| | 1.8. | Отображение момента интегрируемой системы и его бифуркационная диаграмма |
| | 1.9. | Простой пример интегрируемой механической системы |
| | 1.10. | Невырожденные точки отображения момента |
| | | 1.10.1. | Случай двух степеней свободы |
| | | 1.10.2. | Интегралы Ботта с точки зрения четырехмерного симплектического многообразия |
| | | 1.10.3. | Определение невырожденной особенности в случае многих степеней свободы |
| | | 1.10.4. | Типы невырожденных особенностей в многомерном случае |
| | 1.11. | Основные типы эквивалентностей динамических систем |
| Глава 2. | Топология слоений, порождаемых функциями Морса на двумерных поверхностях |
| | 2.1. | Простые функции Морса |
| | 2.2. | Граф Риба функции Морса |
| | 2.3. | Понятие атома |
| | 2.4. | Простые атомы |
| | | 2.4.1. | Случай минимума и максимума. Атом A |
| | | 2.4.2. | Случай ориентируемого седла. Атом B |
| | | 2.4.3. | Случай неориентируемого седла. Атом \widetilde B |
| | | 2.4.4. | Классификация простых атомов |
| | 2.5. | Простые молекулы |
| | | 2.5.1. | Определение простой молекулы |
| | | 2.5.2. | Теорема реализации |
| | | 2.5.3. | Примеры простых функций Морса и простых молекул |
| | | 2.5.4. | Классификация минимальных простых функций Морса на поверхностях малого рода |
| | 2.6. | Сложные атомы |
| | 2.7. | Классификация атомов |
| | | 2.7.1. | Склейка атомов из крестов |
| | | 2.7.2. | Алгоритм построения полного списка всех атомов |
| | | 2.7.3. | Алгоритм распознавания одинаковых атомов |
| | | 2.7.4. | Задание атома в виде f-графа |
| | | 2.7.5. | Задание ориентированного атома в виде некоторой подгруппы в группе \mathbb Z*\mathbb Z_2 |
| | | 2.7.6. | Изображение атомов в виде погружений графов в плоскость |
| | | 2.7.7. | Атомы как клеточные разбиения двумерных замкнутых поверхностей |
| | | 2.7.8. | Таблица атомов малой сложности |
| | | 2.7.9. | Зеркальные атомы |
| | 2.8. | Группы симметрий ориентированных атомов и универсальное накрывающее дерево |
| | | 2.8.1. | Симметрии f-графов |
| | | 2.8.2. | Универсальное накрывающее дерево над f-графами. f-граф как фактор-пространство универсального дерева |
| | | 2.8.3. | Соответствие между f-графами и подгруппами в группе \mathbb Z*\mathbb Z_2 |
| | | 2.8.4. | Граф J. Группы симметрий f-графа и его связь с самим f-графом. Максимально симметричные f-графы |
| | | 2.8.5. | Список плоских максимально симметричных атомов. Примеры максимально симметричных атомов произвольного рода |
| | | 2.8.6. | Представление атомов в виде факторов плоскости Лобачевского по подгруппам ее группы изометрий. Атомы как поверхности постоянной отрицательной кривизны |
| | 2.9. | Общее понятие молекулы |
| | 2.10. | Примеры сложных функций Морса и сложных молекул |
| | 2.11. | Аппроксимация сложных молекул простыми. Деформации функций Морса |
| | 2.12. | Классификация потоков Морса–Смейла на двумерных поверхностях при помощи атомов и молекул |
| Таблицы к главе 2 |
| Глава 3. | Грубая лиувиллева эквивалентность интегрируемых систем с двумя степенями свободы |
| | 3.1. | Классификация невырожденных критических подмногообразий на изоэнергетических 3-поверхностях |
| | 3.2. | Топологическое строение окрестности особого слоя слоения Лиувилля |
| | 3.3. | Топологически устойчивые гамильтоновы системы |
| | 3.4. | Пример неустойчивой интегрируемой системы |
| | 3.5. | 2-атомы и 3-атомы |
| | 3.6. | Классификация 3-атомов |
| | 3.7. | Атомы как перестройки торов Лиувилля |
| | 3.8. | Молекулы интегрируемой системы |
| | 3.9. | Сложность интегрируемых систем |
| Таблицы к главе 3 |
| Глава 4. | Лиувиллева эквивалентность интегрируемых систем с двумя степенями свободы |
| | 4.1. | Допустимые системы координат на границе 3-атома |
| | 4.2. | Матрицы склейки и избыточные оснащения молекулы |
| | 4.3. | Инварианты, числовые метки r, \varepsilon , n |
| | | 4.3.1. | Метки r_i и \varepsilon _i |
| | | 4.3.2. | Метки n_k и семьи в молекуле |
| | 4.4. | Меченая молекула — полный инвариант лиувиллевой эквивалентности |
| | 4.5. | Влияние ориентаций |
| | | 4.5.1. | Изменение ориентации на ребре молекулы |
| | | 4.5.2. | Изменение ориентации 3-многообразия Q |
| | | 4.5.3. | Изменение ориентации гамильтонова векторного поля |
| | 4.6. | Теорема реализации |
| | 4.7. | Простые примеры молекул |
| | 4.8. | Гамильтоновы системы с критическими бутылками Клейна |
| | 4.9. | Топологические препятствия к интегрируемости гамильтоновых систем с двумя степенями свободы |
| | | 4.9.1. | Класс (M) |
| | | 4.9.2. | Класс (H) |
| | | 4.9.3. | Класс (Q) трехмерных многообразий, склеенных из блоков двух типов |
| | | 4.9.4. | Класс (W) многообразий Вальдхаузена (граф-многообразий) |
| | | 4.9.5. | Класс (H') многообразий, отвечающих интегрируемым гамильтонианам с ручными интегралами |
| | | 4.9.6. | Теорема о совпадении четырех классов многообразий |
| | | 4.9.7. | Доказательство теоремы 4.3 |
| Глава 5. | Траекторная классификация интегрируемых систем с двумя степенями свободы. Первый шаг |
| | 5.1. | Функция вращения системы на ребре молекулы. Вектор вращения |
| | 5.2. | Редукция трехмерной траекторной классификации к двумерной классификации с точностью до сопряженности |
| | | 5.2.1. | Трансверсальные сечения |
| | | 5.2.2. | Поток Пуанкаре и гамильтониан Пуанкаре |
| | 5.3. | Редукция двух степеней свободы к одной |
| | 5.4. | Общая концепция построения траекторных инвариантов интегрируемых гамильтоновых систем |
| Глава 6. | Классификация гамильтоновых потоков на двумерных поверхностях с точностью до топологической сопряженности |
| | 6.1. | Инварианты гамильтоновой системы на 2-атоме |
| | | 6.1.1. | \Lambda -инвариант |
| | | 6.1.2. | \Delta -инвариант и Z-инвариант |
| | 6.2. | Теорема классификации гамильтоновых потоков на 2-атомах с точностью до топологической сопряженности |
| | 6.3. | Теорема классификации гамильтоновых потоков на 2-атомах с инволюцией с точностью до топологической сопряженности |
| | 6.4. | Операция вклейки-вырезания |
| | 6.5. | Описание области значений \Delta - и Z-инвариантов |
| | 6.6. | Теорема классификации гамильтоновых систем на замкнутой поверхности с точностью до топологической сопряженности |
| Глава 7. | Гладкая сопряженность гамильтоновых потоков на двумерных поверхностях |
| | 7.1. | Построение гладких инвариантов на 2-атомах |
| | 7.2. | Теорема классификации гамильтоновых потоков на 2-атомах с точностью до гладкой сопряженности |
| Глава 8. | Траекторная классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Второй шаг |
| Введение |
| | 8.1. | Избыточное t-оснащение молекулы (топологический случай). Основная лемма о t-оснащениях |
| | 8.2. | Группа замен трансверсальных сечений. Операция вклейки-вырезания |
| | 8.3. | Действие группы замен G\mathbb P на множестве избыточных оснащений |
| | 8.4. | Три общих принципа построения инвариантов |
| | 8.5. | Допустимые избыточные оснащения и их реализация |
| | | 8.5.1. | Реализация оснащения на атоме |
| | | 8.5.2. | Реализация оснащения на ребре молекулы |
| | | 8.5.3. | Реализация избыточного t-оснащения на всей молекуле |
| | 8.6. | Построение траекторных инвариантов в топологическом случае. Определение t-молекулы |
| | | 8.6.1. | R-инвариант и индекс вращения на ребре |
| | | 8.6.2. | b-инвариант (на радикалах молекулы) |
| | | 8.6.3. | \widetilde\Lambda -инвариант |
| | | 8.6.4. | \widetilde \Delta \widetilde Z[\widetilde \theta] -инвариант |
| | | 8.6.5. | Окончательное определение t-молекулы интегрируемой системы |
| | | 8.6.6. | Влияние ориентации на инварианты |
| | 8.7. | Теорема топологической траекторной классификации интегрируемых систем с двумя степенями свободы |
| | 8.8. | Частный случай: простые интегрируемые системы и их топологическая траекторная классификация |
| | 8.9. | Теория гладкой траекторной классификации |
| Глава 9. | Лиувиллева классификация интегрируемых систем с двумя степенями свободы в четырехмерных окрестностях особых точек |
| | 9.1. | L-тип четырехмерной особенности |
| | 9.2. | Круговая молекула четырехмерной особенности |
| | 9.3. | Случай центр-центр |
| | 9.4. | Случай центр-седло |
| | 9.5. | Случай седло-седло |
| | | 9.5.1. | Структура особого слоя |
| | | 9.5.2. | Cl-тип особенности |
| | | 9.5.3. | Список особенностей типа седло-седло малой сложности |
| | 9.6. | Представление четырехмерной особенности типа седло-седло как почти прямого произведения двумерных атомов |
| | 9.7. | Доказательства теорем 9.3 и 9.4 |
| | 9.8. | Случай особенности типа фокус-фокус |
| | | 9.8.1. | Структура особого слоя типа фокус-фокус |
| | | 9.8.2. | Классификация особенностей типа фокус-фокус |
| | | 9.8.3. | Модельный пример особенности типа фокус-фокус и теорема реализации |
| | | 9.8.4. | Круговая молекула и группа монодромии особенности типа фокус-фокус |
| | 9.9. | Представление многомерных невырожденных особенностей слоений Лиувилля в виде почти прямых произведений |
| Таблицы к главе 9 |
| Список литературы |
| ТОМ 2 |
| Глава 1. | Методы вычисления инвариантов интегрируемых гамильтоновых систем |
| | 1.1. | Общая схема анализа топологии лиувиллева слоения |
| | | 1.1.1. | Построение отображения момента |
| | | 1.1.2. | Построение бифуркационной диаграммы |
| | | 1.1.3. | Проверка боттовости системы |
| | | 1.1.4. | Описание атомов системы |
| | | 1.1.5. | Построение молекулы системы на данном уровне энергии |
| | | 1.1.6. | Вычисление меток |
| | 1.2. | Методы вычисления меток |
| | 1.3. | Метод круговых молекул |
| | 1.4. | Список основных, наиболее часто встречающихся круговых молекул |
| | | 1.4.1. | Круговые молекулы регулярных точек бифуркационной диаграммы |
| | | 1.4.2. | Круговые молекулы, отвечающие невырожденным особенностям отображения момента |
| | 1.5. | Структура слоения Лиувилля около особых точек, отвечающих вырожденным одномерным орбитам |
| | 1.6. | Типичные круговые молекулы особых точек, отвечающих одномерным вырожденным орбитам |
| | 1.7. | Подсчет меток r и \varepsilon с помощью функции вращения |
| | 1.8. | Подсчет метки n с помощью функции вращения |
| | 1.9. | Связь меток молекулы с топологией 3-многообразия Q |
| Таблицы к главе 1 |
| Глава 2. | Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях |
| | 2.1. | Постановка задачи |
| | 2.2. | Топологические препятствия к интегрируемости геодезических потоков на двумерных поверхностях |
| | 2.3. | Два примера интегрируемых геодезических потоков |
| | | 2.3.1. | Поверхности вращения |
| | | 2.3.2. | Метрики Лиувилля |
| | 2.4. | Описание метрик, геодезические потоки которых интегрируемы при помощи линейных или квадратичных интегралов. Локальная теория |
| | | 2.4.1. | Некоторые общие свойства полиномиальных интегралов геодезических потоков. Локальная теория |
| | | 2.4.2. | Описание римановых метрик, геодезические потоки которых допускают линейный интеграл. Локальная теория |
| | | 2.4.3. | Описание римановых метрик, геодезические потоки которых допускают квадратичный интеграл. Локальная теория |
| | 2.5. | Линейно и квадратично интегрируемые геодезические потоки на замкнутых поверхностях |
| | | 2.5.1. | Случай тора |
| | | 2.5.2. | Случай бутылки Клейна |
| | | 2.5.3. | Случай сферы |
| | | 2.5.4. | Случай проективной плоскости |
| Глава 3. | Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков на двумерных поверхностях |
| | 3.1. | Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков на торе |
| | 3.2. | Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков на бутылке Клейна |
| | | 3.2.1. | Случай квадратичного интеграла |
| | | 3.2.2. | Случай линейного интеграла |
| | | 3.2.3. | Случай квазилинейного интеграла |
| | | 3.2.4. | Случай квазиквадратичного интеграла |
| | 3.3. | Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков на двумерной сфере |
| | | 3.3.1. | Случай квадратичного интеграла |
| | | 3.3.2. | Случай линейного интеграла |
| | 3.4. | Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков на проективной плоскости |
| | | 3.4.1. | Случай квадратичного интеграла |
| | | 3.4.2. | Случай линейного интеграла |
| Глава 4. | Траекторная классификация интегрируемых геодезических потоков на двумерных поверхностях и функции вращения |
| | 4.1. | Случай тора |
| | | 4.1.1. | Потоки с простыми бифуркациями (атомами) |
| | | 4.1.2. | Потоки со сложными бифуркациями (атомами) |
| | 4.2. | Случай сферы |
| | 4.3. | Примеры интегрируемых геодезических потоков на сфере |
| | | 4.3.1. | Трехосный эллипсоид |
| | | 4.3.2. | Стандартная сфера |
| | | 4.3.3. | Сфера Пуассона |
| | 4.4. | Нетривиальность классов траекторной эквивалентности и метрики с замкнутыми геодезическими |
| Глава 5. | Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях динамики тяжелого твердого тела |
| | 5.1. | Интегрируемые случаи в задаче о движении твердого тела и некоторых ее обобщениях |
| | 5.2. | Топологический тип изоэнергетических 3-поверхностей |
| | | 5.2.1. | Топология 3-поверхности и бифуркационная диаграмма |
| | | 5.2.2. | Случай Эйлера |
| | | 5.2.3. | Случай Лагранжа |
| | | 5.2.4. | Случай Ковалевской |
| | | 5.2.5. | Случай Жуковского |
| | | 5.2.6. | Случай Сретенского |
| | | 5.2.7. | Случай Клебша |
| | | 5.2.8. | Случай Стеклова |
| | 5.3. | Лиувиллева классификация систем случая Эйлера |
| | 5.4. | Лиувиллева классификация систем случая Лагранжа |
| | 5.5. | Лиувиллева классификация систем случая Ковалевской |
| | 5.6. | Лиувиллева классификация систем Горячева–Чаплыгина–Сретенского |
| | 5.7. | Лиувиллева классификация систем случая Жуковского |
| | 5.8. | Грубая лиувиллева классификация систем случая Клебша |
| | 5.9. | Грубая лиувиллева классификация систем случая Стеклова |
| | 5.10. | Грубая лиувиллева классификация систем случая четырехмерного твердого тела |
| | 5.11. | Полный список молекул, встречающихся в основных интегрируемых случаях динамики твердого тела |
| Таблицы к главе 5 |
| Глава 6. | Принцип Мопертюи и геодезическая эквивалентность |
| | 6.1. | Общий принцип Мопертюи |
| | 6.2. | Принцип Мопертюи в динамике твердого тела |
| | 6.3. | Принцип Мопертюи и явный вид метрик на сфере, порожденных квадратичным гамильтонианом на алгебре Ли группы движений \mathbb R^ 3 |
| | 6.4. | Классические случаи интегрируемости в динамике твердого тела и отвечающие им интегрируемые геодезические потоки на сфере |
| | | 6.4.1. | Случай Эйлера и метрика на сфере Пуассона |
| | | 6.4.2. | Случай Лагранжа и соответствующая метрика вращения на сфере |
| | | 6.4.3. | Случай Клебша и геодезический поток эллипсоида |
| | | 6.4.4. | Случай Горячева–Чаплыгина и соответствующий интегрируемый геодезический поток на сфере |
| | | 6.4.5. | Случай Ковалевской и соответствующий интегрируемый геодезический поток на сфере |
| | 6.5. | Гипотеза о метриках с интегралами больших степеней |
| | 6.6. | Теорема Дини и геодезическая эквивалентность римановых метрик |
| | 6.7. | Обобщенный принцип Мопертюи–Дини |
| | 6.8. | Траекторная эквивалентность задачи Неймана и задачи Якоби |
| | 6.9. | Явный вид некоторых замечательных гамильтонианов и их интегралов в разделяющихся переменных |
| Глава 7. | Эквивалентность случая Эйлера в динамике твердого тела и задачи Якоби о геодезических на эллипсоиде |
| | 7.1. | Введение |
| | 7.2. | Задача Якоби о геодезических на эллипсоиде и случай Эйлера в динамике твердого тела |
| | 7.3. | Лиувиллевы слоения |
| | 7.4. | Функции вращения |
| | 7.5. | Основная теорема |
| | 7.6. | Гладкие инварианты |
| | 7.7. | Топологическая несопряженность задачи Якоби и случая Эйлера |
| Список литературы |
| Приложение 1. О классификации потоков Морса–Смейла на двумерных многообразиях |
| Введение |
| | 1.0 | Классификация потоков Морса |
| | 1.1. | Основные определения. |
| | 1.2. | Построение инварианта. |
| | 1.3. | Теорема классификации |
| | 1.4. | Реализация инвариантов |
| | 1.5. | Ориентируемый случай. |
| | 2.0. | Сравнение инвариантов |
| | 2.1. | Инвариант Пейксото |
| | 2.2. | Инвариант Флейтаса. |
| | 2.3. | Инвариант Вонга. |
| | 2.4. | Классификация a-функций и f-графы. |
| | 3.0. | Классификация потоков Морса–Смейла |
| | 3.1. | Конструкция Пейксото |
| | 3.2. | Описание v-атомов |
| | 3.3. | Построение v-молекулы |
| | 3.4. | Теорема классификации и реализация инвариантов |
| | 4.0. | Приложение: список потоков малой сложности |
| Список литературы |
| Приложение 2. Об устойчивости топологической структуры боттовских интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы (В.В.Калашников (мл.)) |
| | 1. | Свойства систем на изоэнергетических подмногообразиях |
| | 2. | Свойства возмущений в слабой метрике |
| | 3. | Плотность боттовских систем в узком смысле |
| | 4. | Боттовские системы с точки зрения сильной метрики |
| | 5. | Устойчивость топологической структуры на M^4. Введение |
| | 6. | Вырожденные окружности общего вида |
| | 7. | Глобальная устойчивость топологической структуры |
| Список литературы |
| Приложение 3. Построение канонических координат в окрестности особой точки интегрируемой гамильтоновой системы (В.В.Калашников (мл.)) |
| Введение |
| | 1. | Коммутативность и зависимость |
| | 2. | Нормальные формы |
| | 3. | Невырожденные орбиты |
| | 4. | Другие работы, посвященные этому вопросу |
| Список литературы |
Фоменко Анатолий Тимофеевич