Гликлих Ю.Е. Глобальный и стохастический анализ в задачах математической физики Изд. 2, стереот.

Оглавление

Предисловие

За время, прошедшее после публикации книг автора [45, 145, 147], появилось большое число статей и монографий, развивающих указанную тематику или близко к ней примыкающих. Так что настал момент для "промежуточного финиша" – новой книги, объединяющей с единых позиций полученные к настоящему времени результаты. Я благодарен Издательству за интерес к публикации этого труда.

Тематика книги принадлежит "стыку" нескольких математических дисциплин – геометрии многообразий, стохастического анализа, некоторых глав математической физики и др. Поэтому важной особенностью книги является наличие большого предварительного материала, что по замыслу автора должно сделать книгу "почти замкнутой в себе" и облегчить ее прочтение специалистами в какой-то одной области или неспециалистами, желающими освоить эту тематику.

Хочу выразить искреннюю благодарность многим людям, способствовавшим моим исследованиям, вошедшим в книгу. Прежде всего, благодарю моего учителя Ю.Г.Борисовича, именно ему я обязан своему интересу к глобальному анализу и его приложениям к математической физике. Не менее сильное влияние на мои научные интересы – на этот раз в области стохастического анализа – оказал К.Д.Элворти. Я благодарен ему, как за продолжительные и исключительно полезные обсуждения интересующих меня вопросов, так и за неоднократные приглашения в Уорикский университет, что позволило мне обменяться идеями с большим числом математиков со всего мира. Большую помощь мне оказал Ю.Л.Далецкий, к сожалению уже ушедший от нас.

Хочу поблагодарить моих коллег и соавторов – Я.И.Белопольскую, Б.Д.Гельмана, И.В.Федоренко, Т.Заставняка, моих учеников и соавторов – Ю.С.Баранова, Л.А.Морозову, А.В.Обуховского и других – за интерес к совместным исследованиям. Я благодарен 3. Бжезняку, A.М.Вершику, В.Я.Гершковичу, А.И.Шнирельману, А.Труману и многим другим за очень полезные обсуждения.

Вошедшие в книгу исследования были частично поддержаны грантами ИНТАС 94–00378 и 99–00559, грантами РФФИ 96–01–00444, 99–01–00819 и 03–01–00112, а также грантами программы Университеты России УР.04.01.008 и УР.04.01.003 и грантом VZ-010–0 Министерства образования РФ и CRDF.

Введение

В этой книге с более или менее единых позиций рассматриваются задачи математической физики, традиционно считающимися далекими друг от друга и требующими разных методов исследования. Сюда относятся задачи механики на нелинейных конфигурационных пространствах, некоторые задачи квантовой и статистической физики, гидродинамики и др. Объединяющей идеей является описание уравнения движения в виде геометрически инвариантной формы второго закона Ньютона или его прямых аналогов – стохастических, бесконечномерных, многозначных и др. Реализация этой идеи позволяет разработать достаточно общие подходы к исследованию указанных задач, модификация которых в каждом конкретном случае позволяет создать эффективные методы изучения и получить важные результаты.

Главная цель книги требует привлечения большого математического аппарата, включающего некоторые разделы глобального анализа, стохастического анализа, многозначного анализа, анализа на бесконечномерных многообразиях и др. Автор поставил перед собой задачу сделать книгу максимально возможно замкнутой в себе и поэтому значительную часть книги составляют предварительные сведения из указанных разделов математики. Степень подробности их изложения – разная. Некоторые разделы можно использовать для первого знакомства с предметом. В других случаях, подробное изложение которых привело бы к резкому увеличению объема книги, мы даем обзор понятий и конструкций без детальных доказательств. В основном мы ограничиваемся материалом, необходимым для приложений в математической физике в дальнейших разделах книги. Тем не менее часто мы описываем новые результаты и конструкции, не используемые в дальнейшем, но близкие к "магистральному направлению" книги и не нашедшие еще монографического изложения (вообще или на русском языке).

Книга состоит из трех частей, разбитых на главы, параграфы и иногда подпараграфы. В первой части описываются начала глобального анализа, которые составляют основу всего последующего материала. Первую главу мы начинаем с понятия многообразия, описываем касательные и кокасательные векторы, группы и алгебры Ли, расслоения и сопутствующие им понятия и конструкции. Затем идут римановы метрики, тензоры и дифференциальные формы, производные Ли. Наиболее важной для дальнейшего является глава, посвященная связностям. Мы используем подход, основанный на так называемом отображении связности (коннекторе), восходящий, по-видимому, к работе П.Домбровски [127]. Он наиболее удобен для дальнейших обобщений, например, для описания связностей на бесконечномерном многообразии диффеоморфизмов. В эту часть также вошли элементы многозначного анализа и анализа на функциональных многообразиях, дифференциальные уравнения на касательном и кокасательном расслоении (дифференциальные уравнения второго порядка и гамильтоновы системы), а также широко используемая в дальнейшем конструкция автора интегральных операторов с римановым параллельным переносом, необходимые и достаточные условия глобального по времени существования решений обыкновенных дифференциальных уравнений и др.

Вторая часть посвящена основным понятиям, конструкциям и результатам современного стохастического анализа с упором на стохастический анализ на многообразиях. Здесь мы предполагаем, что читатель знаком с теорией вероятностей и теорией случайных процессов в объеме элементарного курса. В главе 10 мы напоминаем некоторые понятия, выходящие за рамки стандартного университетского курса, описываем стохастические интегралы и стохастические дифференциальные уравнения в евклидовом пространстве, рассматриваем стохастические потоки и их генераторы (производящие операторы).

В следующей главе осуществляется переход на многообразия. Отметим, что в стохастическом анализе на многообразиях существенно используются геометрические и топологические конструкции. Поэтому материал этой главы основан на материале первой части (в первую очередь, на теории связностей) и, конечно, на материале предыдущей главы. Мы описываем стохастические дифференциальные уравнения на многообразиях в форме Стратоновича, подход к уравнениям в форме Ито, как к сечениям специального расслоения (расслоения Ито) с интересной структурной группой, разработанный Я.И.Белопольской и Ю.Л.Далецким подход к уравнениям Ито, использующий теорию связностей, принадлежащий автору интегральный подход к стохастическим дифференциальным уравнениям, основанный на римановом параллельном переносе вдоль случайного процесса, и другие современные конструкции. Отметим новое необходимое и достаточное условие полноты (глобального по времени существования) стохастического потока, непрерывного на бесконечности.

Затем рассматривается вариант дифференциального исчисления случайных процессов – теория так называемых производных в среднем по Нельсону. В терминах таких производных ниже заданы уравнения движения различных систем квантовой механики и гидродинамики, и здесь собраны все необходимые конструкции и результаты, как в евклидовом пространстве, так и на многообразиях. Завершается вторая часть изложением элементов стохастического анализа на группах диффеоморфизмов.

Третья часть является в книге центральной, она посвящена описанию и изучению различных механических и физических моделей на основе материала предыдущих двух частей. Мы начинаем с изложения классической ньютоновой механики на инвариантном геометрическом и топологическом языке. Второй закон Ньютона вводится в терминах ковариантной производной связности Леви-Чивита римановой метрики, задающей на конфигурационном пространстве кинетическую энергию. Кроме классических случаев натуральных механических систем, гироскопических сил, систем с групповой структурой и т.д. мы рассматриваем геометрическую механику систем с разрывными силами, с запаздывающими силами, с линейными связями в смысле А.М.Вершика – Л.Д.Фаддеева, интегральные (с римановым параллельным переносом) уравнения геометрической механики, годографы скорости и др.

Затем рассматривается один из примеров изучения качественного поведения систем геометрической механики на основе разработанного аппарата. Получены утверждения о возможности достичь заданную точку неплоского конфигурационного пространства траекторией механической системы, выходящей из другой заданной точки, в весьма общем случае (системы с разрывными силами, со связями и т.д.). Отметим, что в отличие от классического плоского случая здесь могут существовать точки недостижимости даже на компактном конфигурационном пространстве в случае ограниченной гладкой силы.

В Главе 16 (третья глава третьей части) описываются основные понятия общей теории относительности. Кроме последнего параграфа, этот материал можно рассматривать, как введение в предмет, основанное на аксиоматическом подходе, привычном для математиков. Эта часть главы является основой для релятивистских задач в дальнейшем. В последнем параграфе рассматривается один из подходов к теории калибровочных полей и дается описание движения классической частицы в классическом калибровочном поле в терминах специального варианта закона Ньютона на расслоении со связностью (напомним, что математически понятие калибровочного поля совпадает с понятием связности на расслоенном пространстве).

Затем рассматриваются уравнение Ланжевена геометрической механики, описывающее движение броуновской частицы на нелинейном конфигурационном пространстве, и стохастическая механика Э.Нельсона, эквивалентная квантовой механике (нерелятивистская в Rⁿ и на многообразии, в пространстве Минковского и общерелятивистская). Подчеркнем, что уравнение Ланжевена и основное уравнение движения в стохастической механике являются принципиально различными стохастическими обобщениями второго закона Ньютона.

При описании гидродинамики мы основываемся на современном лагранжевом формализме, восходящем к работам В.И.Арнольда, Д.Эбина и Дж.Марсдена. Лагранжев формализм гидродинамики возникает из второго закона Ньютона на многообразии диффеоморфизмов конечномерного многообразия. Базовой системой здесь является так называемая система пылевидной материи. Заданием специального силового поля из нее получается система идеальной баротропной жидкости, а заданием специальной голономной связи – система идеальной несжимаемой жидкости. Отметим, что для системы идеальной несжимаемой жидкости движение описывается С^oo-гладким векторным полем на касательном расслоении к многообразию диффеоморфизмов. При эйлеровом описании, переход к которому мы также объясняем, происходит потеря производных. Мы доказываем теоремы локального по времени существования решений, регулярности решений (в том числе на многообразии с краем) и др.

Для описания вязкой несжимаемой жидкости мы применяем аппарат стохастического анализа на многообразиях и производных в среднем по Нельсону, в терминах которых задается соответствующий закон Ньютона на группе диффеоморфизмов (основное уравнение движения). Рассматривается модельная задача – движение жидкости на п-мерном плоском торе. Указан класс процессов на группе диффеоморфизмов тора, математические ожидания которых суть кривые на этой группе, описывающие движения вязкой несжимаемой жидкости. При переходе к эйлерову описанию возникает уравнение Навье-Стокса с помощью конструкции, в точности аналогичной построению уравнения Эйлера в случае идеальной несжимаемой жидкости.

В книге используется двузначная нумерация параграфов, формул, теорем и т.д., в которой первым стоит номер главы, а вторым – номер параграфа, формулы и т.д. в главе. Мы применяем общую нумерацию для теорем, лемм, определений и других математических предложений, кроме формул. Как нам кажется, это существенно облегчает чтение книги. Для удобства ссылок внутри текста, кроме привычных теорем, лемм и определений, мы используем нестандартные предложения, как например, соглашения, обозначения и др. Важную роль в тексте играют замечания. Иногда они включают дополнительную обзорную информацию, но часто замечание выделяется для удобства ссылок в дальнейшем на некоторую конструкцию или рассуждение или даже на утверждение, которое доказано вне этой книги.

Несмотря на большой объем списка литературы, он составлен крайне экономно и ни в коем случае не претендует на полноту. Предпочтение отдается ссылкам на монографии или другие итоговые публикации.