|
Содержание
Предисловие
В данной книге мы попытались отразить те свойства векторных топологических пространств, которые не слишком подробно освещаются в классических университетских курсах линейного функционального анализа. Данная книга является первой частью работы, посвященной методам нелинейного функционального анализа (2-я часть: Методы исследования нелинейных операторов. М.: URSS, 2011). По нашему глубокому убеждению, нелинейный функциональный анализ можно определить как методы исследования нелинейных операторов, действующих в линейных пространствах. Поэтому для изучения нелинейных операторов нам нужна достаточно детальная информация о геометрических и топологических свойствах различных линейных пространств, как абстрактных, так и конкретных. И все эти свойства мы подробно осветили в настоящей книге. Все утверждения из книги либо формулируются без доказательств, либо для них приводятся максимально подробные доказательства. Содержание и тематика книги обсуждались с И.А.Шишмаревым, который высказал много полезных замечаний, за что авторы ему искренне признательны. Введение
В первой части нашей книги мы отразили те свойства линейных топологических пространств, которые, с одной стороны, не очень детально и подробно освещаются в классических университетских учебниках по линейному функциональному анализу, а с другой стороны, весьма необходимы для рассмотрения методов исследования нелинейных операторов, действующих в этих конкретных и абстрактных линейных топологических пространствах. Так, наш подход к теории абстрактных и конкретных линейных топологических пространств основан на теории двойственности. Как известно, построение новых линейных топологических пространств из уже имеющихся можно делать двумя способами – с помощью тех или иных методов интерполяции и используя теорию двойственности. В данной книге мы рассмотрели детально применение второго метода. Заметим, что первый метод является не менее важным, но его рассмотрение в общем виде требует изложения большого количества дополнительных результатов и это выходит за рамки настоящей книги, хотя на примере пространств Лебега и пространств Гельдера мы метод интерполяции рассмотрели. Причем с точки зрения теории двойственности можно с единой точки зрения изложить как теорию функциональных пространств, таких как пространства Лебега и пространств BV и AC, так и теорию распределений – что мы и делаем. Наконец, мы для всякого вновь введенного функционального банахова пространства детально рассматриваем три основных типа сходимостей – сильную, слабую и *-слабую, которые очень важны при исследовании слабых решений нелинейных краевых задач. Во второй части книги мы уже систематически используем результаты, полученные в первой части. При этом мы детально рассматриваем все основные методы исследования нелинейных операторов. Большое внимание нами уделено вариационным методам, таким как вариационные методы, основанные на принципе компактности Пале–Смейла и теории категорий Люстерника–Шнирельмана, теория рода М.А.Красносельского, метод глобального расслоения С.И.Похожаева и теория Амбросетти–Рабиновича. Все эти вариационные методы применяются к конкретным физическим задачам из теории нелинейной механики, нелинейной оптики, физики полупроводников и физики твердого тела. Причем для некоторых задач удалось получить описание некоторых существенно нелинейных эффектов, которые наблюдаются в эксперименте. Кроме того, мы излагаем и другие методы нелинейного анализа, такие как методы компактности, методы монотонности, топологические методы и метод сжимающих отображений. При этом мы снова иллюстрируем их применение к нелинейным задачам, имеющим физический смысл, в частности, из теории нелинейных электромагнитных сред. Наконец, в последней главе второй части настоящей КНИГИ мы излагаем два важных метода исследования возникновения эффекта разрушения решения нелинейной краевой или начально–краевой задачи. Первый метод – это широко известный "энергетический" метод Х.А.Левина, а второй метод – это метод нелинейной емкости С.И.Похожаева и Э.Л.Митидиери. И опять мы иллюстрируем применение этих методов к конкретным физическим задачам. В первой главе рассматриваются различные геометрические и топологические свойства банаховых пространств. Большое место уделено вопросам теории двойственности, различных типов сходимостей, таких как сильная, слабая и *-слабая, достаточным условиям этих типов сходимостей. Кроме того, большое место уделено так называемым дуализующим отображениям, поскольку они интенсивно используются в нелинейном анализе. Рассмотрены достаточные условия вложения сопряженных пространств к данным. Во второй главе нами рассмотрены конкретные примеры функциональных пространств. Так, рассмотрены пространства BV[a,b] функций ограниченной вариации, AC[a,b] абсолютно непрерывных функций, Ck,delta(Omega надчеркн.) пространства Гельдера, C1+delta/2,2+delta(Q надчеркн.) параболические пространства Гельдера и, наконец, пространства Лебега Lp(Omega,mu). Для пространств Лебега Lp(Omega,mu) рассмотрены приложения общих результатов, полученных в первой лекции. В третьей главе рассмотрена общая теория локально выпуклых пространств. Большое внимание уделено теории двойственности для локально выпуклых пространств. В четвертой главе рассматриваются три пространства основных функций D, P и E. Рассмотрение этих пространств проводится на основе языка и методов теории локально выпуклых пространств, развитых в третьей лекции. Наконец, рассмотрена теория обобщенных функций или распределений D',P' и E'. В пятой главе вводятся пространства С.Л.Соболева. Здесь используется теория пространства D', введенная в четвертой лекции. Для введенных пространств С.Л.Соболева применяются общие результаты, развитые в первой лекции. Наконец, подробно разбирается теория непрерывных и компактных вложений пространств С.Л.Соболева в другие банаховы пространства. В шестой главе вводятся разнообразные функциональные пространства функций со значениями в банаховых пространствах. В частности, рассмотрена теория B-значных пространств Лебега. Наконец, в седьмой главе мы рассматриваем некоторое обобщение понятия пространства распределений D' на случай B-значного пространства распределений D'(0,T;B). Данная книга была написана в ходе выполнения проекта РФФИ N08-01–00376 и президентской программы поддержки молодых докторов наук MД-99.2009.1. Об авторах
 Корпусов Максим Олегович Доктор физико-математических наук. В 1995 г. окончил физический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, в 1998 г. — аспирантуру по кафедре математики; защитил кандидатскую диссертацию на тему «Динамические потенциалы и их приложения к двумерному уравнению внутренних волн». В 2005 г. защитил докторскую диссертацию «Метод энергетических оценок и их приложения к нелинейным уравнениям псевдопараболического типа». Является известным специалистом по теории нелинейного функционального анализа и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.
 Свешников Алексей Георгиевич Доктор физико-математических наук, профессор. Заведующий кафедрой математики физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова (1971–1993). Награжден орденами Красной Звезды (1945), «Знак Почета» (1976), Трудового Красного Знамени (1984), Отечественной войны первой степени (1985). Лауреат Государственной премии СССР (1976), премии Совета Министров СССР (1982), премии имени М. В. Ломоносова за педагогическую деятельность (1999). Заслуженный профессор Московского университета (1994). Заслуженный деятель науки РСФСР (1980).
А. Г. Свешников получил Госпремию в составе авторского коллектива за разработку новых методов расчета излучающих систем и использование этих методов в практике создания антенн различного назначения. Большой цикл его работ посвящен проблеме создания и алгоритмической реализации математических моделей физики плазмы и динамики сплошных сред, обратным задачам синтеза и распознавания многослойных оптических покрытий, идентификации дефектов слоистых структур. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||