|
Оглавление
Предисловие переводчика
Книга Милнора является учебником по теории Морса. Начиная с простейшего примера и кончая "теоремой периодичности" Ботта, изложение остается геометрически наглядным, но строгим; современным, но вместе с тем элегантным; широким), но замкнутым в себе: необходимые факты из дифференциальной геометрии, вариационного исчисления и т. п. выводятся в нужной автору форме в самой книге. Теория Морса, т. е. изучение критических точек функций и функционалов "в целом", играет значительную роль в современных топологических исследованиях. "Перестройки Морса" постоянно употребляются как гибкий и адекватный аппарат при работе с дифференцируемыми многообразиями, аппарат значительно более удобный и мощный, чем комбинаторный подход. Развитая здесь техника уже дала целый ряд фундаментальных результатов. Например, из доказанной Смейлом "теоремы о точности неравенств Морса" вытекает гипотеза Пуанкаре) в размерностях выше 5, а также эквивалентность понятий h-гомологичности и диффеоморфизма, существенная для классификации дифференцируемых структур на сферах) (Милнор и Кервер). Теория критических точек функционалов получила интересное приложение в работах Ботта. В то время как Пуанкаре, Биркгоф, Морс, Шнирельман и Люстерник применяли топологические методы к задачам вариационного исчисления в целом, Ботт применил методы вариационного исчисления в целом к топологической задаче. Рассматривая минимальные геодезические на классических группах Ли, он нашел "стабильные гомотопические группы" последних. Доказанная Боттом теорема периодичности легла в основу интенсивно развивающейся в настоящее время "K-теории". В результате были решены такие классические задачи, как определение максимального числа k (n) линейно независимых векторных полей на сфере любой размерности Sn (Адамс)) и вычисление индекса эллиптических дифференциальных операторов в многомерном случае (Атиа и Зингер). У читателя этой книги предполагаются лишь очень небольшие предварительные сведения по топологии: некоторое представление о многообразиях, гомологиях, гомотопиях и расслоениях). Смысл нескольких терминов, менее известных русскому читателю, разъяснен в приложении, написанном Д.В.Аносовым. Можно надеяться, что книга Милнора, не отягощенная алгебраическим формализмом, поможет советским читателям войти в круг идей и методов современной дифференциальной топологии. В.И.Арнольд |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
