Обложка Милнор Дж. Теория Морса. Пер. с англ.
Id: 120888
425 руб.

Теория Морса.
Пер. с англ. Изд. 3, стереот.

Аннотация

Дж. Милнор, один из ведущих американских математиков, широко известен своими работами по топологии гладких многообразий. Его небольшая книга "Теория Морса" --- образцовое изложение нескольких разделов современной геометрии.

Первые главы посвящены морсовской теории критических точек функций и функционалов, римановой геометрии и вариационному исчислению в целом. Изложение сопровождается примерами приложений к дифференциальной и алгебраической... (Подробнее)


Оглавление
Предисловие переводчика
Глава I. Невырожденные гладкие функции на многообразии
 § 1. Введение
 § 2. Определения и леммы
 § 3. Описание гомотопического типа с помощью критических значений
 § 4. Примеры
 § 5. Неравенства Морса
 § 6. Многообразия в евклидовом пространстве
 § 7. Теорема Лефшеда о гиперплоских сечениях
Глава II. Краткий курс римановой геометрии
 § 8. Ковариантное дифференцирование
 § 9. Тензор кривизны
 § 10. Геодезические и полнота
Глава III. Вариационное исчисление в применении к геодезическим
 § 11. Пространство путей гладкого многообразия
 § 12. Функция действия
 § 13. Гессиан функции действия на критическом пути
 § 14. Якобиевы поля
 § 15. Теорема об индексе
 § 16. Конечномерная аппроксимация множества \Omegac
 § 17. Топология полного пространства путей
 § 18. Существование несопряженных точек
 § 19. Некоторые соотношения между топологий и кривизной
Глава IV. Приложения к группам Ли и симметрическим пространствам
 § 20. Симметрические пространства
 § 21. Группы Ли как симметрические пространства
 § 22. Многообразия, составленные из минимальных геодезических
 § 23. Теорема Ботта о периодичности для унитарной группы
 § 24. Теорема периодичности для ортогональной группы
 Дополнение. Гомотопический тип монотонной суммы
Приложение (Д.В.Аносов)
 § 1. Клеточные разбиения и теорема Уайтхеда
 § 2. Двойственность Пуанкаре и приклеивание ручек
Литература

Предисловие переводчика

Книга Милнора является учебником по теории Морса. Начиная с простейшего примера и кончая "теоремой периодичности" Ботта, изложение остается геометрически наглядным, но строгим; современным, но вместе с тем элегантным; широким), но замкнутым в себе: необходимые факты из дифференциальной геометрии, вариационного исчисления и т. п. выводятся в нужной автору форме в самой книге.

Теория Морса, т. е. изучение критических точек функций и функционалов "в целом", играет значительную роль в современных топологических исследованиях. "Перестройки Морса" постоянно употребляются как гибкий и адекватный аппарат при работе с дифференцируемыми многообразиями, аппарат значительно более удобный и мощный, чем комбинаторный подход. Развитая здесь техника уже дала целый ряд фундаментальных результатов. Например, из доказанной Смейлом "теоремы о точности неравенств Морса" вытекает гипотеза Пуанкаре) в размерностях выше 5, а также эквивалентность понятий h-гомологичности и диффеоморфизма, существенная для классификации дифференцируемых структур на сферах) (Милнор и Кервер).

Теория критических точек функционалов получила интересное приложение в работах Ботта. В то время как Пуанкаре, Биркгоф, Морс, Шнирельман и Люстерник применяли топологические методы к задачам вариационного исчисления в целом, Ботт применил методы вариационного исчисления в целом к топологической задаче. Рассматривая минимальные геодезические на классических группах Ли, он нашел "стабильные гомотопические группы" последних.

Доказанная Боттом теорема периодичности легла в основу интенсивно развивающейся в настоящее время "K-теории". В результате были решены такие классические задачи, как определение максимального числа k (n) линейно независимых векторных полей на сфере любой размерности Sn (Адамс)) и вычисление индекса эллиптических дифференциальных операторов в многомерном случае (Атиа и Зингер).

У читателя этой книги предполагаются лишь очень небольшие предварительные сведения по топологии: некоторое представление о многообразиях, гомологиях, гомотопиях и расслоениях). Смысл нескольких терминов, менее известных русскому читателю, разъяснен в приложении, написанном Д.В.Аносовым.

Можно надеяться, что книга Милнора, не отягощенная алгебраическим формализмом, поможет советским читателям войти в круг идей и методов современной дифференциальной топологии.

В.И.Арнольд

Об авторе
Джон Уиллард МИЛНОР
(род. в 1931 г.)

Известный американский математик. В 1951 г. окончил Принстонский университет. В 1954 г. получил ученую степень доктора наук. С 1960 г. -- профессор Принстонского университета. Лауреат премии им. Филдса, полученной на математическом конгрессе в Стокгольме (1962). Действительный член Национальной академии наук США, Американской академии наук и искусств, Иностранный член Российской академии наук (с 1994 г.). Почетный член Московского математического общества (c 1996 г.). Основные труды Дж. Милнора относятся к алгебраической топологии и топологии многообразий. Многие его работы были переведены на русский язык: "Особые точки комплексных гиперповерхностей", "Теорема об h-кобордизме", "Введение в алгебраическую К-теорию", "Голоморфная динамика", "Дифференциальная топология" и другие.