Струве М. Вариационные методы.
Приложения к нелинейным уравнениям в частных производных и гамильтоновым системам. Пер. с англ.

Оглавление

Предисловие к русскому переводу.................... 8

Предисловие к третьему изданию.................... 9

Предисловие ко второму изданию.................... 11

Предисловие к первому изданию.................... 13

Список обозначений............................ 18

Глава 1. Прямые методы вариационного исчисления....... 20

§ 1. Полунепрерывность снизу...................... 21

Вырожденные эллиптические уравнения (24). Минимальные разделяющие гиперповерхности (25). Минимальные гиперповерхности в ри-мановых многообразиях (26). Общий результат о полунепрерывности снизу (28)

§ 2. Условия на функции......................... 33

Полулинейные эллиптические граничные задачи (34). Вариационная формулировка метода Перрона (36). Классическая задача Плато (39)

§ 3. Компенсированная компактность.................. 46

Приложения к теории упругости (51). Сходимость для нелинейных эллиптических уравнений (53). Методы пространств Харди (57)

§ 4. Принцип концентрации-компактности............... 57

Существование экстремальных функций для вложений Соболева (64)

§ 5. Вариационный принцип Экланда.................. 74

Существование точек минимума для квазивыпуклых функционалов (77)

§ 6. Двойственность............................ 81

Гамильтоновы системы (84). Периодические решения нелинейных волновых уравнений (89)

§ 7. Задачи минимизации, зависящие от параметров......... 93

Гармонические отображения с особенностями (95)

Глава 2. Минимаксные методы.................... 99

§ 1. Конечномерный случай....................... 99

§ 2. Условие Пале—Смейла.......................102

§ 3. Лемма об общей деформации....................106

Псевдоградиентные потоки на банаховых пространствах (106). Псевдоградиентные потоки на многообразиях (111)

§ 4. Принцип минимакса.........................113

Замкнутые геодезические на сферах (116)

§ 5. Теория индекса............................121

Род Красносельского (121). Минимаксные принципы для четных функционалов (124). Приложения к полулинейным эллиптическим задачам (126). Общие теории индекса (126). Категория Люстерника—Шни-рельмана (128). Геометрический S-индекс (129). Кратные периодические орбиты гамильтоновых систем (131)

§ 6. Лемма о перевале и ее варианты..................137

Приложения к полулинейным эллиптическим граничным задачам (139). Симметричная лемма о перевале (142). Приложения к полулинейным уравнением с симметрией (146)

§ 7. Теория возмущений..........................148

Приложения к полулинейным эллиптическим уравнениям (150)

§ 8. Зацепления..............................155

Приложения к полулинейным эллиптическим уравнениям (158). Приложения к гамильтоновым системам (160)

§ 9. Параметрическая зависимость...................168

§ 10. Критические точки типа перевала.................174

Кратные решения коэрцитивных эллиптических задач (178)

§ 11. Недифференцируемые функционалы...............182

§ 12. Теория Люстерника—Шнирельмана на выпуклых множествах................ 195

Приложение к полулинейным эллиптическим граничным задачам (199)

Глава 3. Предельные случаи условия Пале—Смейла.......203

§ 1. Теорема Похожаева о несуществовании..............204

§ 2. Теорема Брезиса—Ниренберга...................207

Минимизация при наличии условий (208). Отсутствие связей: локальная компактность (209). Кратные решения (215)

§ 3. Влияние топологии..........................218

Теорема о глобальной компактности (218). Положительные решения в кольцевых областях (225)

§ 4. Задача Ямабе.............................229

§ 5. Задача Дирихле для уравнения постоянной средней кривизны.................... 239

Малые решения (241). Функционал объема (243). Теорема Венте о единственности (245). Локальная компактность (246). Большие решения (249)

§ 6. Гармонические отображения римановых поверхностей.................251

Уравнения Эйлера—Лагранжа для гармонических отображений (253). Тождество Бохнера (254). Задача гомотопии и ее функционально-аналитическая постановка (255). Теоремы существования и несуществования (258). Эволюция гармонических отображений (259).

Приложение А..............................277

Пространства Соболева (277). Пространства Гёльдера (278). Теоремы вложения (279). Теорема о плотности (280). Теорема о следе и теорема о продолжении (280). Неравенство Пуанкаре (281)

Приложение В..............................283

Оценки Шаудера (283). LP -теория (284). Слабые решения (284). Теорема о регулярности (284). Принцип максимума (287). Слабый принцип максимума (288). Применение (288)

Приложение С..............................290

Дифференцируемое™ по Фреше (290). Естественные условия роста (292)

Литература................................. 294