Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.
Пер. с фр. Изд. 3

Оглавление

Предисловие редактора перевода

Автор этой книги – выдающийся французский математик Ж.Лионс возглавляет лабораторию численного анализа в Парижском университете и математический отдел научно-исследовательского Института информатики и автоматики. Он внес большой вклад в решение прикладных задач, связанных с уравнениями с частными производными и вопросами оптимального управления.

Книга посвящена двум важным разделам теории уравнений с частными производными – методам решения нелинейных задач и теории вариационных неравенств. Значительная часть изложенных результатов принадлежит автору и его ученикам.

Методы решения нелинейных задач автор демонстрирует на конкретных примерах уравнений, взятых из гидромеханики, теории пластичности и других разделов механики сплошной среды, а также квантовой механики и физики. Общая схема исследования такова: строятся приближенные решения задачи, для этих решений устанавливаются априорные оценки, на основе которых доказывается существование последовательности приближенных решений, сходящейся к точному решению задачи. Для некоторых задач с помощью дополнительных априорных оценок устанавливаются свойства гладкости решения при наличии достаточной гладкости данных. Заметим, что результаты, полученные таким путем для конкретных уравнении математической физики, служат не только для демонстрации того или иного метода, но и представляют интерес для приложений.

Многие важные прикладные задачи приводят к так называемым задачам с односторонними граничными условиями или к вариационным неравенствам. Простейшим примером такого рода является следующая задача: в области Omega с границей Г найти решение уравнения Delta u = f, такое, что на Г выполняются условия и >= 0, partial u/partial n>= 0, u partial u/partial n >= 0. Обобщенное решение этой задачи удовлетворяет не интегральному тождеству (как, скажем, в случае задачи Дирихле), а некоторому интегральному неравенству, которое и называют вариационным неравенством.

Новый раздел теории уравнений с частными производными – теория вариационных неравенств, возник в последние десять лет и еще не освещался в монографической литературе. – Источником для создания этой теории послужила задача из теории упругости (задача Синьорини), впервые полностью изученная в работе Г.Фикеры [1], где были заложены основы теории вариационных неравенств. Затем исследование вариационных неравенств продолжалось в работах Ж.Лионса, Г.Стампаккьи и их учеников. В частности, ими рассматривалась абстрактная постановка задач, приводящих к таким неравенствам.

Хотя применение тех или иных методов в книге демонстрируется в большинстве случаев на отдельных примерах, эти методы обладают большой общностью и применимы к широким классам нелинейных задач.

В задачах, исследованных в гл.1 (уравнения, возникающие в релятивистской квантовой механике, уравнение нелинейных колебаний, уравнения Навье–Стокса, уравнение Шредингера, уравнения нестационарной фильтрации и другие), приближенные решения строятся по методу Галеркина или в нестационарном случае по методу Фаэдо–Галеркина. Затем для них устанавливаются априорные оценки типа энергетических неравенств и с помощью теорем вложения С.Л.Соболева на основе этих оценок доказывается компактность полученного семейства приближенных решений.

Во второй главе сходимость последовательности приближенных решений доказывается на основе свойства монотонности или псевдомонотонности соответствующего оператора. При наличии этого свойства удается доказать сходимость приближенных решений при более слабых априорных оценках, чем это требует применение теорем вложения. В этой главе доказаны также теоремы существования для абстрактных операторных уравнении, обладающих свойством монотонности, и даны приложения этих теорем к конкретным уравнениям математической физики (в частности, к задачам со свободной границей).

Метод регуляризации, многочисленные примеры применения которого даны в главе 3, состоит в том, что в уравнение или в граничные условия дописывают операторы с малым множителем еpsilon, причем так, что при еpsilon > 0 получаем хорошо изученную разрешимую задачу. Далее устанавливаются равномерные по е оценки решений этих задач, на основе которых совершается предельный переход при еpsilon->0. Метод регуляризации иногда называют методом введения искусственной вязкости. Значительным толчком к использованию этого метода послужила работа Дж.фон Неймана и Рихтмайера [1], где искусственная малая вязкость вводилась в систему газовой динамики для численного решения этой системы. Важное значение метод регуляризации имеет для построения решений вырожденных уравнений (см., например, Олейник О.А. и Радкевич Е.В., "Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой", Итоги Науки, ВИНИТИ, 1971 г.), а также для построения разрывных решений нелинейных гиперболических уравнений (см. Олейник О.А. [1]).

Метод штрафа, введенный Р.Курантом в задачах классического вариационного исчисления, позволяет свести задачи для вариационных неравенств к задачам для дифференциальных уравнений. Он состоит в добавлении к функционалу таких членов с параметром, что задача на минимум функционала, рассматриваемого на замкнутом выпуклом множестве, переходит в задачу на минимум нового функционала, рассматриваемого во всем пространстве.

В гл.4 метод конечных разностей, метод Роте (полудискретизация) изложены в применении к ряду конкретных задач, а также для некоторых классов операторных уравнений. Метод расщепления, или метод дробных шагов, изложен на примере решения системы уравнений Карлемана. Некоторые задачи, как, например, задачи для уравнений Навье–Стокса, рассматриваются во всех главах.

В конце каждой главы имеются список нерешенных задач, близких к рассмотренным в книге, а также комментарии, где даны библиографические ссылки и указаны использованные в книге источники.

Нужно отметить, что изложение в книге очень четкое: все основные идеи подчеркнуты, принципиальные шаги в доказательствах теорем выделены в отдельные пункты. Язык книги крайне лаконичный, иногда конспективный. Для книги характерны необычайная широта охвата материала и большое разнообразие изложенных в ней идей.

От читателя требуется владение основными понятиями функционального анализа, а также знание теории вложения пространств С.Л.Соболева. С теоремами вложения можно познакомиться по книгам С.Л.Соболева [1] и С.М.Никольского (Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, "Наука", М., 1969), а также по недавно переведенной на русский язык книге Ж.Лионса и Э.Мадженеса [1].

Настоящая книга окажется очень полезной математикам, работающим в области теории уравнений с частными производными, и математикам, занимающимся прикладными задачами, а также численным решением задач, связанных с уравнениями с частными производными. Несомненный интерес она может представлять также для механиков и физиков.

Выход в свет русского перевода будет способствовать дальнейшему продвижению в изучении трудной и важной для приложений области математики – теории нелинейных краевых задач.

Предисловие

1. В этой работе мы развиваем некоторые методы решения краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

Изучаемые здесь методы (ни в коей мере не являющиеся исчерпывающими) вводятся в связи с конкретными примерами, из которых главными являются:

1) классические нелинейные краевые задачи, возникающие в механике и физике: уравнения Навье–Стокса, нелинейные уравнения колебаний пластин, уравнения, встречающиеся в квантовой механике, и т.д.;

2) нелинейные краевые задачи, соответствующие вариационным задачам с ограничениями; сюда относятся задачи для вариационных неравенств, встречающихся в механике (пластичность, односторонние связи и т.д.), или задачи оптимального управления.

Основными этапами решения этих задач являются:

a) вывод априорных оценок;

b) использование этих оценок.

2. В настоящее время не существует никакого общего метода вывода априорных оценок (в частности, за невозможностью использовать преобразование Фурье в нелинейных задачах).

Наиболее простые априорные оценки проистекают из физических соображений. Как правило, они устанавливаются посредством умножения уравнений, которые мы решаем, на линейные комбинации неизвестных функций и подходящего интегрирования по частям.

При выводе "дополнительных" априорных оценок можно умножать уравнения на нелинейные выражения от неизвестных функций; см., например, уравнения Кортвега–де Фриса в §4 гл.3.

Можно также получать довольно точные априорные оценки методом расщепления (подсказанным численным анализом); см. уравнение Карлемана в §2 гл.4.

Вообще, в вопросе об априорных оценках (или, что в той или иной степени к нему сводится, в вопросе о выборе функциональных пространств, в которых мы пытаемся решать нашу задачу) линейные и нелинейные краевые задачи существенно различаются. В то время как в первых в подавляющем большинстве известных случаев имеется бесконечное множество априорных оценок (отметим, что теория интерполяции линейных топологических пространств в линейных задачах доставляет нам бесконечную серию оценок, если в нашем распоряжении уже имеются две оценки.), в нелинейных задачах, как правило, удается установить "очень мало" априорных оценок (в настоящее время в нелинейных задачах мы не имеем возможности применять интерполяцию, за исключением лишь достаточно специальных случаев. Быть может, следует развить теорию нелинейной интерполяции нелинейных функциональных классов).

Эта трудность в равной мере связана с вопросом о гладкости: если удается доказать, что рассматриваемая (нелинейная) задача является корректной в некотором функциональном классе, то, как правило, неверно, что решение будет очень гладким, коль скоро этим свойством обладают данные задачи.

Итак, выбор функциональных пространств, в которых решается задача, играет абсолютно решающую роль (естественно, что нет никаких причин ограничиваться векторными пространствами – в §12 гл.1, в п.3.2 гл.2 и в п.1.3 гл.4 нам встретятся примеры, в которых мы фактически работаем в нелинейных функциональных классах.).

3. Коль скоро функциональные рамки выбраны, для решения задачи необходимо использовать оценки. Мы будем различать следующие методы:

(i) метод компактности;

(ii) метод монотонности;

(iii) метод регуляризации;

(iv) метод штрафа;

(v) итерационные методы аппроксимации.

Естественно, что в некоторых случаях могут одновременно применяться несколько указанных выше методов.

МЕТОД (i) (глава 1).

Метод, называемый методом компактности, применяется наиболее прямым образом.

1) Мы строим приближенные решения (или по крайней мере то, что, как мы надеемся, будет приближенным решением), редуцируя задачу к конечномерному случаю, например с помощью метода Галеркина (в стационарном случае) или Фаэдо–Галеркина (в эволюционном случае); существование приближенных решений доказывается с помощью теоремы о неподвижной точке (в стационарном случае), теоремы существования решения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (в эволюционном случае).

2) Далее мы переходим к пределу, устремляя к бесконечности размерность пространства. При этом мы должны преодолеть основную трудность, состоящую в том, что мы имеем дело с нелинейными операторами, которые, как правило, не являются слабо непрерывными и, следовательно, нужно доказывать (вообще говоря; по этому поводу см. метод (ii)), что семейство приближенных решений компактно (благодаря априорным оценкам) в подходящей сильной топологии (в которой наш оператор непрерывен). Основным используемым здесь средством являются теоремы о компактности вложения пространства Соболева порядка а в пространство Соболева порядка < аlpha, а также более специальные результаты подобного типа, приведенные в §5 и в п.12.2 гл.1.

МЕТОД (ii) (глава 2)

Когда оператор обладает свойством монотонности (аналогичным свойству дифференциалов дифференцируемых выпуклых функций в банаховом пространстве), можно переходить к пределу по размерности при наличии априорных оценок "менее сильных", чем те, которые нужны для метода компактности.

Таким образом, работать методом монотонности, коль скоро он применим, проще, чем методом компактности.

С другой стороны, именно в рамках этого метода можно изучать "вариационные неравенства" (см. 1 (2iii)), на которые удается распространить (быть может, несколько неожиданным образом) большое число свойств, установленных для уравнений.

МЕТОД (iii) (глава 3)

В методах (i) и (ii) приближенные решения находятся одинаковым образом (в основном, с помощью метода Галеркина), а далее мы переходим к пределу, пользуясь либо компактностью, либо монотонностью (либо смесью того и другого методов; см., например, §5 гл.2).

В методах (iii), (iv), (v) меняется способ аппроксимации, после чего соображения компактности или (и) монотонности опять используются для предельного перехода.

В методе (iii) мы "регуляризуем" уравнения, "приближая" их "лучшими" и уже решенными уравнениями.

Сюда включаются методы вязкости, эллиптической регуляризации и параболической регуляризации.

При этом мы, очевидно, сталкиваемся здесь с другой трудностью, присущей нелинейным задачам: ярко выраженной тенденцией к неустойчивости; члены, считающиеся "малыми", могут радикально изменить ситуацию. Таким образом, надо обращать внимание на правильный выбор регуляризующих членов; достаточно общие примеры приведены в гл.3.

МЕТОД (iv) (глава 3)

Метод штрафа (обязанный своим происхождением вариационному исчислению и связанный с методом регуляризации) сводится к тому, что мы приближаем вариационные неравенства уравнениями (нелинейными) более классического, характера и уже решенными другими методами. Метод штрафа полезен также при решении эволюционных задач в нецилиндрических областях.

МЕТОД (v) (глава 4)

Итерационные методы аппроксимации происходят главным образом из численного анализа (мы здесь не делаем попытки систематического изучения этих вопросов.). Отметим следующие из них:

1) метод последовательных приближений, метод Ньютона; при этом опять выбор пространства играет решающую роль;

2) методы дискретизации (конечных разностей);

3) методы расщепления.

Мы приводим примеры, в которых эти методы позволяют решать задачи, не поддающиеся решению (как нам кажется) изложенными выше методами.

4. Следует непременно подчеркнуть, что указанные методы аппроксимации не эквивалентны друг другу.

В самом деле, априорные оценки устанавливаются для заданных уравнений, и надо выбрать такой способ аппроксимации, который позволяет для приближенных уравнений получить по крайней мере столько же (в некоторых случаях (см. метод расщепления в §2 гл.4) с помощью приближенной системы можно получить и больше оценок.) априорных оценок, сколько для исходной задачи (3) Отметим, что это заставляет применять специальные средства даже внутри заданного метода; см., например, ""специальные" базисы" в методе Фаэдо–Галеркина (гл.1).).

Резюмируя, можно сказать, что для решения исходной задачи мы должны

1) выбрать функциональные пространства,

2) выбрать метод аппроксимации,

3) перейти к пределу.

5. Указанные выше методы приспособлены для доказательства существования решений. Доказательство единственности решений (если она имеет место) связано с довольно специальной техникой, несколько примеров которой мы приводим.

В хороших случаях, когда мы имеем дело с корректной задачей, возникает еще ряд вопросов, и особенно вопрос о гладкости: увеличивается ли "гладкость" решения при увеличении "гладкости" данных задачи?

Как мы уже отмечали, вообще говоря, неверно, что гладкость С00 данных задачи ведет к гладкости С00 решения (однако в тексте имеется несколько примеров, когда это так). Тем не менее во многих случаях, коль скоро нелинейная задача решена в функциональном классе X для данных из функционального класса К, существует семейство Xs, Ys "соседних" классов, таких, что наша задача корректна в Xs приданных из Ys. В этой связи при весьма частных обстоятельствах удается применить теорию интерполяции. Вероятно, в этом направлении можно продвинуться гораздо дальше.

Для эволюционных уравнений некоторые свойства гладкости могут быть установлены с помощью теории нелинейных полугрупп.

Среди качественных задач, связанных с эволюционными уравнениями, мы рассматриваем исследование решений, периодических по времени (п.7.4 гл.2; §6 и 7 гл.4); исследование решений, ограниченных на всей временной оси (§8 гл.4); этот вопрос, впрочем, связан с изучением почти периодических решений (по поводу этой теории мы отсылаем к книге Америо–Прузе [1]).

6. Естественно, что многочисленные аспекты этого огромного круга вопросов здесь не изучаются, а лишь упоминаются в комментариях с целью сопоставления их с вопросами, рассматриваемыми в книге.

В частности, отметим

тонкое изучение задач вариационного исчисления и классическую теорию Лере–Шаудера эллиптических уравнений в пространствах Гельдера (можно обратиться к книгам Ладыженской и Уральцевой [1], К.Миранды [1], Морри [1] и к приведенной там литературе);

нелинейные гиперболические уравнения и теорию ударных волн (см. Рождественский и Яненко [1] и приведенную там литературу);

применение "глобального" анализа, в частности к нелинейным задачам о собственных значениях (см. Браудер [9]);

вопросы устойчивости, относительно которых (в ожидании массированной атаки с помощью топологических методов) пока имеются лишь разрозненные результаты.

Мы не рассматриваем (за исключением нескольких очень специальных случаев) приложения к многозначным операторам. В этой связи мы отсылаем к Браудеру [7].

Очень краткие замечания посвящены (§9 гл.4) нелинейным задачам оптимального управления.

7. Приложения (механика жидкости и твердого тела; оптимальное управление и т.д.) являются источником задач, который подчас кажется неистощимым и даже расширяющимся (в частности, благодаря возможности изучать с помощью вычислительных машин все более и более сложные модели); среди этих задач имеется очень большое число нерешенных, некоторые из них приводятся в конце каждой из глав.

Ввиду разнообразия применений и огромного множества различных встречающихся задач, а также ввиду неустойчивости этих задач относительно "малых" изменений, классификация по типам уравнений нам представляется иллюзорной; вот почему мы придерживаемся классификации по методам.

В конце мы добавили указатель типов уравнений, в котором отмечены те места из книги, где различными методами изучаются соответствующие типы уравнений.

8. Эта книга возникла в связи с курсом лекций 3-го цикла, которые я читал на Парижском факультете естественных наук в течение 1968/69 учебного года. Я горячо благодарю С.Бардоса, X. Брезиса, П.Равьяра, Л.Тартара и Р.Темама, которые помогли мне улучшить изложение ряда вопросов как по форме, так и по содержанию.

Я благодарен также Ф.Бутану и Ф.Мюра, которые составили записи лекций, и слушателям, которые своим интересом, проявленным во время лекций, побудили меня взяться за подготовку записей к печати.

Я особенно благодарен П.Лелону, который любезно согласился включить эту книгу в серию, издаваемую под его руководством.

Я горячо благодарю секретариат математического отдела Института А.Пуанкаре и издательство Дюно за их замечательную работу.

9. В конце книги мы приводим список основных обозначений, указатель типов уравнений и подробное оглавление.

Каждая глава начинается с нескольких общих указаний для ориентации, которые могут быть опущены при первом чтении.

Литературные указания, как правило, приводятся в комментариях, которыми заканчивается каждая глава.

Об авторе

Лионс Жак-Луи

Выдающийся французский математик и механик, иностранный член Академии наук СССР (1982). Родился в Грассе. Участник движения Сопротивления в 1943–1944 гг. Окончил Высшую нормальную школу в Париже (1947). Профессор факультетов естественных наук в уни-верситетах Нанси (1957–1962) и Парижа (с 1965 г.). Возглавлял лабо-раторию численного анализа в Парижском университете и матема-тический отдел Научно-исследовательского института информатики и автоматики. Директор Национального центра космических иссле-дований (1984–1992). Президент Международного математического союза (с 1991 г.), президент Французской академии наук (с 1996 г.). Автор более 400 научных статей и 20 книг.

Основные направления исследований Ж.-Л. Лионса — численный анализ, теория оптимального контроля, уравнения с частными производными, интегральные преобразования, функцио-нальные уравнения, уравнения в конечных разностях, интегральные уравнения, вариационное исчисление, векториальные топологические пространства. Он занимался изучением граничных задач, в частности в теории эллиптических уравнений. Получил теорему единственности для турбулентных движений в двумерном случае. Автор фундаментальных трудов по теории дифференциальных уравнений и ее приложениям к задачам механики и физики.