Малкин И.Г. Теория устойчивости движения

Оглавление

Предисловие

За последние годы значительно возрос интерес к теории устойчивости движения. Созданная в 90-х годах прошлого века гением А.М.Ляпунова эта теория нашла широкое применение в различных областях физики и техники. Ее широкому внедрению в практику способствовали многочисленные исследования главным образом советских ученых. Появилась настоятельная необходимость дать систематическое изложение теории, применяемых в ней методов, показать их приложение к решению конкретных практических задач. Этой цели и служит настоящая книга, как и ранее вышедшая книга Н.Г.Четаева "Устойчивость движения" (1946 г.).

Однако настоящая книга значительно превышает по объему книгу Н.Г.Четаева, что позволило автору остановиться не только на основных узловых вопросах теории, но и на некоторых подробностях отдельных вопросов. Для читателя-прикладника, на которого книга, в основном, и рассчитана, эти подробности, касающиеся часто методов вычислений, могут оказаться очень важными. Вместе с тем автор сознает, что увеличение объема книги затрудняет ее усвоение, в особенности для читателя, который впервые будет знакомиться с теорией устойчивости по этой книге и не обладает большой математической подготовкой. Чтобы облегчить усвоение книги такому читателю, автор придерживается концентрического метода изложения.

Первый концентр составляют главы I, II и III. В них излагается постановка вопроса, основные теоремы второго метода Ляпунова для установившихся движений и теория устойчивости по первому приближению тоже для установившихся движений. Эти три главы занимают небольшой объем и охватывают основной круг знаний, необходимых для каждого, занимающегося вопросами устойчивости движения. Изучение этих глав требует знания лишь основных элементов теории дифференциальных уравнений и вполне доступно для лиц, владеющих математикой в объеме программ втузов.

Глава IV – несколько более трудная по содержанию. В ней излагаются классические критические случаи для установившихся движений. Еще более трудной для изучения является глава V, в которой излагается теория устойчивости периодических движений. Изложение этой теории может быть значительно упрощено, если отказаться от рассмотрения всех случаев, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни. Однако автор не мог пойти на такое упрощение, учитывая интересы читателей, желающих более глубоко изучить теорию устойчивости движения. Автор учитывал также и то, что теория уравнений с периодическими коэффициентами (линейных и нелинейных) имеет очень важное практическое значение, и счел необходимым дать подробное и систематическое изложение этой теории, особенно тех ее частей, которые имеют непосредственное приложение к практике.

Главы IV и V составляют второй концентр. Хотя он и труднее для изучения, чем первый концентр, он все же доступен читателю, имеющему математическую подготовку в объеме программы втузов.

Глава VI посвящена общему случаю неустановившихся движений. Ее изучение требует знания теории дифференциальных уравнений в объеме, например, "Курса дифференциальных уравнений" В.В.Степанова.

Концентрическое построение книги отразилось, естественно, на стиле изложения. В первых главах сравнительно простые вопросы сопровождаются подробными разъяснениями, в то время как в последней главе вопросы значительно более сложные излагаются лаконичнее. Однако автор надеется, что этот недостаток искупается тем, что книга при таком изложении делается доступной значительно более широкому кругу читателей.

Как уже указывалось выше, книга рассчитана главным образом на прикладника. Поэтому практическим приемам решения задач устойчивости уделяется основное внимание. Все излагаемые методы сопровождаются поясняющими примерами. Часть этих примеров взята из текущей технической литературы. Однако автор не ставил себе целью решение тех или иных технических или физических задач. Его целью является изложение основных приемов решения задач устойчивости для того, чтобы дать возможность овладеть этими приемами лицам, которым приходится решать конкретные физические или технические задачи, связанные с вопросами устойчивости. Поэтому приводимые примеры носят иллюстративный характер. Они преследуют цель показать, как основные методы, излагаемые в книге, могут быть применены к решению конкретных задач и как эти методы, действительно применялись отдельными исследователями на практике. Поэтому все эти задачи, как правило, излагаются значительно короче, чем в оригинальных статьях, и часто при некоторых упрощающих предположениях. Читатель, который пожелает с этими вопросами познакомиться более подробно, должен обратиться к цитируемой литературе.

В заключение автор выражает глубокую благодарность чл.-корр. АН СССР Н.Г.Четаеву и проф. А.И.Лурье, прочитавшим рукопись настоящей работы и сделавшим ряд ценных замечаний.

Из главы I. Основные понятия и определения

§ 1. Постановка задачи

Теория устойчивости движения занимается исследованием влияния возмущающих факторов на движение материальной системы. Под возмущающими факторами понимаются силы, не учитываемые при описании движения вследствие их малости по сравнению с основными силами. Эти возмущающие силы обычно неизвестны. Они могут действовать мгновенно, что сведется к малому изменению начального состояния материальной системы, т.е. начальных значений координат и скоростей. Но эти факторы могут действовать и непрерывно, что будет означать, что составленные дифференциальные уравнения движения отличаются от истинных, что в них не учтены некоторые малые поправочные члены.

Хорошо известно, что влияние малых возмущающих факторов на движение материальной системы будет неодинаковым для различных движений. На одни движения это влияние незначительно, так что возмущенное движение мало отличается от невозмущенного. Напротив, на других движениях влияние возмущений сказывается весьма значительно, так что возмущенное движение значительно отличается от невозмущенного, как бы малы ни были возмущающие силы. Движения первого рода называются устойчивыми, движения второго рода – неустойчивыми.

Теория устойчивости движения и занимается установлением признаков, позволяющих судить, будет ли рассматриваемое движение устойчивым или неустойчивым. Так как в действительности возмущающие факторы всегда неизбежно существуют, то становится понятным, что задача устойчивости движения приобретает очень важное теоретическое и практическое значение.

Задачей устойчивости движения занимались многие виднейшие математики и механики. Основная теорема об устойчивости равновесия установлена еще Лагранжем. Она служила исходным пунктом для исследований Рауса, который установил признаки устойчивости движения для некоторых частных случаев движений. Задачей устойчивости занимались также Томсон и Тэт и Н.Е.Жуковский. Все эти авторы рассматривали весьма частные случаи движений и для решения задачи применяли нестрогие методы. Первое строгое решение задачи принадлежит Пуанкаре. Однако результаты Пуанкаре также носят весьма частный характер.

В 1892 году появилась знаменитая докторская диссертация А.М.Ляпунова "Общая задача об устойчивости движения". В этом замечательном труде задача об устойчивости движения была впервые поставлена во всей ее общности и были предложены мощные и вместе с тем строгие методы ее решения. Эта работа Ляпунова явилась отправным пунктом всех дальнейших исследований по теории устойчивости движения.

Выше мы дали весьма схематичное определение устойчивости и неустойчивости движения. Эти понятия требуют, разумеется, более точного определения. Различные авторы по-разному определяли эти понятия и вследствие этого по-разному ставили задачу устойчивости. Наиболее общая постановка задачи дана Ляпуновым. Эта постановка оказалась исключительно удачной и наиболее соответствующей нуждам приложений. Этим и объясняется тот особый интерес, который проявлен к теории Ляпунова в последние годы, когда современная техника, в которой приходится иметь дело с огромными скоростями и широким внедрением автоматики, сделала особо актуальной задачу об устойчивости движения.

Эта книга посвящена теории устойчивости движения в смысле Ляпунова. В ней излагаются основные результаты Ляпунова и его последователей.

Об авторе

Малкин Иоэль Гильевич

Советский математик и механик. Доктор физико-математических наук, профессор. Окончил физико-математический факультет Казанского университета, учился в аспирантуре по специальности «механика». В 1930–1938 гг. преподавал в Витебском педагогическом и Казанском авиационном институтах. С 1938 г. возглавлял организованную им кафедру теоретической механики Уральского университета (Свердловск).

И. Г. Малкин внес значительный вклад в развитие второго метода Ляпунова в теории устойчивости. Им были рассмотрены сложные вопросы теории критических случаев устойчивости; результатом этих исследований стала монография «Теория устойчивости движения». Свои научные исследования он органически связывал с техническими приложениями, чем и объясняется его интерес к теории нелинейных колебаний, время обращения к которой совпало с началом внедрения результатов этой теории в практику. Автор около 40 научных работ, в том числе трех монографий по теории устойчивости движения и теории нелинейных колебаний: «Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний», «Теория устойчивости движения» и «Некоторые задачи теории нелинейных колебаний» (все три книги были переизданы в URSS). Он также перевел на русский язык фундаментальный курс П. Аппеля по теоретической механике.