|
Оглавление
Предисловие
С целью избавить читателя от потери времени в бесплодных попытках разрешить предполагаемые загадки, я предупреждаю его, что действующие лица диалога не являются ни карикатурами на живущих или живших людей, ни их двойниками. Это только крючки для развешивания идей и больше ничего. До известной степени это верно даже для Инта, выражающего позицию интуиционизма. Для ясности я заставлял его порою говорить категоричнее, чем говорил бы я сам, если бы свободно выражал свое собственное мнение. Дискуссия строго ограничивается интуиционизмом; другие концепции математики затрагиваются лишь постольку, поскольку они включают в себя возражения против интуиционизма. Я отклоняю всякий упрек в неполном представлении других точек зрения. В ходе изложения оказалось необходимым давать подробные доказательства даже там, где они отличаются от хорошо известных классических доказательств только небольшими дополнениями, поскольку не существует никакого удобного способа указать, в какие именно места нужно вставлять эти дополнения. По мере накопления материала я постепенно применял все более сжатый стиль, в предположении, что у читателя развилось понимание специфически интуиционистских трудностей. Выражаю искреннюю благодарность всем, кто своим участием помог совершенствованию этой книги, в частности д-ру П.Гилмору, проф. Л.Хенкину и В.Тэйту, прочитавшим части рукописи и предложившим многие стилистические поправки, а также И.И.де Ионгу и Ф. ван де Оудеветерингу, которые тщательно просмотрели рукопись. Де Ионгу книга обязана многими исправлениями и улучшениями. Во многих местах книги читатель найдет старомодные рассуждения, которым недостает общности и которые более топорны, чем современные методы. На это имеются различные причины. Во-первых, мощные методы слишком часто прибегают к косвенным доказательствам, так что их почти невозможно ввести в интуиционистскую математику. Во-вторых, наиболее общие современные теории развиваются при помощи аксиоматического метода. А этот метод хорошо работает только в том случае, когда существуют конкретные теории, из которых при помощи обобщения можно построить аксиоматическую теорию. Например, общую топологию можно было развить только после того, как топология евклидовых пространств до некоторой степени была уже известна. Фактически почти ни одна часть интуиционистской математики не исследована настолько глубоко, чтобы было возможно построение общей аксиоматической теории. В частности, в этой книге я должен был ограничиться, наиболее элементарным случаем интегрирования; когда эта область будет известна лучше, чем в настоящее время, станет возможным построить аксиоматическую теорию предмета. Даже в случае алгебры, где аксиоматизация возможна и в настоящее время, в силу вводного характера книги представлялось лучшим иметь дело с конкретным примером поля действительных чисел. Возможно, что в некоторых случаях я использовал устарелые методы, потому что не знаю современных. Одна из целей этой книги – помочь работающим математикам разобраться в том, какой из их результатов можно доказать интуиционистски. Интуиционизм может процветать только тогда, когда математики, работающие в различных областях, будут активно интересоваться им и вносить в него свои вклады. Чтобы построить определенную ветвь интуиционистской математики, нужно, во-первых, обладать основательным знанием соответствующей ветви классической математики и, во-вторых, из опыта знать, где лежат интуиционистские ловушки. В этой книге я стараюсь научить последнему; я надеюсь, что найдутся читатели, которые успешнее справятся с деталями теории, чем это удалось мне, и которые дадут интуиционистскую трактовку других отделов математики. "Рекомендации читателям" имеют целью помочь им; в них указаны наиболее важные интуиционистские труды в некоторых специальных областях. Система ссылок построена следующим образом: "Теор. 2" отсылает к теореме 2 того же раздела; "Опр. 2" отсылает к определению 2 того же раздела; "Теор. 2 из 6.2.1" отсылает к теореме 2 из раздела 6. 2. 1. А.Рейтинг
Об авторе
 Гейтинг Аренд Известный голландский математик и логик. Родился в Амстердаме, в семье школьного учителя. Окончил в 1922 г. Амстердамский университет. Ученик и последователь известного голландского математика, основоположника интуиционизма Л. Э. Я. Брауэра, под руководством которого в 1925 г. успешно защитил докторскую диссертацию. Работал учителем математики в средней школе, одновременно занимаясь математическими исследованиями (в 1928 г. был удостоен премии Голландской математической ассоциации). С 1936 г. работал в Амстердамском университете; с 1948 г. до выхода на пенсию в 1968 г. — профессор этого университета. Член Нидерландской академии наук.
Исследования А. Гейтинга были посвящены основаниям математики. Он стал одним из виднейших после Брауэра представителей интуиционизма — системы философских и математических идей и методов, связанных с пониманием математики как совокупности «интуитивно убедительных» умственных построений. Продолжая развивать это направление в математике, А. Гейтинг изложил формальные правила интуиционистской логики высказываний, построил двузначную символическую логику. Во многом благодаря его работам интуиционистская логика стала частью математической логики. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||