Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения.
Пер. с англ. Изд. 4, стереот.

Оглавление

Предисловие переводчика

Автор этого курса, итальянский математик Франческо Трикоми, хорошо известен советскому читателю по трем уже переведенным книгам, а также по его научным исследованиям, в особенности в области уравнений с частными производными смешанного типа. Книга, выпускаемая сейчас в русском переводе, выполненном с английского издания 1961 г., написана со свойственными автору простотой, ясностью и изяществом; элементарность изложения и свежесть материала – вот ее характерные черты. По необходимым предварительным знаниям и уровню математического развития она соответствует третьему курсу физико-математических факультетов наших университетов. В то же время тщательный отбор материала и продуманное изложение дают возможность автору на сравнительно небольшом объеме осветить многие важные задачи, идеи, методы и результаты современной теории, которые обычно в общих курсах опускаются. При этом с помощью обзора последних научных достижений в отдельных областях и указания литературы – учебников, монографий и научных статей – автор по многим пунктам подводит читателя к современному уровню исследований.

В книге, за исключением теоремы о существовании и единственности решения начальной задачи, почти не освещаются те общие факты, которые обычно входят в учебный курс дифференциальных уравнений (интегрируемые типы уравнений первого и высших порядков, общая теория линейных уравнений, линейные уравнения с постоянными коэффициентами и т.п.). В то же время некоторые (хотя и простые) сведения об этих фактах автор время от времени использует. Поэтому можно рекомендовать приступить к чтению этой книги после ознакомления с обычным учебным курсом; другими словами, по нашему мнению, эта книга может служить в качестве основы спецкурса по дополнительным главам теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Отметим, что в последней главе книги используются некоторые простые факты из теории функций комплексного переменного (не далее приложений теории вычетов и аналитического продолжения); это также делает целесообразным чтение книги не ранее третьего курса.

Книга в целом написана тщательно и какой-либо существенной редакторской правки не понадобилось. Некоторые небольшие изменения и добавления, уточняющие и поясняющие текст, мы сочли возможным включить в текст без особой оговорки. Единственное сколько-нибудь существенное отклонение от оригинального текста допущено в § 34, где не вполне ясная формулировка леммы автора нами заменена. Включено также несколько примечаний переводчика с 'пояснениями и указанием дополнительной литературы на русском языке.

Мы надеемся, что эта яркая книга после выхода на русском языке приобретет еще большее число поклонников, которые при ее чтении испытают такое же удовольствие, какое испытал переводчик при работе над ней.

Предисловие к первому итальянскому изданию

Книга такого рода, как эта, может иметь две различные и почти несовместимые цели. Она может быть справочником, содержащим краткий обзор всех направлений в данной области и обширную библиографию. С другой стороны, она может быть учебником, который предназначен для того, чтобы дать студенту ясное представление об идеях и методах в теории дифференциальных уравнений, являющейся одной из важнейших ветвей анализа.

При написании данного курса имелась в виду вторая из этих целей, так как в хороших современных справочниках нет недостатка. Книга выросла из университетских курсов, прочитанных автором, и не претендует на полноту. В ней рассмотрены только те вопросы, которые можно было изложить со строгостью и одновременно с простотой; число таких вопросов ограничено также условием, чтобы они не требовали математических познаний, отсутствующих у студентов третьего – четвертого курсов.

Недостаток места заставил меня ограничиться обыкновенными дифференциальными уравнениями (уравнения с частными производными не рассматриваются) и исключить так называемые элементарные методы интегрирования (разделение переменных, интегрирование линейных уравнений первого порядка, линейные уравнения с постоянными коэффициентами и т.п.). Содержание книги ясно из подробного оглавления. Глава I является вводной для последующих; главу II, главы III и IV вместе и главу V (единственную, в которой требуется некоторое знание теории функций комплексного переменного) можно читать независимо друг от друга.

Те читатели, которые знакомы с основными математическими интересами автора, могут быть удивлены тем, что в книге совсем не упоминаются операционные методы, в частности, интегрирование с помощью определенных интегралов. Однако это потребовало бы больше места, чем имеется в нашем распоряжении, тогда как сейчас имеются хорошо известные книги Деча [61], Гиццетти [59] и другие, посвященные приложению символических методов (т.е. преобразованию Лапласа) и дифференциальным уравнениям применительно к теоретической электротехнике или другим специальным отраслям.

В процессе изложения я старался все время подчеркивать, что в современной теории дифференциальных уравнений основной целью является вывод свойств решений непосредственно из уравнения, тогда как ранее целью было явное интегрирование уравнения. Трудные случаи всегда сложны, когда с ними имеют дело в их наиболее общей форме; но если ограничиться простейшими случаями, то можно ясно показать фундаментальные идеи, лежащие в основе применяемых методом.

Читатель, являющийся знатоком в данной области, оценить пользу и простоту замены переменных Прюфера при выводе теоремы существования для собственных значений (глава III), вывод асимптотического представления решений линейных уравнений второго порядка (глава IV), а также изучение характеристик для уравнений первого порядка (глава II) – при столь малых ограничениях, как здесь, этот последний вопрос впервые появляется в учебнике.

Я хотел бы указать, далее, что при "асимптотическом интегрировании" линейных уравнений по методу Пуанкаре (глава V) я смог устранить то ограничение, что независимая переменная должна стремиться к бесконечности, принимая вещественные значения; это позволило мне получить классические асимптотические ряды для функций Бесселя способом, который трудно улучшить.

Я надеюсь, что эта книга окажется полезной, в частности, студентам, для которых она предназначается.

Турин, осень 1946 г.

Предисловие ко второму итальянскому изданию

Несмотря на короткий срок, прошедший со времени появления первого издания (1948 г.), новое издание отличается от предыдущего в нескольких аспектах; это, в oc'HOBiHOM, связано с тем, что материал книги принадлежит одной из наиболее живых областей анализа, в которую за последние годы было сделано много важных вкладов.

Было внесено несколько существенных усовершенствований в текст и много добавлений в библиографию. Я хотел бы обратить внимание, в особенности, (на следующие детали:

I. В главе II добавлены применения топологических методов к изучению релаксационных колебаний и смежных вопросов, важных для нелинейной механики.

П.В гл.IV сравнительно простое рассмотрение асимптотического поведения решений уравнения y"+Q(x)y = = 0 углублено на основании недавней работы моего коллеги Дж.Асколи; это работа и появилась отчасти благодаря обсуждению нами этого нового издания.

III. Общий метод исследования дифференциальных уравнений, который я назвал "методом Фубини", включен в основной текст и развит далее; в предыдущем издании этот метод содержался в добавлении.

IV. Существенно упрощено определение собственных значений для уравнения Лежандра в главе IV.

В заключение считаю своим приятным долгом выразить благодарность всем тем читателям, которые внесли вклад в это новое издание, указав опечатки и иные ошибки или предложив некоторые добавления и усовершенствования. В частности, большую помощь оказали мне мои коллеги Дж.Асколи, Д.Граффи, Л.А.Мак-Колл, Э.Персико, Дж.Сансоне, Дж.Скорца-Драгони и мой ассистент У.Рикард, которым я особенно обязан.

Турин, октябрь 1952 г.

Предисловие к английскому изданию

Настоящее английское издание соответствует третьему итальянскому изданию, которое находится сейчас в процессе печатания.

Основные улучшения в данном издании состоят в следующем:

(1) теорема Балле Пуссена (§ 17) о минимальном расстоянии между двумя последовательными нулями решения линейного дифференциального уравнения второго порядка изложена сейчас в усовершенствованной форме, которая принадлежит Хартману и Винтнеру (1955);

(2) добавлен новый параграф (§ 36) об уравнениях с переходными точками, в котором применен метод, введенный автором в статье 1954 г.;

(3) существенно упрощено применение метода последовательных приближений к линейным уравнениям с нефуксовыми особыми точками (§ 49).

Я весьма обязан доктору Элизабет А.МакХардж за ее заботу и усердие при работе над переводом.

Турин, октябрь 1960 г.