URSS.ru Магазин научной книги
URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Дэвенпорт Г. Высшая арифметика: Введение в ТЕОРИЮ ЧИСЕЛ. Пер. с англ. Обложка Дэвенпорт Г. Высшая арифметика: Введение в ТЕОРИЮ ЧИСЕЛ. Пер. с англ.
Id: 110804
496 р.

Высшая арифметика:
Введение в ТЕОРИЮ ЧИСЕЛ. Пер. с англ. Изд. 2

Harold Davenport. The Higher Arithmetic
URSS. 2010. 176 с. ISBN 978-5-397-01298-0.
Серия: Физико-математическое наследие: математика (теория чисел)
Типографская бумага
  • Мягкая обложка

Аннотация

В книге известного английского математика Г.Дэвенпорта (1907–1969) в доступной форме дается введение в теорию чисел. Рассмотрены разложение числа на множители и простые числа, сравнения, квадратичные вычеты, непрерывные дроби, суммы квадратов, квадратичные формы и некоторые диофантовы уравнения. Теоремы и их доказательства иллюстрируются достаточно простыми численными примерами, поясняющими общую теорию.

Книга будет полезна студентам... (Подробнее)

Оглавление
top
Введение
Глава I.Разложение на множители и простые числа
 1.Законы арифметики. 2. Доказательство по индукции. 3. Простые числа. 4. Основная теорема арифметики. 5. Следствия из основной теоремы. 6. Алгоритм Евклида. 7. Другое доказательство основной теоремы. 8. Одно свойство Н. О. Д. 9. Разложение чисел на множители. 10. Простые числа. Замечания к главе I
Глава II.Сравнения
 1.Понятие сравнения. 2. Линейные сравнения 3. Теорема Ферма. 4. Функция Эйлера phi (m). 5. Теорема Вильсона. 6. Алгебраические сравнения. 7. Сравнения по простому модулю. 8. Сравнения от нескольких переменных. 9. Сравнения, покрывающие все числа. Замечания к главе II
Глава III.Квадратичные вычеты
 1. Первообразные корни. 2. Индексы. 3. Квадратичные вычеты. 4. Лемма Гаусса. 5. Закон взаимности. 6. Распределение квадратичных вычетов. Замечания к главе III
Глава IV.Непрерывные дроби
 1.Введение. 2. Общая непрерывная дробь. 3. Правило Эйлера. 4. Подходящие данной непрерывной дроби. 5. Уравнение ах - bу = 1 . 6. Бесконечные непрерывные дроби. 7. Диофантовы приближения. 8. Квадратичные иррациональности. 9. Чисто периодические непрерывные дроби. 10. Теорема Лагранжа. 11. Уравнение Пелля. 12. Геометрическая интерпретация непрерывных дробей. Замечания к главе IV
Глава V.Суммы квадратов
 1.Числа, представимые в виде суммы двух квадратов. 2. Простые вида 4k + 1. 3. Конструкция для х и у. 4. Представление четырьмя квадратами. 5. Представление тремя квадратами. Замечания к главе V
Глава VI.Квадратичные формы
 1. Введение. 2. Эквивалентные формы. 3. Дискриминант. 4. Представление числа формой. 5. Три примера. 6. Редукция положительно определенных форм. 7. Приведенные формы. 8. Число представлений. 9. Число классов. Замечания к главе VI
Глава VII.Некоторые диофантовы уравнения
 1.Введение. 2. Уравнение x2 + y2 = z2. 3. Уравнение ax2 + by2 = z2. 4. Проблема Ферма. 5. Уравнение x3 + y3 = z8 + w3. 6. Теорема Туэ - Зигеля-Рота , Замечания к главе VII
Библиография
Указатель
Введение
top

Высшая арифметика, или теория чисел, изучает свойства натуральных чисел 1, 2, 3,... Эти числа интересуют человека с давних времен. Античные летописи говорят о том, что уже тогда арифметику знали глубже и шире, чем это было необходимо для нужд повседневной жизни. Но систематической, самостоятельной наукой высшая арифметика становится лишь в новое время, начиная с открытий Ферма (Fermat, 1601–1665).

Многие простые и общие теоремы высшей арифметики естественно возникают из вычислений, однако при доказательстве этих теорем часто встречаются очень большие трудности. "Эта особенность, – по словам Гаусса, – вместе с неистощимым богатством высшей арифметики, которым она столь сильно превосходит другие области математики, придает высшей арифметике неотразимое очарование, сделавшее ее любимой наукой величайших математиков".

Теория чисел считается обычно "чистейшей" ветвью чистой математики. Она имеет очень немного прямых приложений к другим естественным наукам, но обладает одной общей с ними чертой: теория чисел развивается из эксперимента, роль которого играет проверка общих теорем на численных примерах. Такой эксперимент необходим в любой области математики, но в теории чисел он играет большую роль, чем где бы то ни было, ибо в других областях математики результаты, полученные таким способом, часто бывают неверными.

Автор этой книги хорошо понимает, что нематематик не сможет прочесть ее без труда. Трудность частично лежит в самом предмете. Этой трудности не избежать, пытаясь использовать несовершенные аналогии или проводя доказательства, выражающие основную мысль, но неточные в деталях. Такая попытка может лишь уменьшить интерес к этой наиболее точной из наук.

В этой книге теоремы и их доказательства часто иллюстрируются численными примерами. Примеры обычно очень просты и могут не удовлетворить читателя, который любит вычисления. Задача этих примеров – пояснить общую теорию. Вопрос о наиболее эффективном проведении арифметических вычислений выходит за рамки данной книги.

Автор признателен многим друзьям, особенно д-ру Эрдешу, проф. Морделлу и д-ру Роджерсу, за предложения и исправления. Он обязан также капитану Дрэму за разрешение включить описание его алгоритма.

Об авторе
top
Гарольд ДЭВЕНПОРТ (1907–1969)

Известный английский математик, член Лондонского королевского общества (1940). Родился в Акрингтоне (графство Ланкашир). Учился в Манчестерском и Кембриджском университетах. Ученик известного математика, профессора Кембриджского университета Дж. И. Литлвуда. Работал в Кембридже. В 1957–1959  гг. был президентом Лондонского математического общества.

Основные работы Г. Дэвенпорта относятся к теории чисел, в частности к аналитической теории диофантовых уравнений и алгебраической теории чисел. Его труды по оценке тригонометрических сумм и характеров в конечных полях оказали значительное влияние на современную алгебраическую теорию. Многие из его работ написаны совместно с лауреатом Филдсовской премии Э. Бомбьери и другими математиками. Список опубликованных работ содержит 196 названий. На русский язык были переведены его книги "Высшая арифметика. Введение в теорию чисел" (1965), предлагаемая читателю, и "Мультипликативная теория чисел" (1971).