|
Оглавление
Предисловие
Известными исследованиями Мандельштама, Папалекси, Андронова и их последователей по теории нелинейных колебаний показано исключительное значение, которое имеют для этой теории методы Ляпунова и Пуанкаре. Речь идет: а) о методах решения задачи устойчивости движения и нахождения периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений, разработанных Ляпуновым в его классическом сочинении "Общая задача об устойчивости движения"; б) о методах отыскания периодических решений и исследования вида интегральных кривых нелинейных дифференциальных уравнений, разработанных Пуанкаре в его классических исследованиях "Новые методы небесной механики" и "Кривые, определяемые дифференциальными уравнениями". В этих трудах Ляпунова и Пуанкаре разработаны и другие важные вопросы математического анализа, находящие применение в теории нелинейных колебаний. Труды Ляпунова и Пуанкаре весьма сложны по содержанию и велики по объему. Поэтому, изучение этих трудов для практика, интересующегося вопросами нелинейных колебаний, является задачей весьма трудной. К тому же эти труды не посвящены специально нелинейным колебаниям и не все вопросы, в них освещаемые, имеют приложение в этой теории. Нам представляется, поэтому, целесообразным дать в небольшой книге изложение результатов Ляпунова и Пуанкаре, имеющих непосредственное приложение в теории нелинейных колебаний. В этом и заключается одна из основных задач, которую мы перед собою поставили при составлении данной монографии. С другой стороны, необходимо показать, как общие результаты Ляпунова и Пуанкаре применяются к решению задач нелинейных колебаний, т.е. изложить практические приемы и методы вычислений. Известно, что практическое применение методов Ляпунова и Пуанкаре, если иметь в виду нелинейные системы самого общего вида, сопряжено с большими математическими трудностями. Эти трудности могут быть, вообще говоря, преодолены лишь только для систем частного вида. В частности, они легко преодолеваются для систем, мало отличающихся от линейных. Именно такого рода систем и рассматривались в исследованиях Мандельштама, Папалекси, Андронова и их последователей. Так возникла теория квазилинейных колебаний. Несмотря на весьма частный характер систем, рассматриваемых в этой теории, все же при ее применении удалось получить весьма серьезные практические результаты. Изложению этой теории посвящена вторая глава данной монографии. Однако многие важные практические задачи не могут быть уложены в схемы квазилинейной теории даже и в тех случаях, когда уравнения колебаний действительно мало отличаются от линейных. Нам удалось показать, что связанные с применением методов Ляпунова и Пуанкаре математические трудности могут быть успешно преодолены для систем значительно более общего вида. Мы имеем в виду системы, мало отличающиеся от систем Ляпунова. Теории колебаний такого рода систем посвящена значительная часть настоящей монографии. Переходим к несколько более подробному изложению содержания монографии. В первой главе излагается теория Пуанкаре периодических решений систем нелинейных дифференциальных уравнений, зависящих от малого параметра. При этом мы уточняем и дополняем некоторые результаты Пуанкаре, вследствие чего их применение на практике значительно упрощается. Во второй главе, как указывалось выше, излагается теория квазилинейных колебаний. Третья глава посвящена теории устойчивости периодических движений. Здесь основные результаты Ляпунова об устойчивости изложены применительно к периодическим движениям и показаны практические приемы решения задачи устойчивости периодических колебаний. В этой же главе излагается общая теория линейных уравнений с периодическими коэффициентами, играющая весьма важную роль в теории устойчивости периодических движений и в теории нелинейных колебаний вообще. Наше изложение этой теории отличается от обычно принятого, основанного на теории линейных подстановок, и представляется нам более простым. В четвертой главе излагается разработанная Ляпуновым теория периодических решений некоторых особых систем нелинейных дифференциальных уравнений, которые мы называем системами Ляпунова. Нам удалось при этом значительно упростить основные доказательства, вследствие чего все изложение значительно проще, чем у Ляпунова. В пятой и шестой главах изложены результаты наших исследований колебаний систем, близких к системам Ляпунова. При этом в пятой главе рассматриваются системы с одной степенью свободы, а в шестой главе – со многими степенями свободы. Из изложенного выше следует, что настоящая монография отнюдь не исчерпывает все основные вопросы теории нелинейных колебаний. В частности, в ней рассматриваются только периодические колебания, так как именно к такого рода колебаниям главным образом и применимы теории Ляпунова и Пуанкаре. Колебания почти периодические и, в частности, квазипериодические в этой монографии не рассматриваются, вследствие чего в ней не нашли отражения важные исследования Н.М.Крылова и Н.Н.Боголюбова по теории нелинейных колебаний. Основой настоящей монографии явился курс лекций, читанных автором в 1943–1946 гг. для студентов и сотрудников Уральского государственного университета и Уральского политехнического института. Об авторе
 Малкин Иоэль Гильевич Советский математик и механик. Доктор физико-математических наук, профессор. Окончил физико-математический факультет Казанского университета, учился в аспирантуре по специальности «механика». В 1930–1938 гг. преподавал в Витебском педагогическом и Казанском авиационном институтах. С 1938 г. возглавлял организованную им кафедру теоретической механики Уральского университета (Свердловск).
И. Г. Малкин внес значительный вклад в развитие второго метода Ляпунова в теории устойчивости. Им были рассмотрены сложные вопросы теории критических случаев устойчивости; результатом этих исследований стала монография «Теория устойчивости движения». Свои научные исследования он органически связывал с техническими приложениями, чем и объясняется его интерес к теории нелинейных колебаний, время обращения к которой совпало с началом внедрения результатов этой теории в практику. Автор около 40 научных работ, в том числе трех монографий по теории устойчивости движения и теории нелинейных колебаний: «Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний», «Теория устойчивости движения» и «Некоторые задачи теории нелинейных колебаний» (все три книги были переизданы в URSS). Он также перевел на русский язык фундаментальный курс П. Аппеля по теоретической механике. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||