Демидов И.Т. Основания арифметики Изд. 2

Оглавление

Введение

Основания арифметики – раздел математики, в котором изучаются числа, их основные свойства и построение различных классов чисел.

Понятие числа является одним из основных понятий математики. Исторически это понятие возникло еще в глубокой древности в результате практической деятельности человека. Для подсчета количества добычи, для измерения земельных участков, для определения вместимости сосудов, для ведения счета времени и для решения многих других вопросов настоятельно требовалось введение понятия числа.

На первых порах понятия отвлеченного числа не существовало. Первоначально "счет" представлял собой сравнение данной совокупности предметов с какой-нибудь заранее известной совокупностью (совокупностью пальцев на руках, узлов на ремне, отметок на палке и т.д.), т.е. вместо понятия отвлеченного числа было понятие конкретного множества предметов, которое служило эталоном счета. Например, вместо того чтобы сказать, что данная совокупность содержит пять предметов, говорили, что предметов столько же, сколько пальцев на руке; путешествие продолжалось столько дней, сколько отметок сделано на палке, и т.д. Затем постепенно в течение длительного времени возникает понятие отвлеченного числа как количественной характеристики всех совокупностей, обладающих некоторым свойством, совершенно не зависящим от качественной характеристики предметов этих совокупностей.

В XIX веке немецким математиком Кантором была построена теория множеств, которая позволила исследовать понятие натурального числа, сравнение натуральных чисел по величине и действия над этими числами.

Множество и элемент множества Кантор описывает следующим образом: "Под "множеством" мы понимаем любое объединение в одно целое М определенных вполне различаемых объектов т из нашего восприятия или мысли (которые называются "элементами" М)".

Множество есть понятие первоначальное, т.е. понятие, принимаемое в математике без определения. Слова Кантора, приведенные выше, являются описанием понятия множества. Множество называют также совокупностью, классом, системой, комплексом, областью. Например, можно говорить о множестве всех натуральных чисел, множестве букв в данном слове, множестве всех букв, напечатанных на данной странице, и т.д.

Говорят, что между элементами множеств М и M установлено взаимно однозначное соответствие, если каждому элементу т из М по некоторому правилу поставлен в соответствие элемент т из М, причем каждому элементу из М соответствует один, и только один, элемент из М, и, обратно, каждый элемент из М соответствует одному, и только одному, элементу из М. Множества М и М, между элементами которых можно установить взаимно однозначное соответствие, называются эквивалентными или равномощными.

Пять пальцев на руке, пять букв в слове школа, пять фигур на плоскости представляют собой качественно различные множества, но все они имеют то общее, что между элементами любых двух из них можно установить взаимно однозначное соответствие. Указанные множества эквивалентны (равномощны) между собой.

Таким образом, понятие натурального числа возникло из необходимости вести счет конкретных предметов. Отвлеченное число получается как результат отвлечения (абстракции) от конкретных множеств предметов. Натуральное число рассматривается как количественная характеристика, общая всем эквивалентным между собой множествам. Все попарно эквивалентные между собой конечные множества (и только эквивалентные) имеют одну и ту же количественную характеристику, называемую "числом элементов" каждого из этих множеств. Если два множества не эквивалентны, то и числа их элементов различны.

"Понятия числа и фигуры, – писал Энгельс, – взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Десять пальцев, на которых люди учились считать, т.е. производить первую арифметическую операцию, представляют собой все, что угодно, только не продукт свободного творчества разума. Чтобы считать, надо иметь не только предметы, подлежащие счету, но обладать уже способностью отвлекаться при рассматривании этих предметов от всех прочих их свойств кроме числа, а эта способность есть результат долгого, опирающегося на опыт, исторического развития" (Ф.Энгельс, Анти-Дюринг, 1952, стр, 37).

С развитием письменности для обозначения натуральных чисел вводятся знаки. Теперь в нашем распоряжении имеются десять таких знаков (цифр): 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Э, с помощью которых мы можем записать любое натуральное число. Но чтобы прийти к такой возможности, потребовалось долгое историческое развитие обозначений чисел и правил счета.

Развивающаяся человеческая практика требовала и расширения понятия числа. Потребность производить измерения величин привела к необходимости ввести дробные числа. Дальнейшее расширение понятия числа обусловливается не только в результате практики, но и в результате развития самой математики.

Развитие алгебры потребовало ввести отрицательные числа, С введением отрицательных чисел и нуля получено множество рациональных чисел, в котором появилась неограниченная возможность производить над числами действия сложения, умножения, вычитания и деления, кроме деления на нуль.

В XVII веке Декартом было дано геометрическое истолкование рациональных чисел, после чего отрицательные числа прочно вошли в европейскую науку.

В алгебре появились вопросы, для решения которых рациональных чисел, оказалось недостаточно. Например, нет рациональных чисел, удовлетворяющих уравнениям х² - 2 = 0 и х² + 2 = 0. Потребовалось дальнейшее расширение понятия числа. Для решения первого уравнения необходимо было ввести иррациональные числа, а для решения второго уравнения – мнимые числа. Числа, удовлетворяющие какому-нибудь уравнению

a₀xⁿ + a₁x^n-1 +... + a_n = 0

с рациональными коэффициентами, называются алгебраическими числами. Алгебраических чисел достаточно для решения любого уравнения вида (1) не только с рациональными коэффициентами, но и с любыми алгебраическими коэффициентами, однако их недостаточно для измерения величин. В элементарной геометрии часто приходится иметь дело с числом я (отношением длины окружности к длине ее диаметра). Эйлер высказал предположение, что число я не является корнем никакого уравнения вида (1) с рациональными коэффициентами, т.е. это число неалгебраическое. Для неалгебраических чисел было введено название – трансцендентные числа. Существование трансцендентных чисел было строго доказано в середине XIX века французским математиком Лиувиллем. В 1882 году немецкий математик Линдеман доказал, что число pi является трансцендентным числом. Это окончательно решило вопрос о невозможности построения с помощью циркуля и линейки квадрата, площадь которого равна площади данного круга (квадратура круга). Эта задача интересовала математиков на протяжении многих веков. В теории множеств легко устанавливается, что трансцендентных чисел, в известном смысле, больше, чем всех алгебраических чисел (алгебраических чисел счетное множество, а трансцендентных – несчетное множество).

Фундаментом, на котором строится математический анализ, является теория пределов, которая не может быть построена строго без теории действительных чисел (множества, состоящего из всех рациональных и всех иррациональных чисел).

В XVIII веке было дано геометрическое истолкование комплексного числа, после чего и мнимые числа перестали быть "воображаемыми" числами. Теперь комплексные числа имеют многочисленные применения как в самой математике, так и в технических дисциплинах (аэромеханике и др.).

Попытки дальнейшего расширения понятия числа привели к построению множества кватернионов, которые также нашли применение в науке.

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД В МАТЕМАТИКЕ

Аксиоматическое построение какой-либо математической теории начинается с перечисления некоторых объектов, изучаемых этой теорией, и некоторых отношений (связей, соотношений) между ними. Эти объекты и отношения называются основными (неопределяемыми, первоначальными, исходными) понятиями рассматриваемой теории. Каждое понятие, которого нет в списке основных понятий, должно быть строго определено.

Определением называется предложение, в котором раскрывается содержание нового понятия, т.е. указываются существенные признаки этого понятия. Обычный прием определения состоит в указании:

1) ближайшего рода, т.е. множества объектов (предметов), к которому относится это понятие,

2) видового отличия, т.е. признаков, которые отличают определяемое понятие от других понятий этого множества.

Пример определения: треугольник, имеющий две равные стороны, называется равнобедренным треугольником.

В этом определении понятия "равнобедренный треугольник" ближайшим родом является множество всех треугольников. Видовым отличием служит указание, что треугольник должен иметь две равные стороны.

Очевидно, прежде чем дать такое определение, нужно знать, что такое треугольник, что такое сторона треугольника и какие его стороны называются равными. Всем этим понятиям тоже надо дать определения, т.е. свести их к еще ранее установленным понятиям. Процесс такого сведения не может продолжаться неограниченно, поэтому и приходится некоторые понятия принимать совсем без определений. Такие понятия и перечисляют в начале изложения теории в качестве основных. Смысл основных понятий можно истолковать на некоторых конкретных множествах, но при аксиоматическом построении теории (в целях наибольшей возможности ее применений) этого не делается.

Вслед за основными понятиями формулируются основные предложения (аксиомы), которые принимаются без доказательства в данной теории.

Аксиомами называются исходные (первоначальные) предложения, на основе которых доказываются другие предложения (теоремы) данной теории.

В аксиомах дается описание отношений (связей, соотношений) между основными понятиями или утверждается существование некоторого основного объекта. Система аксиом является неявным определением основных понятий, т.е. она дает возможность из определенных вне этой теории понятий выделить те, к которым применима данная аксиоматическая теория. Каждое предложение рассматриваемой теории, которого нет в списке аксиом, должно быть выведено (доказано) как следствие из аксиом и ранее выведенных (доказанных) предложений (теорем). Сами же аксиомы принимаются без доказательства в рассматриваемой теории потому, что для их доказательства в этой теории нет исходного "материала". В данной аксиоматической теории аксиомы не доказываются, но отсюда не следует, что их можно формулировать произвольно. Аксиомы появились в результате многовековой практической деятельности людей, и этим обусловливается справедливость аксиом.

В аксиоматической теории перечисляются основные понятия и аксиомы, но обычно не дается никаких указаний относительно логических средств, при помощи которых придется развивать эту теорию, т.е. не дается указаний, как делать выводы из этой системы аксиом. Если в рассматриваемой теории, кроме аксиом и неопределяемых понятий, даются также и правила вывода, с помощью которых можно получать новые предложения (теоремы) этой теории, то такая теория называется дедуктивной теорией. По мере развития дедуктивной теории запас правил расширяется, так как каждое новое предложение, которое уже доказано, можно сформулировать в виде правила вывода, пригодного для получения новых теорем.

Значение дедуктивного метода (кроме установления связей между предложениями данной теории) состоит в том, что в тех науках, где он применим, нет необходимости проверять на практике все выводы данной теории; достаточно проверить только правильность исходных положений и применимость правил вывода в данной науке. Так, например, в множестве всех векторов на плоскости, сложение которых производится по известному правилу "треугольника", выполняются все аксиомы коммутативной группы по сложению (см. § 11), поэтому мы можем утверждать без дополнительной проверки, что в этом множестве справедливы и все выводы, вытекающие из указанной системы аксиом.

Аксиоматический метод в математике применялся уже в древние времена, о чем говорят знаменитые "Начала" Евклида. Особенно большую роль в развитии геометрии сыграл 5-й постулат Евклида, который гласит: "И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньшие двух прямых". В течение многих веков математики пытались доказать этот постулат, т.е. получить его в виде следствия из других предложений Евклида, не зависимых от 5-го постулата. Н.И.Лобачевский созданием своей геометрии в 1829 году показал впервые, что 5-й постулат Евклида не является таким следствием.

С современной точки зрения система аксиом и постулатов в "Началах" Евклида далека от совершенства. После открытия Лобачевским неевклидовой геометрии и исследований французского математика Галуа в алгебре роль аксиоматического метода в математике начала быстро возрастать. Появились геометрические и алгебраические теории, которые строились на основе аксиоматического метода. В самом конце XIX-века были разработаны система аксиом итальянского математика Пеано для арифметики и система аксиом немецкого математика Гильберта для геометрии.

Об авторе