|
Оглавление
Из предисловия переводчика
В предлагаемой книге автор излагает свое замечав тельное открытие – доказательство независимости континуум -гипотезы, а также аксиомы выбора, для аксиоматической теории множеств Цермело – Френкеля (ZF). Этому, а также некоторым смежным, также очень интересным результатам, посвящена последняя, четвертая глава этой книги. Но книга Коэна замечательна не только этим. Первые три главы этой книги сами по себе представляют замечательную монографию по основаниям теории множеств (система ZF и равнонепротиворечивая с ней система GВ Гёделя – Бернайса, обозначаемая в литературе также через 2). В третьей главе впервые подробно излагается первоначальное гёделевское доказательство относительной непротиворечивости аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы (притом прямо для ZF хотя и с использованием теоремы о равнонепротиворечивости из 6, гл.II). Это первоначальное гёделевское доказательство по своей идее гораздо прозрачнее того, которое было впоследствии с большой полнотой изложено Гёделем [14]. В конце третьей главы содержится также принадлежащий автору материал о минимальных моделях. Первая глава содержит общее введение в классическую математическую логику и теорию рекурсивных функций. Заслуживает внимания коэновский подход к доказательству второй теоремы Гёделя о неполноте – подход, по-видимому, гораздо проще поддающийся полной формализации, чем это было сделано в книге Гильберта и Бернайса (или, на русском языке, в добавлении I к [15]). Впрочем, многое из того, о чем говорится в 7 – и особенно в 8–11 -первой главы в дальнейших главах не используется, так что читатель, стремящийся понять прежде всего основные открытия автора о независимости, может эти параграфы опустить, а при наличии общего знакомства с математической логикой начать чтение прямо со второй главы. Но это чтение следует вести уже без пропусков. (Можно, однако, опустить конец 6 из гл.IV – начиная с определения понятия "плотного множества"; приведенная в конце этого параграфа теорема доказана автором слишком сжато и не требуется для понимания дальнейшего материала.) Нет надобности излагать в этом предисловии введенный автором метод вынуждения (forcing). Следует, однако, обратить внимание читателя на теорему Шепердсона, изложенную в начале гл.IV. Из этой теоремы следует, в частности, невозможность доказательства независимости континуум-гипотезы, проведенного посредством построения обычных, так называемых стандартных (например, сохраняющих отношение принадлежности) моделей для системы ZF. Речь при этом идет о моделях, построенных средствами самой системы ZF. Коэн строит ряд моделей для ZF с дополнительными аксиомами типа отрицания континуум-гипотезы, или аксиомы выбора и т.д. – в частности, получается модель для ZF с аксиомой выбора и отрицанием континуум-гипотезы. При этом он пользуется дополнительной аксиомой СМ о существовании стандартной модели для ZF. Обойтись без этой аксиомы при построении моделей только что указанного вида Коэн не мог бы в силу теоремы Шепердсона. (Эта аксиома слабее, например, чем аксиома о существовании недостижимого кардинального числа.) Но построение такой модели для всей системы ZF – это больше, чем требуется для доказательств непротиворечивости или независимости посредством моделей. Дело в том, что ZF содержит схему аксиом подстановки и, тем самым, бесконечно много аксиом, а для доказательства непротиворечивости какой-либо системы аксиом достаточно доказать непротиворечивость любой ее конечной подсистемы. Для конечных же подсистем ZF (пускай с добавленными аксиомой выбора, отрицанием континуум-гипотезы и т.п.) построение таких моделей уже не опирается на СМ (и теорема Шепердсона на этот случай не распространяется). Поскольку цели автора состоят в доказательствах (относительной) непротиворечивости или независимости, а не в построении моделей, можно считать, что аксиомой СМ он пользуется при этом только для простоты изложения. В конце книги он отмечает это обстоятельство, так что его результаты, по существу, не зависят от СМ. Трудности доказательства независимости континуум-гипотезы (или даже более сильной гёделевской аксиомы конструктивности) до Коэна считались связанными прежде всего с этой теоремой Шепердсона. В свете этой теоремы казалось, что поиски следует сосредоточить на нестандартных моделях – и уже после появления работы Коэна чешский математик П. Вопенка сумел построить такую модель (для всей системы ZF, не пользуясь никакими дополнительными аксиомами типа СМ). В известном смысле это была не менее важная задача, так как возможны различные точки зрения на вопрос – строятся ли модели для получения доказательств непротиворечивости или такие доказательства рассматриваются только для обоснования того, что существуют модели для соответствующих систем аксиом, Коэну не удалось построить модель для ZF с отрицанием аксиомы конструктивности средствами самой системы ZF – это впервые сделал Вопенка. Но первое доказательство независимости аксиомы конструктивности в ZF, проводимое средствами ZF, принадлежит тем не менее Коэну. Оно было получено им в 1962–1963 гг. Предисловие
Нижеследующие записи основаны на курсе лекций, прочитанном в Гарвардском университете весной 1965 г. Главная цель состояла в изложении доказательства независимости континуум-гипотезы. Чтобы сделать курс по возможности независимым, мы включили в него основной материал по математической логике и аксиоматиченской теории множеств, а также изложение гёделевского доказательства непротиворечивости континуум-гипотезы. Наш обзор логики по необходимости оказался довольно беглым, хотя мы стремились исчерпать такие фундаментальные вопросы, как формальные системы, неразрешимые суждения и рекурсивные функции. За исключением теоремы Лёвенгейма–Скулема, фактически ни один из результатов первой главы не используется в дальнейших главах, так что читатель, изучавший какой-либо вводный курс в логику, может опустить первую главу. Ее основная цель состоит в том, чтобы приучить математиков, не являющихся специалистами в логике, к тому строгому и точному взгляду на вещи, который необходим при изучении вопросов оснований математики. Кроме того, мы пытались в ней преодолеть некоторые широко распространенные смешения понятий, например между понятиями неразрешимого (undecidable) суждения, относящегося к конкретной системе аксиом, и неразрешимой (unsolvable) проблемы, связанной с методами вычисления. Ввиду того, что мы искренне надеялись сделать эти записи понятными широкому кругу неспециалистов, интересующихся этой проблемой, мы решили не следовать тому совершенно формалистическому стилю, который встречается в некоторых учебниках логики. Скорее мы старались выделить интуитивные мотивы, но в то же время изложить доказательства по возможности полно. Для чтения не требуется никакой специальной подготовки, хотя в некоторых случаях мы ссылаемся на примеры из других областей математики. Конечно, будет полезно, если читатель знаком с построением "наивной" теории множеств, в том виде, как оно обычно излагается в курсах по теории функций действительной переменной или по теоретико-множественной топологии. Мы хотим самым сердечным образом поблагодарить Л.Корвина (L.Corwin), Д.Пинкуса (D.Pincus), Т.Сканлона (Т. Scanlon), P. Уолтона (R.Walton) и Дж.Ксенакиса (J.Xenakis) за то, что они вели записи различных параграфов, и Джона Баруайза (Jon Barwise) за помощь при подготовке окончательного варианта. Мы глубоко благодарим Азриэля Леви (Azriel Levy) за исправление многих ошибок, за многие усовершенствования в изложении и за то, что он помог нам повысить весь стилистический уровень этих записей по сравнению с их довольно примитивным первоначальным состоянием. Мы должны также поблагодарить слушателей курса, указывавших на все ошибки и стимулировавших обсуждение, что сделало чтение курса приятным занятием. Конечно, эти записи совсем не так хорошо отшлифованы, как того требует предмет, но так как в литературе не имеется ни одного достаточно полного обзора этих вопросов, мы предпочли опубликовать их в настоящем неформальном изложении, нежели отложить это дело на неопределенный срок. Об авторе
Выдающийся американский математик, профессор Стэнфордского университета. Родился в 1934 г. в Лонг-Бранче (штат Нью-Джерси), в семье выходцев из Польши. В 1953 г. поступил в Чикагский университет. В 1961 г. начал научную и педагогическую деятельность в Стэнфордском университете, где продолжал работать до 2004 г. Учебную работу он не оставлял до последних месяцев своей жизни. П. Дж. Коэн достиг значительных успехов в самых разных областях математики. Его основные работы посвящены основаниям математики, математической логике и теории множеств. Наибольшую известность он получил, доказав в 1963 г. невозможность доказательства так называемой "континуум-гипотезы" Кантора методами теории множеств. Таким образом, стало ясно, что существование или несуществование промежуточного по мощности множества между счетным множеством и множеством мощности континуума не противоречит постулатам теории множеств. В 1964 г. П. Дж. Коэн был удостоен премии Бохера за достижения в области анализа, а в 1966 г. получил медаль Филдса – самую престижную в математическом мире награду, своего рода аналог Нобелевской премии в области математики. В 1967 г. исследования в области логики принесли ему также Национальную медаль США за научные достижения. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||